小题也有大价值

徐继林 范习昱

[摘  要] 探究无处不在，哪怕是一道非常普通的小题，也可挖掘其中非凡的教学价值.文章解构一道椭圆基本性质题，旨在从具体操作层面探讨如何进行变式教学.

[关键词] 小题;变式;探究

在评讲一次高二校际联考试卷时，发现一道很简单、很普通的填空题，考查椭圆的基本性质，课堂上一分钟我就讲完了，学生也没什么大的疑问，可是一位不怎么爱说话的男生却告诉我还有更好的方法，就是下文要介绍的优化解法，正是这一小小的插曲让我的思想涟漪慢慢飘远，一道小题的探究之旅开始启程.

母题再现：已知F■，F■分别为椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF■是面积为■的正三角形，则b2=________.

■解法探究

法一：传统解法

利用正三角形的性质求出点P的坐标，代入椭圆方程，找出三个变量a，b，c的关系即可. 由■=■c2，解c=2，容易求得P■，■，即P（1，■）代入，有■+■=1. 又a2-b2=4，故b2=2■.

法二：优化解法

连接PF■中利用△PF■F■特殊关系求出三边，再利用椭圆定义求解a，b，c得到答案. 不難得到△PF■F■是直角三角形，且∠PF■F■=■，同法一求得c=2，所以PF■=2，PF■=2■. 由椭圆定义2a=PF■+PF■=2■+2，解a=■+1，故b2=2■.

评析：传统解法的运算略显困难，主要原因在于两个二次方程的求解较复杂，方法一可以适当改进，由椭圆第一定义，即2a=PF■+PF■=■+■=2■+2可以达到简化运算的目的，但如果数据变化，就也很难体现其优势，并且推广为△POF■是面积为S的正三角形时，很难计算，不具有通法的推广意义.方法二能简化运算的原因在于充分利用了△PF■F■特殊三边关系（几何性质），发现PF■，PF■是这个直角三角形的两条直角边，再利用椭圆定义得到a的值，进而算出b2=2■.

■变式探究

1. 推广为一般情况

变式1：已知F■，F■分别为椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF■是面积为S的正三角形，则b2=___.

解析：利用优化解法，PF■=c，PF■=■c，由椭圆定义2a=PF■+PF■=c+■c，解a=■c，故b2=■c2. 又S=■c2，故b2=2S.

2. 改变三角形条件

变式2：已知F■，F■分别为椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF■是面积为4的等腰直角三角形，且直角顶点是点P，则b2=________.

解析：利用等腰直角三角形的性质和面积求出点P的坐标，代入椭圆方程，找出三个变量a，b，c的关系即可. 由4=■c2，解得c=4，容易求得P■，■，即P（2，2），代入■+■=1. 又a2-b2=16，故b2=4■-4.

变式3：已知A■为椭圆■+■=1（a>b>0）的右顶点，点P在椭圆上，△POA■是面积为1的等腰直角三角形，且直角顶点是点P，则b2=________.

解析：利用等腰直角三角形的性质和面积求出点P的坐标，代入椭圆方程，找出两个变量a，b的关系即可. 由△POA■的面积1=■a·■a，解得a=4，容易求得P■，■，即P（2，2），代入■+■=1，故b2=■.

评析：将条件简单变化，举一反三，真正做到会一题就会一类，解决学生上课听懂了，下课不会做的顽疾.同时，对学生思维的深层开发也可以起到很大的作用.

4. 改变提问方式（存在性问题）

变式4：已知A■为椭圆■+■=1（a>b>0）的右顶点，椭圆上是否存在点P，使△POA■是面积为■的正三角形？

解析：假设椭圆上存在点P，使△POA■是面积为■的正三角形，则利用正三角形的面积■=■a2，解得a2=4，而P的坐标■，■，即P（1，■）代入椭圆方程，■+■=1，解得b2=4. 这与椭圆中a2>b2矛盾，故假设不对，即椭圆上不存在点P，使△POA■是面积为■的正三角形.

变式5：已知B■为椭圆■+■=1（a>b>0）的下顶点，椭圆上是否存在点P，使△POB■是面积为■的正三角形？

解析：假设椭圆上存在点P，使△POB■是面积为■的正三角形，则利用正三角形的面积■=■b2，解得b2=4，而P的坐标■，-■，即P（■，-1）代入椭圆方程，■+■=1，解得a2=4. 这与椭圆中a2>b2矛盾，故假设不对，即椭圆上不存在点P，使△POB■是面积为■的正三角形.

5. 改变提问方式（推广）

变式6：已知A■为椭圆■+■=1（a>b>0）的右顶点，椭圆上是否存在点P，使得△POA■是面积为S的正三角形？

解析：由△POA■是面积为S的正三角形，则S=■a2，而P的坐标■，■，代入椭圆方程■+■=1，即■+■=1，解得a2=b2. 这与椭圆中a2>b2矛盾，故假设不对，即椭圆上不存在点P，使△POA■是面积为S的正三角形.

变式7：已知B■为椭圆■+■=1（a>b>0）的下顶点，椭圆上是否存在点P，使得△POB■是面积为S的正三角形？

解析：假设椭圆上存在点P，使△POB■是面积为S的正三角形，则利用正三角形的面积S=■b2，而P的坐标■，-■代入椭圆方程，■+■=1，解得a2=b2，这与椭圆中a2>b2矛盾，故假设不对，即椭圆上不存在点P，使△POB■是面积为S的正三角形.

评析：改变提问方式是变式教学的一个常见方法，由变式6和变式7不难发现，椭圆上其实是不存在点P，使得△POA■为正三角形的，哪来面积可言呢？这都是我在教学探究过程中发现的，一道小题，价值一点也不小啊！

6. 改变背景为双曲线、抛物线

变式8：已知F■，F■分别为双曲线■-■=1的左、右焦点，点P在双曲线上，△POF■是面积为S的正三角形，则b2=___.

解析：仿照优化解法，PF■=c，PF■=■c，由椭圆定义2a=PF■-PF■=■c-c，解a=■c，故b2=■c2. 又S=■c2，故b2=2S.

变式9：已知F■，F■分别为双曲线■-■=1的左、右焦点，A■为右顶点，双曲线上是否存在点P，使△PF■A■是正三角形？（不存在）

变式10：已知F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，O为抛物线顶点，抛物线上是否存在点P，使△PFO是正三角形？（不存在）

评析：圆锥曲线本源一致，很多性质和结论都是类似的，将本题背景推广为双曲线，发现了相应的结论.这也是知识的正向迁移，是培养学生类比能力的有效途径，我想，在课堂条件允许下，开展这样的探究教学，无疑对学生内化知识、提升数学核心素养、形成综合能力作用巨大.

■结束语

这道很小很小的习题，那么平凡，那么简单，如果我一带而过，也就没有上述还算精彩的探究之旅了，我为那份试卷评讲之前备课不充分和些许肤浅深感内疚. 幸运的是，我虽然花了半节课的时间返工，弥补了之前的疏忽，却完成了自己感觉不错的变式探究教学. 从这道小题的探究过程，我们应该受到很大的启发：关注教学中的每一个细节，你会发现蕴藏其中的精彩，用心思考，小题也有大价值！