抽象代数中群论教学的一点思考——有限群的另一定义

吴伟才

(湖南理工学院 数学学院，湖南 岳阳 414006)

0 引言

抽象代数以一般集合上的运算为研究对象，着重于探讨群、环、域等一些常用的代数结构以及它们之间的映射.为了区别于古典代数，它也被称为“近世代数”.虽然它的思想起源于何时还没有定论，但值得强调的是，在寻找5 次方程求根公式的过程中，第一个怀疑这种求根公式存在性的是拉格朗日.他的长篇论文“关于方程的代数解法的思考”中实际上已经给出了置换的思想.而阿贝尔首先发现了交换群与根式可解性的联系，并得到了5 次方程代数解法不可能存在的结论.最后伽罗瓦提出了群的概念，彻底解决了代数方程的根号求解问题，所以群论在抽象代数中具有重要地位.而抽象代数作为很多高校数学专业都会开设的本科生和研究生必修课，其最大的特点就是抽象，因此为了方便教学，我们需要把群的定义讲清楚.

群论中群定义的灵魂是代数运算，即群就是一个带有一种代数运算的代数系统.它有很多等价定义，这些定义从不同的角度刻划了群这个重要的代数结构.对研究群论的学者来说，既可以从不同的角度把握群，亦可以通过这些定义理解代数运算的本质，融会贯通很多概念.就有限群来说，由于群元素个数的有限，它有更多的定义方式.本文将给出有限群的另一定义.

1 预备知识

笔者在抽象代数的教学中发现，有些抽象代数参考书中没有半群的定义.为了表达方便，首先对半群的定义做一个简单的回顾：设G是一个非空的集合，把G中任意两个元素a，b构成的元素组(a，b) 组成的集合记作G×G，即G×G={(a，b)|a∈G，b∈G}.◦是一个法则，它作用于(a，b)，使得G中有唯一的元c与(a，b)对应，即 ◦ (a，b)=c.此时称◦是G上的二元运算，又称代数运算，为了方便起见，记为a◦b=c.可以看到，G中的任意两个元素经过代数运算后结果仍在G中.由此可知，这个代数运算对G是封闭的.如果这个代数运算还满足结合律，即对任意的a，b，c∈G，有(a◦b) ◦c=a◦ (b◦c)，则称G对于这个代数运算◦来说是一个半群，这个半群一般用(G，◦)来表示.下面给出群的几个已知定义.

定义1半群(G，)◦作成一个群，如果下列条件满足：

(Ⅰ)G中至少存在一个左单位元e，使得e◦a=a对任意的a∈G都成立；

(Ⅱ) 对G中的任意元a，至少存在一个左逆元a′∈G使得a′ ◦a=e.

也可以把(Ⅰ)和(Ⅱ)同时换成(Ⅰ)'和(Ⅱ)'形成定义2.

定义2半群(G，)◦作成一个群，如果下列条件满足：

(Ⅰ)'G中至少存在一个右单位元e，使得a◦e=a对任意的a∈G都成立；

(Ⅱ)' 对G中的任意元a，至少存在一个右逆元a′∈G使得a◦a′=e.

定义3半群(G，)◦作成一个群，如果下列条件满足：

(Ⅲ) 对G中任意的两个元a，b，方程ax=b和ya=b都在G中有解.

以上给出的是群的几个常见定义[1]，下面给出两个比较特殊的定义.由于定义1 和定义2 中的单位元和逆元的左右应取一致，也就是说，半群(G，)◦满足(Ⅰ)'、(Ⅱ)或(Ⅰ)、(Ⅱ)'是不一定能作成一个群的，即使把其中的条件(Ⅱ)和(Ⅱ)'加强为对某一确定的左(或右)单位元，G中的任意元都存在唯一的右(或左)逆元，(G，◦)也不一定作成一个群，但有下面的定义.

定义4[2]半群(G，)◦作成一个群，如果下列条件满足：

(Ⅰ1)G中存在唯一的一个左单位元e，使得e◦a=a对任意的a∈G都成立；

(Ⅱ)' 对G中的任意元a，至少存在一个右逆元a′∈G使得a◦a′=e.

定义5[2]半群(G，)◦作成一个群，如果下列条件满足：

(Ⅰ1)'G中存在唯一的一个右单位元e，使得a◦e=a对任意的a∈G都成立；

(Ⅱ) 对G中的任意元a，至少存在一个左逆元a′∈G使得a′◦a=e.

还有一些不太常见的群的定义，这里就不一一介绍了.接下来重点考虑有限群.对于有限群而言，先给出一个常见的定义.

定义6有限半群(G，◦)作成一个群，如果下列条件满足：

(Ⅳ) 左消去律成立，即如果a，b，x∈G且xa=xb，有a=b；

(Ⅳ)' 右消去律成立，即如果a，b，x∈G且ax=bx，有a=b.

2 主要结果

本节给出有限群的另一定义，这个定义和上述定义稍有不同.在给出这个定义之前先看一个结论.

定理有限半群(G，◦)如果满足条件(Ⅰ)和(Ⅳ)'，则它也满足条件(Ⅱ).

证明假定G有n个元，这n个元用a1，a2，…，an来表示.用e表示(G，◦)的左单位元.对于任意的a∈G，用a右乘所有的ai而作成一个集合G′={a1a，a2a，…，ana}，由代数运算的封闭性有G′⊂G.此外，由右消去律知，G′中有n个不同的元，因此G′=G，从而e∈G′，且存在{1，2，…，n}中的某个k使得aka=e成立，ak就是a的一个左逆元.得证.

注1：和上述定理类似，有限半群(G，◦)如果满足条件(Ⅰ)'和(Ⅳ)，则它也满足条件(Ⅱ)'.

由上面的定理可以得到有限群的另一定义：

定义7有限半群(G，◦)作成一个群，如果(Ⅰ)、(Ⅳ)'或者(Ⅰ)'、(Ⅳ)能被满足.

注2：(1) 定义7 实际上是说，在有限群的定义中可以用条件至少存在一个左单位元去替换左消去律成立，或者用条件至少存在一个右单位元去替换右消去律成立，这样就把左(或右)单位元和左(或右)消去律这对看起来没什么关系的条件联系在一起.

(2)对于交换群而言，左消去律满足也意味着右消去律满足，这时有限群的定义6 比有限群的定义7要简单些.但对于一般的群而言，一个有限集合的代数运算常用一个表来表示，很多性质可以直接从表上看出.由定义6，利用消去律来判断是否是群时，需要验证全体的元必在每一行也必在每一列里出现，而按照本文给出的定义7，只需要验证全体的元必在每一行出现，且表里一定有一列元同垂线左边的元一样，或者验证全体的元必在每一列出现，且表里一定有一行元同横线上的元一样.显然，按照定义7 去判别更简单些.

需要强调的是，定义中的有限是必要的，一个无限半群(G，◦)如果满足(Ⅰ)、(Ⅳ)'或者(Ⅰ)'、(Ⅳ)，(G，◦)也可能不作成一个群.进一步地，即使无限半群(G，◦)同时满足(Ⅰ)、(Ⅳ)'、(Ⅰ)'、(Ⅳ)，(G，◦)也可能不作成一个群，例如：取G={所 有不等于零的整数}，◦是普通乘法(见文[1])，显然是封闭的，1 为左单位元也为右单位元，满足左消去律和右消去律，但(G，◦)不是一个群.

无论半群是有限还是无限，都有下面的结论：

命题半群(G，)◦中，如果右消去律成立，则左单位元也是右单位元，并且是唯一的单位元；如果左消去律成立，则右单位元也是左单位元，并且是唯一的单位元.

证明只证明前半部分，后半部分的证明是类似的.

如果G中只有一个元，则e∈G既是左单位元也是右单位元.现在假设G中的元不止一个.由结合律知(xe)y=x(ey)对任意的x，e，y∈G都成立.若e是一个左单位元，则(xe)y=xy，再由右消去律得xe=x，即e是一个右单位元，从而ex=xe=x对任意的x∈G都成立.假定还有一个e′也有这样的性质：即e′a=ae′=a对任意的a∈G都成立，那么e′=e′e=e，所以e是(G，◦)中唯一的单位元.

结合有限群的定义6 和定义7，可以得出下面的猜想：

猜想半群(G，)◦中，如果右消去律成立且有左单位元，则左消去律成立；如果左消去律成立且有右单位元，则右消去律也成立.

由上面的命题可知，猜想实际上是在说，幺半群(即有单位元的半群) (G，◦)中，如果右消去律成立，则左消去律也成立；如果左消去律成立，则右消去律也成立.显然猜想对于有限集合来说是成立的.

在抽象代数的教学中，可以让学生试着把上面群或者有限群的定义中的某一条件弱化，或者试着代入其他的条件，看是否可以得到群或者有限群新的定义，这对他们理解抽象代数中的代数运算和群的概念都是有益的.