问题教学法在极限计算中的应用

许宗文 谢焕钢 张康明 王剑

【摘要】本文以建构主义理论为基础，根据学生的认知规律、高等数学教学的特点以及学生的实际情况讨论了问题教学法在极限计算中的应用.

【关键词】建构主义;问题教学;极限计算

建构主义强调，学习者在以往各种形式的学习中已经形成了相关的知识经验，对任何事情都有自己的看法，即使有些问题他们从来没有接触过，没有现成的经验可以借鉴，但是当问题呈现在他们面前时，他们还是会基于以往的经验，依靠自身的认知能力，形成对问题的解释，提出自己的假设.教师不能无视学习者的已有知识经验，简单、强硬地从外部对学习者实施知识的“填灌”.

问题教学法的重点是“问题”，核心也是“问题”.教学过程中，教师应该利用一定的问题情境，逐步引导学生自己提出有价值的问题，特别是针对教材提出疑问，并通过学生的多方面思考、讨论，来解决问题.

高等数学是高校众多教学科目中的一门基础课程，它具有高度的抽象性，这势必给教师的日常教学带来一定的挑战.以我院为例，目前采用的教材是全国大部分高校正在使用的同济大学数学系编写的第七版《高等数学》，知识点多，难度较大.从以往学习的情况来看，尽管大部分学生能够解答一些相关的习题，但是对计算技巧后面所蕴含的思维方法知之甚少，并不是太了解.当一个综合性的高等数学问题出现在学生面前时，他们很难找到切入点，不知道如何思考.笔者在讲解极限计算这一模块时感触颇深，极限计算的方法很多，几乎贯串了高等数学教材上册的整本内容，学生在学习每种方法时，基本上能够找到思路，但是当教学大纲要求的极限内容全部讲授结束后，他们反而没有思路了，这从侧面说明了学生对知识掌握得不够全面，对极限计算的相关问题理解得不够深刻，也说明我们教师在教学方法上存在一定的弊端.基于以上考虑，结合学生的认知规律和极限计算的方法特点，本文针对问题教学法在极限计算中的应用做了初步的研究和探讨.

极限的计算方法多种多樣，细分则更多，其中有极限的定义、极限的四则运算法则、夹逼准则、两个重要极限、等价无穷小、洛必达法则、函数的连续性、Stolz定理和定积分等.既然计算极限的方法如此之多，那么学生自然会问，当碰到一个具体的求解极限的例子时，我们该如何去解决？下面我们摘选极限计算中最常用的几种方法进行阐述.

1.利用四则运算法则求极限

对和差积商形式的函数求极限，首先会想到极限的四则运算法则，但是很多时候我们并不能直接运用这些法则，为了能使用这些法则，往往需要对函数做某些恒等变形或化简，那么我们会问，应该进行怎样的变形与化简呢？通过引导，学生自然会想到之前中学常用的分式约分或通分、分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式及变量替换等，然后利用极限的四则运算法则进行计算.例如，对于无理根式的极限，通常采用分子有理化或分母有理化进行求解.比如计算极限limn→∞（n2+n-n2-n），只需分子有理化即可.运算时极限号下面的极限过程是一致的，同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用.

2.利用夹逼准则求数列极限

下面以夹逼准则中的数列情形举例说明，函数的情况类似.

利用夹逼准则求极限的关键是什么呢？从准则的内容我们可以看出，只需利用不等式的放缩法将所求极限的数列适当地放大或缩小，使得放大或缩小的两个新数列的极限值相等，则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值.当然，放缩时要特别注意把握尺度，放得过大或者过小，准则都会失效.如极限

从这个例子可以看出，有时候，我们为了应用这两个重要极限，可根据原式的特点，适当地引入新变量，以替换原有的变量，使之符合其结构特点.

4.利用洛必达法则求极限

洛必达法则是求解不定式极限的强有力工具.教材中关于洛必达法则的结论只有直接适用于0[]0，∞[]∞的未定式，那么对于其他未定式，诸如0·∞，∞-∞型，能否化作0 0 ，∞ ∞ 型呢？显然，我们只需做些简单的初等变形即可得到，而00，∞0，1∞型未定式通过取对数也可以化作00 ，∞∞ 型.此外，在使用洛必达法则时每步都要检查是否符合洛必达法则的条件，计算过程中还应注意及时化简算式，把定式部分分离出来并求极限，再对未定式部分使用洛必达法则.数列作为一种特殊的函数，是否可以使用洛必达法则呢？答案是显然的.我们只需将数列极限转化为相应的函数极限，然后利用洛必达法则求解即可.

在使用洛必达法则时，所求极限相对比较复杂，往往不能直接应用，那么这个时候该如何处理呢？此时可能需要用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法，以简化过程.

5.竞赛中的极限问题

一年一度的全国大学生数学竞赛（本文只针对非数学专业举例说明）是对在校生的高等数学知识的全面考核，具有一定的难度，同时具备较强的技巧性.笔者通过分析历年的真题发现，和极限相关的问题占比很大，并且这类题具有很强的综合性.下面选择几道极限方面的竞赛题进行分析.

分析  这是一道求和式极限的问题，最直接的方法就是先求出表达式的前n项和，然后对n取极限.稍做分析便可发现，表达式的前n项和无法计算.你可能会联想到夹逼准则，但是比较遗憾，上下限不好寻找.此外，你可能还会联想到定积分的定义，初步分析发现，直接利用特殊的和式极限转化为定积分的定义求解也不好处理.到此，该极限是否就无法计算了呢？我们再回到所求极限，发现其表达式的奇偶项是正、负交替出现的.我们猜测，能否将奇数项和偶数项分开求解，然后验证两者极限是否存在且相等？为了验证这一猜测，我们不妨试一试.

以上遴选了极限计算中几种具有代表性的题型和方法，从学生的认知规律出发，初步探讨了教师在教学中应该如何将内容问题化，逐步引导学生在遇到新问题时多问几个为什么，使学生养成勤于思考的习惯.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]肖为胜.试论“未先知”教学法的理论依据与实践运用[J] .中国科教创新导刊，2010.

[4] 肖为胜.论问题式教学中的“问题”[J].大学数学，2003（19）：20-22.