数学操作：实现从直观到抽象的蜕变

吴兆明

[摘 要]基于教学实践，教师结合教学案例，深度设计数学教学活动，不断优化数学操作活动，能让学生在操作实践中化解思维的形象性与数学知识的抽象性之间的矛盾，激发学生的学习兴趣，锻炼学生的实践操作能力，有助于学生树立建模意识，掌握数学思想方法，发展数学思维能力。

[关键词]操作;直观;抽象;建模

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）35-0086-02

苏霍姆林斯基曾言：“儿童的智慧在他灵巧的手指尖上。”这生动地说明了在学习过程中让学生动手操作的重要性。新课标明确指出，认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。这里的“动手实践”实际上就是数学课堂上的操作活动。就目前小学数学课堂的操作活动现状来看，存在着重操作轻思考、重形式轻实质等倾向。那么教师如何在新课标的指导下，借助动手操作这把“金钥匙”帮助学生打开智慧的大门？

一、在操作中有思考，提高数学知识的理解

教育学家布鲁纳关于儿童心智发展的研究结果证实，儿童获得抽象知识的过程是呈阶梯式递进的，即由最初的动作表征过渡到图像表征，最后上升为抽象思考。小学生的思维以形象思维为主，他们需要借助直观的实物操作来形成图像表征，再依据实物在脑海中的影像内化为抽象知识。教师基于儿童思维的基本特点，使学生主动参与数学操作活动，做到手脑并用，以操作促思考，以思考引操作，進而激发学生思维，使学生深入思考，理解数学。

【“20以内加法”教学片段】

师：同学们，现在每一组都有两捆小棒，每一捆都是10根，现在让我们用摆小棒的方法来计算8+6。请同学们以组为单位，想一想，摆一摆吧。

生1：我们组先从小棒中取出8根，再取出6根，把它们放到一块，最后我们数了数，一共是14根，所以8+6=14。

师：对，这一组是先摆放，再一根一根数的，但是这个方法有点麻烦。还有其他的方法吗？

生2：我们组是先取出8根，然后再取出2根，8和2是“好朋友数”， 能凑成10，最后再加上4根，所以8+6=14。

生3：我们组是这样做的，先取出6根，再取出4根，6和4是“好朋友数”，能凑成10，然后再加上4根，我们也得出8+6=14。

师：同学们做得非常好。我们看一下，有两组同学用了“凑十法”，最后都是10+4，但是他们最后加的4是一样的吗？

生4：一样，他们都是先凑成10，再加上4。

生5：不一样，虽然他们都是10+4，但是有一组是把6分成了2和4，他们先算8+2=10，再算10+4=14;而另一组是把8分成了4和4，他们先算6+4=10，再算10+4=14，所以最后他们加的4是不一样的。

师：你分析得很好。在用“凑十法”的时候，我们既可以把前面的数拆开，也可以把后面的数拆开，虽然方法不一样，但得到的结果是一样的哦。

教学中，学生把摆小棒的过程用语言表达出来，实际上就是边操作，边思考的体现。学生通过摆放小棒得出结论，使得抽象的算法变得直观生动，深刻地理解了“凑十法”的真正含义。可见，操作是外部因素，思考是内部因素，学生只有在做中思，在思中做，才能避免“为操作而操作”的情况发生，进而提高操作的实效性，促进思维的发展。

二、在操作中有建模，体现数学知识的本质

数学模型指的是根据生活中的现实问题所总结出来的一般规律。在教学中，教师要通过操作活动使学生积累足够的直观经验，再把这些经验通过推理进行思维上的提升和深化，从而形成稳定的认知结构，最终构建解决问题的模型。教师在指导建模过程中，要注意遵循学生的认知规律，先引导学生由直观操作产生足够的直观经验和表象，再上升为抽象思维，使直观操作和抽象思维之间有足够的缓冲时间，这样学生才能真切体会从操作活动到抽象建模的形成过程。如果学生不能建立足够的直观经验，就会对模型的意义认识不到位，这样建立起来的数学模型就是机械式的，缺乏融通性和迁移性，这样的建模就成了“贴模”，既不能体现数学知识的本质，也不能起到培养学生数学思维的作用。

【“三角形”教学片段】

师：同学们，我这里有四组小棒，第一组小棒的长度分别为4厘米、4厘米、8厘米;第二组小棒的长度分别为6厘米、6厘米、6厘米;第三组小棒的长度分别为4厘米、3厘米、6厘米;第四组小棒的长度分别为4厘米、5厘米、10厘米。我把这四组小棒分别发给一组、二组、三组、四组的同学，请你们试着把小棒摆成三角形，注意3根小棒要首尾相连。

（学生操作，教师巡视并予以指导）

生1：我们一组的3根小棒不能摆成三角形，因为不管怎么摆，最后那一根不是太长，就是太短。

生2：我们二组很顺利地就摆成了一个三角形。

生3：我们三组也摆成了一个三角形。

生4：我们四组和一组一样，也没有摆成三角形，最后那一根不是太长，就是太短。

师：请同学们想一想，一组和四组的同学为什么不能摆成三角形，而二组和三组的同学可以摆成三角形呢？

生5：这应该和小棒的长短有关系。

生6：我发现4+4=8，两根小棒的长度之和等于第三根小棒的长度，这种情况不能摆成三角形。

生7：我发现6+6>6，两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度，这种情况能摆成三角形。

生8：我发现4+3>6，两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度，这种情况也能摆成三角形。

生9：我发现4+5<10，两根小棒的长度之和小于第三根小棒的长度，这种情况不能摆成三角形。

师：好。那么，第一组中的4+8>4，满足“两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度”条件，为什么还是不能摆成三角形呢？看来这个结论还是不严谨呀！（学生集体思考）

生10：应该是任意两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度才能摆成三角形。

师：对，这样就能合理地解释一组和四组的同学为什么不能摆成三角形了。

教学中，首先，教师在引导学生操作时，使学生分别考虑“两边之和大于第三边”“ 两边之和等于第三边”“ 两边之和小于第三边”这三种情况;其次，教师善于激发学生的模型意识，引领学生从直观操作中得出一般性规律;最后，在提炼和总结阶段，通过列举反例使学生意识到只有“任意两边之和大于第三边，才能摆成三角形”，强调“任意”二字，使模型建构得更加准确。在操作活动中，学生会产生探究问题的欲望，教师要适时拓宽学生思维的广度，为模型构建打下基础。对于某些数学模型，学生在初次理解时会产生不严谨的认知甚至是错误的认知，此时，教师就要引导学生通过多次操作获得足够的直观经验，把各种情况都考虑进来。

三、在操作中有思想，实现数学的深度学习

数学思想方法是对数学知识的本质认识，是数学知识在思维中的升华结果。在小学阶段，重要的数学思想方法主要包括数形结合思想、转化思想、列举思想、方程思想、符号思想等，渗透数学思想方法是课堂教学的重要任务之一。教学中，教师可在引导学生边操作边体验中，渗透操作背后所隐含的数学思想方法。

【“拼数”游戏教学片段】

师：用数字卡片2、3、4可以拼出哪些两位数呢？

生1：可以拼出23、42、34、24、43这5個两位数。

生2：不对，应该是6个。

师：第一个同学的方法容易重复和遗漏，其他同学有更好的办法吗？

生2：我是这样拼数的，先用卡片2和3，这样可以组成23和32，然后再用卡片2和4，这样可以组成24和42，最后再用卡片3和4，这样可以组成34和43。所以，一共可以组成6个两位数。

师：很好，这种列举方法思路很清晰，不容易出错。

生3：我和他们的方法不一样。我先把卡片2固定在十位上，这样可以组成23和24，再把卡片3固定在十位上，这样又可以组成32和34，最后把卡片4固定在十位上，这样可以组成42和43。一共可以组成6个两位数。

师：这种列举方法也很棒！还有其他方法吗？

生4：我和第三个同学的方法差不多。只不过我是先把卡片2固定在个位上，这样可以组成32和42，再把卡片3固定在个位上，这样可以组成23和43，最后把卡片4固定在个位上，这样可以组成24和34。一共可以组成6个两位数。

师：大家做得很棒！我们在拼数的时候一定要注意顺序问题，把这些卡片按照一定的方法进行拼凑，然后再一一列举出来，这样就清楚得多，如果是随意拼凑，那样就会显得很乱，而且容易出错。

在教学中，教师的做法值得学习：首先，在列举的过程中，教师鼓励学生开动脑筋，不拘泥于某种形式或者方法去拼数，这样就打开了学生的视野，使学生可以探究多种列举方法;其次，教师最后的总结非常重要。由于数学思想方法具有隐含性，低年级学生难以总结，尽管他们有所体会，但是这种体会依然是朦胧的。这个时候，教师用简洁的语言对学生提出的观点进行点评和总结，捅破认知上的“窗户纸”，令学生豁然开朗。教学中，教师最后的总结和点评，能起到了画龙点睛的作用。

数学操作是学生课堂学习的重要方法，操作活动的直观性和形象性有利于学生突破抽象的数学认知障碍;有利于学生构建数学模型，触及知识的本质;有利于学生探索数学规律，培养数学思想方法，最终达到提升数学思维品质和数学核心素养的作用。

（责编 覃小慧）