四自由度模拟飞行复合平台运动学设计及仿真

董艇舰，李 化，桑 超

（中国民航大学航空工程学院，天津 300300）

1962年美国工程师Cappel 独立设计了用于飞行模拟器的六自由度运动平台[1]。国内哈尔滨工业大学、燕山大学等高校陆续开展了六自由度飞行模拟器平台的相关研究[2]。但其存在体积庞大、工作空间小、控制困难及成本较高等缺点，因此根据飞机实际飞行状态（沿飞机横轴方向的移动可以忽略，沿纵轴方向的移动可以通过视景系统的相对运动原理实现），得到一个四自由度的复合平台，隶属于层叠式运动平台，应用于低于真实模拟机运动平台、高于普通游戏机运动平台的模拟飞行体验和多方位展台。

1 运动学分析

正向运动学是指已知各连杆的几何参数和机构各关节变量，求末端执行器的坐标位姿；反向运动学则是已知末端执行器相对于参考坐标系的位姿，求出机器人能够达到该预期位姿的关节变量值[3]。串联机构正解较容易，反解却相当复杂，原因在于其多解性[4-5]。但该设计平台各关节轴线相互垂直，逆向求解相对容易。

1.1 结构参数建模

利用Solidworks 对四自由度复合平台进行装配图构建，如图1 所示。

其工作原理为：两个转动副控制平台俯仰和滚转运动，回转轴承控制平台偏航运动，剪升装置控制平台升降运动。由于其偏航角度达到360°，故该平台能够实现模拟直升机旋转拍摄和军机360°扫射的状态。

该平台主要技术参数参照文献[6-7]，如表1 所示。

图1 四自由度复合平台三维模型Fig.1 3D model of four-degree-of-freedom composite platform

表1 运动平台技术指标Tab.1 Sports platform technical indicators

对其进行运动学分析。首先简化图1 所示的模型，移动关节的移动方向和转动关节的转轴定义为z轴，沿该连杆与前一个连杆z 轴的公垂线方向建立x轴，末端执行器的坐标与最后一个关节坐标同等位姿，得到如图2 所示的坐标系。

图2 四自由度复合平台坐标建立Fig.2 Establishment of four-degree-of-freedom composite platform coordinates

Denavit-Hartenberg 提出的D-H 参数模型可满足机构中的最小线性表示[5]，用4 个参数就能描述坐标变换：沿x 轴平移距离a 为连杆长度；绕x 轴旋转角度α 为扭角；沿z 轴平移距离d 为连杆偏距；绕z 轴旋转角度θ 为关节转角。故根据上图及平台尺寸得到四自由度复合平台D-H 连杆参数，如表2 所示。表2 中：d1，θ2，θ3，θ4为变量，其变动范围分别为30～130 mm、0°～360°、-40°～40°、-40°～40°。初始值分别为30 mm、90°、90°、0°。

表2 D-H 连杆参数表Tab.2 D-H parameters

由此得到四自由度复合平台总变换矩阵为

其中：Rot（）表示绕坐标轴z 的旋转矩阵，Trans（）表示沿坐标轴的平移变换矩阵。将以上连杆参数代入式（1），得到各个连杆的变换矩阵，即

以上4 个矩阵连乘即得到坐标系{4}相对于坐标系{1}的变换矩阵

其中：三维矩阵[n o a]表示运动平台的姿态；n，o，a 分别为变换后坐标系x、y、z 轴相对于原坐标系的方向列阵；p 为平台坐标原点相对基坐标系的空间位置，其内部正运动学方程为

1.2 反向运动学求解

该运动平台各坐标系之间的旋转角度均为90°的倍数，且观察正解公式可知，用欧拉变换法进行反向求解相对简单，即

根据式（3），分别求4 个关节变量：d1，θ2，θ3，θ4。

1.2.1 d1求解

由pz正向运动学公式可直接得出移动变量

d1= pz- d2- d3sin θ3- d4sin θ3cos θ4，其中θ3、θ4已知且唯一，故d1也有唯一解。

至此，四自由度复合平台反向运动学求解完毕。等待仿真验证其正确性。

1.2.2 θ2求解

式中

由式（5）得

由式（6）矩阵中的第3 行第3 列对应相等得到

得出θ2=arctan），θ2∈[0°，360°]，根据反正切函数图像可知在该范围内有两个解：当为正值时两个解的区间分别为（0°，90°）和（180°，270°）；为负值时，两个解的区间分别为（90°，180°）和（270°，360°）。

1.2.3 θ3求解

由az正向运动学方程得出θ3= -arccos az。θ3∈[-40°，40°]，根据反余弦函数图像可知在该范围内有唯一解。

1.2.4 θ4求解

正向运动学方程中的oz和nz两式相除可得

求得θ4=-arctan），θ4∈[-40°，40°]，根据反正切函数图像可知在该范围内有唯一解。

2 四自由度复合平台仿真分析

在数学计算基础上通过ADAMS 建立或导入几何模型对四自由度运动平台，进行运动学仿真，利用Matlab Robotics Toolbox 工具箱建立数学模型，用于仿真运动学正反解，包括建立数学模型、运动学正逆分析以及基于关节空间规划和笛卡尔空间规划的运动轨迹规划及仿真验证等问题。Matlab Robotics Toolbox工具箱是由澳大利亚科学家Peter Corke 开发的一套基于Matlab 的机器人工具箱[3]，该工具箱提供了机器人研究中很多重要的函数，如机器人运动学、轨迹规划等[8]。

2.1 数学模型

用Matlab Robotics Toolbox 工具箱进行运动学仿真，首先需建立数学模型。使用Link 函数创建连杆，将各个连杆用函数连起来构成平台模型。创建连杆一般有标准D-H 法（standard）和改进D-H 法（modified）[9]，选择标准D-H 法建模，利用表2 中的平台关节变量，在Matlab 编辑器中输入以下代码完成四自由度复合平台的数学建模：

robot=SerialLink（[L1 L2 L3 L4]，′name′，‘四自由度复合平台’）；

为了直观展示，通常运用plot 函数输出该数学模型，如图3 所示。以棍棒形式简化实体模型，显示在三维坐标系中，达到简单易懂的视觉效果。

图3 四自由度复合平台数学模型Fig.3 Mathematical model of four-degree-of-freedom composite platform

2.2 平台运动学仿真及验证

基于平台数学模型，利用Robotics Toolbox 中的fkine和ikine 函数进行运动学正向和逆向仿真，对平台运动学公式进行验证，两个函数调用格式为

其中：ROBOT 为该平台构建数学模型的名称；Q 为关节空间内的角位移向量[10]；T 为反解的矩阵。当反解的机构对象自由度少于6 时，要用M 来忽略某个关节自由度。

随机选取6 个关节参数值，利用正向运动学公式（式（2））得到相应末端执行器的位姿矩阵，将该矩阵与对应的fkine 函数所得出的矩阵对比，矩阵中参数一致后将该矩阵作为反向运动学公式的输入，验证求得关节角度值与初始角度值的一致性。随机选取3 组实验数据，第1 组实验数据关节参数分别为：30 mm、90°、90°、30°，通过正解公式和Matlab 函数求解所得末端位姿T1均一致。然后利用反向运动学公式和ikine函数反解出关节空间内的角位移向量Q1，发现该组关节参数值与初始角度一致（Matlab 中角度以弧度形式表示）。

第2 组随机选取的关节数据分别为：50 mm、45°、30°、10°，方法同上，得到该组末端位姿T2以及反向运动学公式和函数反解出的关节空间内的角位移向量Q2，即

第3 组随机选取的关节数据分别为：100 mm、180°、-15°、5°，方法同上，得到该组末端位姿T3以及反向运动学公式和函数反解出的关节空间内的角位移向量Q3，即

3 组随机实验证明了正逆解公式的正确性、Matlab 建立数学模型的实用性及求解的可行性。

3 轨迹规划

关节空间坐标系轨迹规划是各关节的位置、速度、加速度以时间为自变量的轨迹变化，为后期控制设计提供参考。利用Robotics Toolbox 提供的jtraj 函数可实现关节空间规划。该平台设计初始和终止位置速度为0，故选用三次多项式进行轨迹规划，在命令窗口输入各关节初始参数和终止参数代码，即

得到第1 个移动关节轨迹图像，如图4 所示。

第2、3、4 关节为转动关节，由于转动关节变化相似，取第3 关节做轨迹图像，如图5 所示。

图4 移动关节曲线（关节1）Fig.4 Moving joint curve（Node One）

图5 转动关节曲线（关节3）Fig.5 Rotating joint curve（Node Three）

由图4～图5 可以看出，位移、速度、加速度曲线连续平滑，证明了仿真的可行性以及平台4 个关节空间的实际运动情况切实可行，为对四自由度复合平台的控制设计提供了理论依据。

4 结语

对四自由度模拟飞行运动平台进行了运动学分析和仿真以及轨迹规划，得到结论如下：

1）用D-H 参数法对该平台模型进行坐标系和DH 参数表格建立，得到四自由度复合平台正解求解通式。用欧拉变换法对平台模型进行反解计算，得到4个关节的反解求解通式。分别代入初始值得出正确结果。

2）用Matlab Robotics Toolbox 工具箱对平台进行数学建模、正反解仿真，仿真结果与推导通式计算结果一致，说明所求正反解通式及仿真模型的正确性，验证了平台参数的合理性。

3）最后用Matlab 进行轨迹规划仿真，所得曲线光滑平稳，验证了四自由度复合平台的可行性。