从“有限”到“无限”实现数学思维方式的转变

范利萍

【摘要】本文以几个简单的数学问题为例，阐述了数学中从有限到无限这一看似简单的数量变化而导致的相关结论的根本差异，启发学生用变化的观点看待问题，摆脱有限思维的限制，实现数学思维方式的转变.

【关键词】有限;无限;集合;空间

【基金项目】本文系河南大学本科教学改革研究与实践项目，编号是HDXJJG2019-106，项目名称：数学专业分析类课程教学改革与探索

在高等学校的数学课程中，极限思想几乎贯串了课程的始终，而初等数学到高等数学研究方法的转变，最根本的就是从有限到无限的思维方式的转变.无论是初识极限的高中生，还是将要系统学习极限理论的数学或非数学专业新生，都需要先接受从有限到无限这一量变到质变的过程.只有充分了解二者的辩证关系，才能真正理解极限的实质.在进行高等数学的学习之前，教师就这一问题与学生做简单的分析与探讨，不仅能够提高学生的学习兴趣，而且能够帮助学生理解一些极限求解方法的特点与本质，对极限理论以及后续分析类课程的学习都大有裨益.下面我们就以几个数学问题及其扩展问题为教学案例对有限与无限的关系进行简单探讨.

一、无穷旅馆的故事

无穷旅馆的故事能够很有效地帮助学生理解有限与无穷的本质区别，教学设计中我们可以循序渐进地提出问题，然后逐步引入问题背后的数学原理.

问题引入：希尔伯特在谈到“无限大数”的性质时讲了一个故事：一家旅馆内设无穷多个房间（首先要接受无穷多个房间这样一个假设）.有一天，所有的房间都住了客人（即旅馆已经住满了）.这时有一位新客，想入住该酒店.如果是现实生活中的情形，房间数量有限，老板当然会说：“对不起，已经住满了.”可是旅馆主人的回答是：“不成问题！”那么他是怎样解决问题的呢？

学生通常能想到的只有现实生活中常见的将一间分成两间，腾出一个沙发等非数学问题的解决办法，几乎无人从无穷多个房间的角度去思考（有限思维限制了我们的想象）.而该问题的答案正是基于“无穷多”这一特点.事实上，旅馆老板的答案是：将1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号……依此类推，每一间的旅客都往后移动一间，就空出了1号房间.

有不少同学会提出质疑：最后一间的旅客怎么办？如此，自然地引入本节问题，说明无穷和有限的最本质区别，即没有最后一项.因此所有与“最后一间”相关的问题，前提都是不正确的.

进一步，能否腾出任意（有限）间房？答案当然是肯定的，方法同上.

最后再提出问题：能否腾出无穷多个房间？

有了前面的铺垫，有同学已经能够想到让第n号房间的旅客移到第2n号房间的方法，或者类似地n号移到（2n+1）号，或者n号移到3n号，等等.

二、集合的势

由上一例子的最后一个问题再进一步引申：正整数集和正偶数集所含元素个数是否可以看成一样多？

简单地比较，正整数包含正的奇数和偶数，自然是正整数集所含的元素个数多.通过这一例子，可以自然地引出实变函数课程中对于集合势的定义.

可见，从有限集到无限集，除了元素个数增加这个量变过程，更有质的飞跃.因此，有限情况下成立的结论在无限情况时未必成立.

三、关于数列和无穷级数

数列极限性质中有一条重要性质：增加、去掉或改变数列的有限项，数列的敛散性不变.

无穷级数中也有类似结论：增加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.

理解这两条性质的关键在于理解“有限项”的含义.事实上，级数的敛散性本质上属于数列的敛散性.一个数列有无穷多项，而决定数列敛散性的关键因素在于从某一项开始后面无穷项的性质，即数列的变化趋势.改变有限项后，数列或级数本身发生了变化，但是有限项并不能影响后面无穷多项的变化趋势，因此改变有限项只是对无穷序列的一个扰动，而不改变其收敛或者发散的本质.

同时，正是因为无限的概念和无限项求和的运算，才产生了数列和无穷级数的概念，以及后续对函数项无穷级数的运算性质的讨论.在高等数学的基本运算中，极限、导数和积分运算都具有线性性质，有限个可导函数和的导数就等于每一项求导以后求和，即可以逐项求导，但是对无穷多项求和却未必成立，而需要进一步考虑一致收敛等性质.

我们在初等数学中所讨论的最大值、最小值问题扩展到无限多项求最值或函数最值问题时也是需要先讨论其存在性问题.对于数列中的有限项，我们可以准确地求出最大值和最小值，而无穷多项却未必能取到最值，因此数学中有了确界的概念，以代替最值进行讨论.而收敛数列有界性的证明过程中用到的截尾法，正是运用了前有限项取最值和后面无穷项逼近的思想.

另外，受初等数学运算习惯的影响，数列极限运算中常用到的一个结论“有限个无穷小的和是无穷小”，也常常被初学者误用于无限项求和的情形而导致错误结论.容易判断出“有限”这个前提条件必不可少，因为无穷多个无穷小的和未必是无穷小（甚至可能是无穷大）.例如：

由上面的例子可以看出，在集合运算中，有限项和无限项集合的运算，其结果也是截然不同的.

在积分运算中，我们也常对相关的函数提出有限这一条件，例如，在一元函数可积性的讨论中，可积的充分条件之一就是：若函数在区间[a，b]上有界，且至多有有限个间断点，则该函数在[a，b]上可积.对于二元函数的可积性，则要求有界函数在平面闭区域上除有限个点或有限条光滑曲线外均连续.这里的“有限”即是为了保证不连续的点不能“太多”，以防这些点集所构成的长度或体积（严格来说，称为测度）不等于零.

可积性条件中，有限这一限制条件并非必须，但却是最简单直观的表述，对于非数学专业的学生而言更容易接受和掌握.在实分析的学习中，可以将有限这一约束条件放宽为对应集合为零测度集.当然，测度为零的集合可能是有限集，也可能是无限集，因此使用零测度集的概念就可以避免对有限与无限的讨论，也是对相应结论的扩展.

五、关于空间维数

我们常用的微积分和代数运算都是在有限维空间，主要是欧氏空间上进行的，对于无穷维空间上的相关运算，则需要另外讨论.例如，在有限维空间上成立的几个重要性质，如空间上距离的定义、完备性、可分性、紧性及区间套定理，在无限维空间中则可能不成立.有限維赋范线性空间与欧氏空间具有类似的结构，具有与后者等价的范数，最常用的结论“集合A为紧集当且仅当A是有界闭集”也是一致的.从有限维空间到无穷维空间，最本质的差别在于紧性概念的变化.无穷维空间中紧集仍然是有界闭集，但有界闭集未必是紧集[2]，可见，空间维数为有限或无穷对空间本身的性质起着决定性作用，由此学生可理解泛函分析课程的目标与意义.

庄子说：“吾生也有涯，而知也无涯.”有限的生命可以容纳无限的知识，可以承载我们对于科学无限的探索，因此从有限到无限的认识不仅是对数学概念的认识，也是对生命意义的认识.詹姆斯·卡斯的著作《有限与无限的游戏》中，也有些非常有趣的探讨[5]可供大家参考.类似的例子在数学中不胜枚举，关于有限和无穷的探讨在社会生活和思想文化等领域也颇有意义.此文仅就数学学科中的几个例子简单讨论，初步展示从有限的相对固定到无限的不断变化之间的区别与联系，启发学生运用变化的眼光看待问题，摆脱有限思维的限制，实现有限到无限的思维方式的转变，进而更顺利地完成初等数学到高等数学思想方法的转换和知识体系的有效对接.

【参考文献】

[1]Walter Rudin.实分析与复分析Real and Complex Analysis：第三版[M]. 北京：机械工业出版社，2004.

[2]张恭庆.泛函分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社，2011.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[4]同济大学数学系. 高等数学：第七版[M]. 北京：高等教育出版社，2015.

[5]詹姆斯·卡斯. 有限与无限的游戏：一个哲学家眼中的竞技世界[M]. 北京：电子工业出版社，2013.