具有筛选和父母关爱的毒品传播控制模型

王晓静，史洋洋，白玉珍，许传青

(北京建筑大学 理学院，北京 100044)

自从改革开放以来，中国同世界其他国家一样都面临毒品泛滥问题. 根据调查数据显示，吸毒人员“低龄化”趋势明显，在册吸毒人员中超过一半的吸毒人员是35岁以下的青少年(集中在15～35岁之间)，并且吸毒人员以初中、小学文化程度最多，部分为文盲. 有资料表明许多青少年吸毒是受其父母影响的，除了家庭成员吸毒行为的原因外，一些家庭父母离异或者长期外出，缺少正常的父母关爱和教育，孩子感到生活没有依靠、内心空虚等，都是导致青少年吸毒成瘾的原因[1-2].另外，父母因为生活或工作的原因，使得青少年离开原来的居住地迁入别处．若吸毒青少年迁移过程将毒品带入新居住地并在此交友，很可能将毒品传播给当地人．因此，建立具有父母关爱和迁移青少年毒品检测的毒品传播模型,将有助于人们更好地理解父母在青少年毒品传播中的作用，也为预防和控制毒品在青少年之间的传播提供一定的理论指导. 人们对于毒品的检测一直都在探索过程中，目前毒品检测常用的生物检材包括尿液、血液、毛发和唾液等[2]，方法简便易行.地方政府可以对移入的青少年实行毒品检测，若发现吸毒或者携带毒品，可禁止其迁入，这样就起到了筛选的作用.

传播动力学的数学模型已经被广泛应用于毒品的传播， 它能够预测毒品传播的短期或长期的趋势，并且能够提供控制毒品传播的有效措施. 基于流行病学的原理，文献[3]建立毒品成瘾的常微分方程模型为

论文在这个模型的基础上对于流动的青少年加入了检测和父母关爱这些控制策略. 父母关爱就是以一种体面的方式养育孩童，提供给他们道德的、物质的和经济的需要，包括高等教育和其他获得健康教育活动的机会，使他们能够学到毒品传播及危害的相关知识，并且学会如何保护自己不受毒品的侵害[4]. 论文中的父母关爱指的是父母为了降低毒品在青少年中的传播所采取的一切努力.

论文主要研究父母关爱和筛选对毒品在青少年之间传播的影响，给出具有控制策略的毒品传播模型，计算基本再生数R0和控制再生数Rc，同时对Rc的相关参数进行了灵敏度分析，证明无病平衡点的存在性和局部渐近稳定性，给出优化控制策略，并对所得结论进行了总结.

1 模型建立

建立如下模型

(1)

其中:N(t)表示时间t青少年总人口的规模，即时间t人口统计学中15～35岁人口的数量;S(t)表示时间t人口中易感的青少年数量;U1(t)表示时间t吸毒的青少年中没有接受治疗的人口数量(包括最初吸毒的和复吸的)，U2(t)表示时间t吸毒并接受治疗且成功的青少年数量;N(t)=S(t)+U1(t)+U2(t);μ是自然死亡率；δ1表示移除率，包括吸食毒品没有接受治疗导致的死亡率和自发的恢复率；δ2也表示移除率，包括治疗过程中毒品导致的死亡率和成功治愈具有永久免疫的比率；青少年易感者的补充率是(1-ρu1)μK，ρ表示移入的青少年中吸毒的比率，u1∈[0,1]是对移民青少年检测的影响;λ1=β1U1/N，λ2=β2U1/N，β1表示有效传染率，p表示吸毒的青少年接受治疗的比率，β2表示治疗恢复后再次吸毒的有效传染率;u1,u2是控制项，分别表示检测和父母关爱， 它们是关于时间t的函数; (1-μ2)λ1S是易感青少年通过与吸毒的青少年接触而吸毒的比例. 为了使模型更加接近现实，论文假设吸毒的青少年数量要比易感的青少年数量小得多.

模型的其他假设与文献[3]相同.

2 再生数

在没有控制的情况下，即u1=0,u2=0时，得到

(2)

可以求解系统(2)的基本再生数.

令系统(2)的右端各项均等于零，得无病平衡点E0=(K, 0, 0). 由文献[5]可知基本再生数R0为再生矩阵FV-1特征值模的最大值，下面依此求出基本再生数. 设

得到F1和V1的雅可比矩阵分别是

V1=[p+μ+δ1]，

(3)

基本再生数R0解释了在吸毒初期，当所有青少年均为易感者时，一个吸毒的青少年在其平均吸毒期内所传染的青少年的数量. 实际上，R0是决定毒品在青少年间传播与否的阈值. 一般地，R0<1时毒品不会在青少年之间传播，R0>1时情况则相反，并且R0越大，毒品在青少年传播的规模就越大，吸毒的青少年的数量就越多，毒品传播就越难控制.

用再生矩阵的方法计算控制再生数. 由

V2=[p+μ+δ1]，

(4)

对比式(3),(4)，可以发现Rc与u2有关而与u1没有关系，所以检测不会影响毒品传播的再生数.

3 灵敏度分析

将根据Arriola等[6]提出的标准敏感性指数来分析Rc对每个参数的敏感性. 通过计算，可得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

4 无病平衡点的存在性和局部渐近稳定性

如果吸毒青少年进入人群的比例是零，则无病平衡点E0=(K,0,0). 利用文献[7]中的方法可以得到定理1.

定理1如果Rc<1，则无病平衡点E0=(K,0,0)是局部渐近稳定的；如果Rc>1，则无病平衡点E0=(K,0,0)是不稳定的.

证明系统(1)的雅可比矩阵是

将无病平衡点E0=(K,0,0)代入得到

相应的特征方程是

(λ+μ)[(λ+μ+δ2)(λ+(1-u2)β1+(p+μ+δ1))]=0，

易得3个特征值分别为λ1=-μ，λ2=-μ-δ2，λ3=(1-u2)β1-(p+μ+δ1). 显然λ1，λ2是负实数，又因为当

时，有

(1-u2)β1

即λ3也是负实数，因此系统(1)的无病平衡点是局部渐近稳定的.

5 优化控制

利用优化控制理论研究在给定的时间段[0,τ]内，考虑如何最大限度地减少吸毒青少年的数量，且使得用来控制毒品在青少年中传播的花费最少. 建立一个目标函数[8]

其中:u1,u2为控制项，是与时间t有关的函数，根据文献[9-11]，选择u1,u2是二次的；Q1,Q2,Q3,Q4为权重系数，测量在有限的时间内筛选与亲本养育所需的花费.

(10)

其中:Ω={u1,u2∈L1(0,τ)‖0≤u1,u2≤1,t∈[0,τ]}.

ηU1[ρu1μK+(1-u2)λ1S+λ2U2-pU1-(μ+δ1)U1]+ηU2[pU1-λ2U2-(μ+δ2)U2].

解得

进而可得最优化控制函数

(11)

6 结束语