基于收益管理的高速铁路票价与坐席分配联合优化

秦 进, 郝丽娜, 毛成辉, 徐 彦, 曾艺佳, 胡心磊

(1. 中南大学 交通运输工程学院, 湖南 长沙 410075; 2. 中国国家铁路集团有限公司, 北京 100844)

我国目前已拥有全世界最大规模的高速铁路(以下简称高铁)网络，然而在高铁快速发展并得到市场高度认可的同时，仍然存在部分线路客座率随时间波动较大而导致运力不足或运力浪费的现象，高铁最大化收益未能得到实现。另外，我国铁路客运票价目前总体上仍实行政府指导定价原则，仍采用固定基准票价率和“递远递减”的原则来确定高铁票价。在市场经济环境下，固定票价方式很难适应市场的发展和动态的旅客需求，不能实现客流的引导和调节，自然也就难以实现收益的最大化。因此，研究在运力资源配置基本不变的前提下，制定科学合理的高铁定价机制和灵活的票额分配体系，提高运力资源的利用率，已经成为我国高铁未来发展中亟待解决的关键问题。

收益管理理论的思想是“在合适的时间，将合适的产品，以合适的价格卖给合适的人”，从而实现系统收益最大化。动态定价作为实施收益管理的重要手段，能够起到引导和调节需求的作用。该理论早已广泛应用于航空、酒店、汽车租赁等行业，均取得显著效果。如果能在高铁售票过程中根据时变的需求动态地调节客票价格，以实现“合适的价格”适应客运市场变化，调节运力资源与需求之间的匹配关系，就能够达到提高运力资源利用率和高铁收益的目的。

交通运输动态定价问题早已得到国内外学者的关注。文献[1]发现当折扣票的收益不小于将来发售全价票的期望收益时，在当前出售该折扣票可以获取最大收益。文献[2]根据边际收益和枚举法的原理，运用收益管理的思想分析了航班定价问题。文献[3]在假设顾客到达服从泊松分布的基础上研究动态定价问题。文献[4]假设需求是票价的线性函数，再基于最优控制理论，研究收益管理系统中的动态定价问题。文献[5]利用马氏过程描述铁路动态票价问题，根据动态规划最优化原理，探索最优策略下的动态定价递推公式。文献[6]考虑票价对客流的影响规律，据此建立了高铁定价与航空定价的博弈模型。文献[7]应用最大凹向包络理论，对建立的马尔科夫模型进行仿真，分析潜在客票需求量与运营部门收益之间的关系，进行高速铁路动态定价。

文献[8]指出，由于铁路运输的特殊性，在进行高铁动态定价的同时，必须考虑高铁票额分配问题。文献[9]研究了两级票价体制下单列车的席位控制问题。文献[10]对印度旅客列车的客票超售问题进行分析。文献[11]研究了考虑旅客选择行为的票额分配方法。文献[12]利用超分方程求解多时段下多列车的高铁最优票价与票额分配的联合优化方案，文献[13]研究了在某一时段内多列车多停站方案下的票额分配方法。但是，既有的对高铁票额的研究中，通常不考虑价格对需求的影响，忽视票价对需求的调节引导作用。

综上所述，高铁动态定价方面的研究才刚刚起步，目前仍处于理论探索阶段，且一般将其与票额分配分开研究。然而在实际中，动态定价与票额分配是相互关联相互影响的两个方面。本文针对需求的不确定性及目前票额分配不能满足需求波动的问题，以客票收益最大化为目标，基于收益管理思想，同时考虑高铁旅客的弹性需求特征，构建高铁动态定价和票额分配的联合优化模型。

1 变量定义与假设

将高铁客票预售期划分为K个时段，考虑客流随票价变化而发生弹性变化，本文的研究目标就是为每个OD在相应的售票时段内制定票价，并分配相应的票额，使总收益最大。

为简化问题，不考虑高铁售票过程中的退票和改签等情况。

变量及其含义见表1。

2 模型构建

由于高铁要兼顾社会效益，政府将设定票价上限，即公布的价格。高铁定价规则是在公布票价的基础上进行打折以获得执行价格，折扣是中间变量。公布的价格是已知的，代表了列车之间的最高价格。

事先给定可选折扣集α={α1，α2，…，αn}，其中n为可选折扣的数目，不失一般性，假定：αmin≤α1<α2<…<αn≤1。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

表1 变量定义

在充分竞争的客运市场中，客流需求对价格特别敏感。当运输产品或服务的价格变动时，市场对该产品或服务的需求也会发生变动，所以，考虑旅客出行需求为弹性需求。OD对(r,s)的全部高铁列车共同的弹性需求函数为[14]

(7)

采用Logit分配法得到(r,s)间列车h在售票时段k的客流分摊率为

(8)

(9)

1≤k≤K(r,s)∈Wh∈H

(10)

在第k售票时段，列车h在(r,s)的客票期望收益为

1≤k≤K(r,s)∈Wh∈H

(11)

1≤j

(12)

在既有固定的运输能力下，需求不确定条件下的高速铁路票价与票额联合优化模型为

(13)

1≤j

(14)

1≤i

(15)

1≤i

(16)

(17)

式(13)为高铁总收益最大化目标函数。式(14)表示各列车分配的票额不能超过列车能力的约束。式(15)表示票价上下限约束。式(16)是对列车h是否能在(r,s)提供客运服务进行判断。式(17)表示票额的非负整数约束。

3 求解算法

为了简化目标函数并简化后续求解，先将前面所构建的联合优化模型，合理转换为等效模型(Ⅰ)

(18)

1≤j

(19)

1≤i

(20)

1≤i

(21)

1≤i

(22)

1≤i

(23)

上述联合优化模型需要同时优化票价和票额两个变量，考虑到人工蜂群算法(Artificial Bee Colony，ABC)擅长解决多变量优化问题，且已经证明求解相关问题的效率较高[14]。因此这里将选择基于ABC算法进行模型求解。

人工蜂群算法由Karaboga在2005年提出[15]，该算法参数较少，同时在计算过程中能高效的跳出局部最优解，从而能够很好的降低算法对群规模和初始解的依赖性。

(24)

采蜜蜂和观察蜂进行邻域搜索寻找各时段新票价组合的过程为

(25)

通过采蜜蜂和观察蜂进行邻域搜索后产生的新的票价组合为候选蜜源，并计算各候选蜜源的花蜜量，然后与原蜜源的花蜜量比较，基于贪婪原则选择花蜜量相对更高的蜜源。一个蜜源被观察蜂选择的概率Pδ为

(26)

如果采蜜蜂和观察蜂在同一蜜源连续停留的次数超过蜜源停留最大限制搜索次数Limit，仍未找到更高适应度的蜜源，则放弃该蜜源，生成侦查蜂随机搜索生成新的折扣组合，并对应产生新蜜源。

算法具体步骤如下：

Step1选定优化线路，根据该线路历史售票数据，获取该线路开行方案、各OD客流量等信息，给定该线路各OD在各售票时段的初始票额。

Step2设置初始参数：NSN、NBN、Llimit、最大迭代次数omax、迭代次数Niteration=0和每个蜜源连续停留次数Ntrial=0。

Step3随机生成NSN个初始折扣组合，计算出相应的初始蜜源和对应的花蜜量。

Step4每个采蜜蜂根据式(25)寻找新蜜源，并计算出各新蜜源对应花蜜量，根据贪婪准则保留蜜源，并记录Ntrial的值。

Step5每个观察蜂根据式(26)选择蜜源，并式(25)寻找新蜜源，并计算出各新蜜源对应的花蜜量，按照贪婪准则保留蜜源，记录Ntrial的值。

Step6若某一蜜源对应的Ntrial值超过Llimit，则放弃该蜜源且对应的采蜜蜂变为侦查蜂，随机生成新的折扣组合，通过式(1)计算选择新蜜源。

Step7记录当前所有蜜源对应的花蜜量，更新迭代次数Niteration=Niteration+1，如果Niteration>omax，算法终止，转Step8，否则，返回Step4。

Step8根据当前最大的花蜜量及其对应的蜜源，输出与之对应的票价和票额分配的组合方案即为所求。

4 算例分析

4.1 基础数据

以京沪高铁上北京南开往上海虹桥的G21、G11、G7、G34列车在2017年6月5日—11日的客票收入为案例进行实证分析。路网见图1。

图1 案例路网示意图

将预售时间定为开车前30 d，将售票时段分为开车前11 d至30 d(k=1)、开车前10 d至前3 d(k=2)、开车前2 d至前1 d(k=3)、开车当天(k=4)4个时段[14]。考虑单一席别类型(二等座)，设列车总定员为1 066人。以公布票价为最高票价，公布票价的0.58为最低票价[8]，现行票价为公布票价的0.83。将票价折扣集α定为：{0.58,0.61, 0.64,0.67,0.70,0.73,0.76,0.79,0.82,0.85,0.88,0.91,0.94,0.97,1.00}。

根据文献[11]，确定vhrs=36，θ=0.012 ，NSN=20，omax=500，Llimit=20。参数η的取值与购票旅客对于票价变动的敏感程度有关[16]，算例中研究对象为京沪高铁，考虑到沿线城市经济较为发达，旅客对于票价变动的敏感性较低，因此η的取值应小于1，结合实际情况，确定η取值为0.8。

4.2 结果分析

运用Python语言编程对所建模型进行求解，得出四趟车总收益为2 213 077元，较原固定票价下总收益2 122 355.5元增加4.28%。表2给出了最大收益在4个售票时段对应的票价组合。以G7为例，图2给出该列车各OD在固定票价和动态票价下在各售票时段的售票量对比情况。表3给出了各列车部分OD在固定票价和动态票价下的总客流量对比情况，图3给出了各列车各区段在固定票价和动态定价下的客座率对比情况(图表中A—G分别表示北京南、天津南、济南西、曲阜东、徐州东、南京南、苏州北，I表示上海虹桥)。将现有固定票价和票额分配下的方案作为对比的初始方案Ⅰ，将只优化票价的方案作为对比的方案Ⅱ，本文提出的方案为既有方案Ⅲ，表4给出不同方案下的客票收益结果。

表2 各售票时段票价

模型能根据不同售票时段的客流需求特点并结合旅客需求随票价波动产生的弹性变化在各售票时段为每个OD制定最优的客票价格。由表2可知，4趟车各OD在各售票时段的高铁客票以波动上行的票价售出。这符合收益管理的思想，收益管理的核心思想是“在合适的时间，将合适的产品，以合适的价格卖给合适的人”。在售票初期旅客对票价的敏感度较高，需求弹性较大，此时通过打折的方式将客票以较低的价格售出可以吸引更多的旅客购票，以提升收益。而越是临近发车时刻购票的旅客，其票价的敏感度就越低，即其需求弹性就越小，也就意味着其可承受相对更高的票价，故在售票后期以较高的票价将客票售出，同样能达到提升收益的作用。

图2 两种方案下G7各OD在各时段售票量对比情况

通过对不同售票时段内的客票价格进行动态调整，会使得各OD的客运需求发生弹性变化，从而使得各OD不同售票时段分配的票额也随之变化。如图2所示，以G7为例可知，在售票初期(如k=1)各OD分配的票额比售票后期(如k=4)分得的票额少，这是因为根据收益管理的思想，将车票更多的分配给后期愿意花更高价格购买的旅客，可以帮助企业获得更多的客票收益。同样，可以看到在售票初期，由于票价打折，会吸引更多的人来购票(即在售票初期，动态票价的政策会吸引更多的人前来购票)。在单一固定票价下，旅客的购票需求多会受限于相应OD上分配的票额数，但是动态票价环境下，通过票价的单调动态变化，可以实现主动调节客流的目的。旅客有更多的票价选择，可以根据自己的需求在合适的售票时段选择购买合适的票价进行出行。同时，可以看到，本文提出的方案能够优先满足长途旅客的出行需求(如AI：北京南—上海虹桥)，这同样能达到增加收益的效果。

通过表3和图3可知，实行动态定价后，各车各OD区段的客流和区段客座率有升有降，且对于席位能力的利用率较高。通过计算可知，在票价优化前后，4趟列车的总客流量没有发生太大的变化，但调价后的方案却获得了更大的收益，说明并不是客票卖得越多收益就会越高，而是将客票卖给更愿意支付高价的旅客获得收益会更大。

表3 部分OD总客流量

图3 各列车各区段客座率

表4 不同方案下的客票收益

由表4可知，进行动态定价和票额分配的联合优化模型比只考虑单一优化的效果更好，能更大程度上地增加收益。

5 结论

本文提出了一种可以同时优化高铁票价与票额的创新模型，即在每个售票期间为每列车的每个OD确定最佳的票价和票额。首先根据历史客票数据分析旅客的购票行为，并相应地划分预售期。接下来，确定影响旅客选择行为的关键因素，并构建随票价变化的弹性需求函数。然后，用Logit模型模拟旅客在列车中的选择行为。之后，建立了高铁票价和票额的联合优化模型，同时将其转化为易于求解的等价模型，并根据模型的特点设计了一种启发式算法对其进行求解。最后，用数值实验来验证所提出的模型和求解算法的可行性和有效性。主要结论如下：

(1)与现有的票价和票额方法相比，本文提出的联合优化方法考虑了受票价影响的弹性客流，可以通过制定动态票价来响应旅客的购买模式，从而积极引导和调节客流，同时使旅客对高铁出行更满意，更有利于高铁的长远发展。

(2)经过数值验证，发现与单一的价格优化模型相比，本文提出的联合优化模型能产生更大的收益。这有助于为铁路运营部门提供科学合理的决策建议，形成更加灵活的票价机制和科学的座位分配制度。这将有助于高铁在未来提供更高质量和更丰富的客运服务，实现可持续发展。

本文为铁路运营部门合理制定动态票价增加收入提供了新思路，为铁路可持续运营提供了科学依据。但是，本文是在不考虑旅客的退票和改签行为的假设下进行的。现实生活中的情况可能更复杂，这是未来研究的方向。