考虑作动器输出约束的分散中间质量混合隔振系统建模分析

牛宁，刘钟，孙玲玲*，2

1 山东大学机械工程学院，山东济南250061

2 机械工程国家级实验教学示范中心，山东济南250061

0 引 言

隔振是应用广泛且行之有效的振动控制措施，隔振系统的演化过程显示了工程需求的不断变化和人们对隔振机理认识的不断深入［1-2］。单层隔振是最早开始研究并应用的隔振方法，但在用于低转速大型设备的隔振时，支承刚度需要设计得很小，这与系统的稳定性要求相矛盾［3-4］。为了改进其存在的不足，在被隔离体与安装基础之间插入两层隔振器，并在二者之间安装一个刚性质量块构成双层隔振系统。改进后的系统支承刚度优于单层隔振系统，在激励频率大于二次谐振频率后，其传递率的衰减量是单层隔振系统衰减量的平方，同时，改进后的系统还兼顾了系统的稳定性和衰减性［5］。双层隔振系统若要获得更优的隔振效果，需要提供必要的中间质量，但是过多的附加质量会受到舰船的空间和重量约束。为此，将多台动力设备集中布置在同一个中间结构（筏体）上，构成浮筏隔振系统，其不仅考虑了工程限制，还可以得到较好的隔振效果［6-7］。然而，相比于双层隔振系统，在高频扰动下，浮筏隔振系统的中间筏体柔性结构与基础等柔性子结构，会因波动效应发生动力耦合，而被激发的结构与周围介质耦合后将辐射出高频噪声［8］。因此，为控制高频噪声，文献［9］提出了分散中间质量隔振系统的概念，即将整体式中间结构分散为若干个中间质量块（刚性），并分别安装在上、下级隔振器之间，以此避免整体中间结构弹性模态被激发而带来新的结构噪声问题。

主动隔振是在被动隔振器上并联能产生满足一定要求的作动器，通过反馈信号进而控制相关参数，实时调整控制力的大小，以便更好地实现振动控制［10］。主动控制方法可以有效控制低频段的系统刚体模态，并在更宽的频率段实现较优的隔振效果。舰船动力设备通常为旋转机械，其激振信号易于获取，为保证控制的稳定性，一般选取自适应前馈控制方法。在工程应用中，主动力通常因受到作动器输出的饱和约束而无法达到理想的输出功率，因此，需要设定作动器输出阈值，以降低理论计算对实际隔振效果的预测误差。

文献［11］阐述了分散中间质量隔振系统在舰艇成功应用的实例，但是该系统在振动特性分析方面仍存在以下不足：1）模型基于简单的集总参数系统，将隔振器及安装基础视为无质量弹簧元件和刚性结构，而未考虑子结构在中、高频段的波动效应［12-13］；2）未探究分散中间质量对隔振器驻波的影响，而这是深入阐述该系统高频隔振效果的关键；3）未对分散中间质量通过避免中间结构波动效应减少子系统动力耦合来改善系统高频隔振效果进行机理探讨；4）未给实际工程提供更准确的理论预测，还需要研究作动器实施约束前、后系统振动能量波动的情况，以及作动器不同安装方式下振动能量的传递规律。

鉴此，本文将利用导纳矩阵分析法，推导系统的振动能量传递函数，建立考虑作动器输出约束的主/被动联合分散中间质量隔振系统的广义分布参数解析模型。在此基础上，探究隔振器驻波、中间结构波动效应、机器与分散中间质量的质量比以及作动器不同安装策略对隔振系统能量传递的影响规律，以此进一步分析复杂激励下分散中间质量隔振系统的能量波动特性。

1 理论模型

图1 所示为柔性基础上分散中间质量多支承隔振系统模型。图中，动力设备受到沿y，z 轴的力扰动及绕x 轴的力矩扰动所组成的复杂激励作用。按照耦合界面，本文将系统分为以下几个部分：机器子结构A（机组）；上层隔振器B（上层隔振支承）；分散中间质量块C（中间筏体）；下层隔振器D（下层隔振支承）；柔性基础子结构E（安装基础）。如图1 所示，m 个分散中间质量与上、下层隔振器安装在一起，且同一层隔振器等间距对称布置。图中，Fz，Fy，Mx分别为机器在垂向，横向及绕x 轴方向受到的激励力。

图1 分散中间质量多支承隔振系统Fig.1 Multi-support vibration isolation system with decentralized intermediate mass

图2 主/被动混合隔振器及受力情况Fig.2 Active-passive hybrid isolators and stress conditions

图3 动力耦合系统振动传递示意图Fig.3 Schematic diagram of vibration transmission of the dynamic coupling system

1.1 机器子结构

式中：下标a 为机器子结构A 输出到隔振器的表面力。根据刚体动力学，机器子结构在复杂激励作用下的动态特性方程由导纳矩阵表示为

其中，

式中：H 为机器子结构惯性矩阵，其中MA和IA分别为机器质量与转动惯量，j= -1，ω为激励频率；tk为第k个分散中间质量块对应的自由度匹配矩阵，k=1，2，…，m，其中b 为机器重心高度，a2k-1及a2k为第k个隔振器上端在机器子结构局部坐标系中的位置，下标k为隔振器计数；T 为自由度匹配矩阵；R 为T 的转置。

1.2 上、下层隔振器子系统

基于Snowdon 的Long rod 理论［4］，考虑粘弹性橡胶隔振器的分布参数特性，其结构阻尼以恒值损耗因子η等效，密度为ρ，弹性模量为E。本文分析尚不涉及橡胶隔振器的温变、频变及大变形特征。如图2 所示，在隔振器内部的作动器提供了垂向力，主动力与隔振器被动力的合力表示混合隔振器的总输出力。

此时，隔振器子结构B，D 的输入、输出广义力FBt，FDt，FBb，FDb与速度响应矢量VBt，VBb，VDt，VDb分别为：

上、下层隔振器动态特性采用如下导纳矩阵形式表示为：

式中：Bij，Dij（i，j=1，2）分别为上、下层隔振器的导纳矩阵元素［14］；qb，qd分别为作动器作用于机器和基础梁上的控制力（垂向力）；TB，TD分别为主动力qb，qd对应的自由度匹配矩阵；α，β分别为上层及下层隔振器坐标，并对应于作动器4 种安装方式，包括无作动器（即被动控制，α=β=0）、仅在上层隔振器中安装作动器（即机器控制，α=1，β=0）、仅在下层隔振器中安装作动器（即基础控制，α=0，β=1）及上、下层隔振器中均安装作动器（即完全主动控制，α=β=1）。

1.3 分散中间质量与柔性浮筏结构

分散中间质量块可以沿y，z 轴平移并绕x 轴转动，不具备弹性模态。柔性筏体被模化为两端自由的欧拉梁结构，其动态特性包括了刚体模态和弹性模态2 个部分。

此时，输入、输出质量块和筏体的广义力FCt FCb及速度响应矢量VCt，VCb分别为

分散中间质量和筏体动态特性采用如下导纳矩阵形式表示为：

其中，

式（5）中，导纳矩阵中的具体元素见文献［10］。MCk及ICk分别为第k 个中间质量块的质量及转动惯量；系数bC=l/2 ，其中l 为中间质量块厚度；和分别为上、下层隔振器上端在分散中间质量块局部坐标系中的位置。

1.4 柔性基础子系统

对于柔性基础子系统，本文将其模化为两端固定的欧拉梁结构，输入基础子系统的广义力FE和速度响应矢量VE分别为：

基础动态特性可表示为

式中，M 为两端固定梁的速度导纳矩阵［10］。

1.5 耦合系统振动特性传递矩阵

根据耦合界面上的力与速度关系，综合式（1）～式（6），可以得到机器的速度响应矢量VO及输入基础的力FE、速度响应矢量VE分别为

式中，Mpa为机器子系统传递函数矩阵；Mpc，Mac分别为整体隔振系统被动、主动通道传递函数矩阵；M为基础子结构的导纳矩阵。式（7）具体算式如下：

输入到整体系统及通过上、下层隔振支承、分散中间质量或浮筏结构传递到安装基础的时间平均能量流为：

式中，Po和Pe分别为输入系统和输出到基础的能量流；Re 表示取复数实部；，分别为FO，FE的共轭转置。

1.6 约束输出控制策略

在频域分析中，考虑前馈控制系统的多通道传递特性，结合式（7），将式（9）写为如下控制变量形式。

式中，e为控制输出；d，u分别为外扰激励与控制力矢量；P，G分别为被动、主动通道传递函数［15］。

考虑到工程实际中作动器的输出力上限阈值umax，将控制力矢量u作为惩罚项，得到最优控制价值函数J为

式中：λ为Lagrange 惩罚因子，一般通过选配法获取［16］，其取值大小将影响到作动器输出力大小，进而影响到施加主动控制后的隔振效果；eH，uH分别为控制输出矢量和控制力矢量的共轭转置。

将式（9）和式（10）代入式（11），写为标准的Hermitain 形式，即

其中，

由于Α为正定矩阵，式（12）存在全局最小值Jmin，此时对应的最优主动力控制力矢量uopt的表达式为

2 数值模拟及结果分析

本文算例所示隔振系统的主要结构参数见表1。取分散中间质量数m=4；r=MC/MA，为中间质量与机器质量MA之比，其中MC为分散中间质量块的质量之和。隔振器相对于基础梁对称布置。除特别说明外，各中间质量块质量相同。

2.1 中间结构对系统振动能量传递的影响

为研究分散中间质量隔振系统，本文将浮筏隔振系统设置为对照组。筏体因其结构尺度大，被视为非刚体，具体几何尺寸如下：长2 m、宽0.5 m、厚0.1 m。材料特性参数与基础梁相同。保持分散中间质量与浮筏结构质量参数相同，以便于区分说明结构非刚性因素对系统振动能量传递的影响，基础梁和中间筏体固有频率由表2 和表3 分别给出。

图4 所示为复杂激励下分散中间质量隔振系统的能量波动曲线（能流谱）。由图可看出：机器和分散中间质量的前3 阶刚体模态为低频段能量传递的主导模态；而在中、高频段，安装基础的弹性模态及隔振器驻波导致振动能量传递波峰集中出现，系统隔振效果变差。

表1 隔振系统主要结构特征参数Table 1 Main structural parameters of the proposed vibration isolation system

表2 安装基础固有频率Table 2 Natural frequencies of the base

表3 中间筏体固有频率Table 3 Natural frequencies of the intermediate raft

图4 复杂激励下分散中间质量隔振系统能流谱（α= β=0）Fig.4 Energy flow spectrum of decentralized intermediate mass vibration isolation system under complex excitation（α= β =0）

图5 所示为复杂激励下浮筏隔振系统的能量波动曲线。由图可看出：中间筏体第2 阶弯曲模态在366.9 Hz 处被激发，该阶弹性模态与隔振器第1 阶驻波（401.4 Hz）密集间隔出现，两种弹性波发生耦合，导致振动能量在较窄频段内发生剧烈传递，这明显远超图4 所示中、高频段的能量传递量，从而使系统中、高频隔振效果变差，甚至导致隔振失败。

图5 筏体添加柔性前、后浮筏系统的能流谱（α= β=0）Fig.5 Energy flow spectrum of floating raft system before and after flexibility addition（α= β=0）

为进一步明确中间结构柔性模态对隔振效果的影响，比较了垂向激励下分散中间质量隔振系统与浮筏隔振系统的振动能量传递情况，结果如图6 所示。

图6 分散中间质量隔振系统与浮筏隔振系统的能流谱（α= β =0）Fig.6 Energy flow spectrum of decentralized intermediate mass vibration isolation system and floating raft system（α= β =0）

由图6 分析可知：浮筏隔振系统受到垂向力激 励 时，筏 体 的 第1 阶（132.3 Hz）和 第3 阶（720.6 Hz）弯曲模态被激发，同时，柔性基础的第1阶（58.8 Hz）、第3阶（320.2 Hz）、第5阶（790.5 Hz）弯曲模态被激发（上、下层隔振器相对于中间筏体和基础对称布置，偶数阶模态未被激发）。需要指出的是，基础的第5 阶模态频率（790.5 Hz）和隔振器的第2 阶纵向驻波（801.4 Hz）相差较小，而此时柔性筏体的第3 阶弯曲模态（720.6 Hz）也在邻近频段被激发，从而诱发了较强的弹性耦合效应，使得注入基础的能量在600～1 000 Hz 频段内增大，导致系统在中、高频段的隔振效果变差。相比之下，对于分散中间质量隔振系统，传递到基础的能量曲线仅出现了基础模态和隔振器纵向驻波导致的波峰，这是因为分散中间质量的传递路径被视为刚体，去除了中间结构的柔性模态，从而降低了各柔性子结构相互耦合时弹性波对振动能量传递的加剧作用。

2.2 隔振器驻波对系统能量传递的影响

通过2.1 节的分析可知，中间结构及基础的波动效应对中、高频激励下系统的能量波动影响较大，并且隔振器内共振形成的驻波也是引起系统中、高频段能量剧烈传递的主要因素。

为进一步分析隔振器驻波对系统能量传递的影响，模拟了垂向激励下分散中间质量安装前、后隔振系统在整个频段内的能量分布情况，结果如图7 所示。

图7 安装分散中间质量前、后的系统能流谱（α= β=0）Fig.7 Energy flow spectrum of the system before and afteradding decentralized intermediate mass（α= β=0）

由图7 分析可知：安装分散中间质量块前的能量传递曲线出现了前4 阶隔振器驻波（200.7，401.4，602.1，804.8 Hz）；安装后，驻波频率提高，在1 000 Hz 内仅出现了2 阶隔振器驻波（401.4，804.8 Hz），这是由于添加分散中间质量块后，隔振器纵向尺寸与其弹性波半波长的几何关系发生变化，导致内部行波和反射波叠加产生的驻波频率提高。同时，添加分散中间质量块后，系统中、高频段内的能量传递曲线下降速率明显变快，传递到基础子系统的能量显著降低。

2.3 质量比对系统能量传递的影响

相比于其他隔振系统，分散中间质量隔振系统具有易拆卸的优点，这也为改善系统的隔振效果增加了实际操作空间。因此，研究分散质量块与机器的质量比，可以为优化该隔振系统性能提供一定的理论指导。

图8 所示为在垂向激励下不同质量比r 分散中间质量隔振系统的能量传递曲线。由图8 分析可知：随着r 值的增大，中间质量带来的共振频率左移，同时中、高频段的能量传递曲线也略呈下降趋势，在更宽频段内系统的隔振效果参数仅略有增强。可见，通过增加中间质量来换取隔振效果的性价比并不高。若想大幅提升此类隔振系统的隔振效果，后续研究应集中在隔振器优化布置及隔振器阻抗失配等方面。

图8 不同质量比下系统的能流谱（α= β=0）Fig.8 Energy flow spectrum of the system at different mass ratios（α= β =0）

2.4 作动器约束控制下的系统能量波动

本节讨论中，将以传递到基础的能量流Pe作为参考，分析3 种作动器安装方式下系统振动能量传递的分布情况。

图9 所示为机器控制（上层隔振器中安装作动器）下传递到基础的振动能量曲线。

图9 机器控制下传递到基础的能流谱（α=1，β=0）Fig.9 Energy flow spectrum transmitted to the base under machine control（α=1，β=0）

由图9 分析可知：施加无约束主动控制力后，在15 Hz 以下的低频段，输入基础的能量被大幅度衰减，同时，中、高频段传递到基础的能量也得到了相当程度的抑制；对主动力施加约束后，仅低频段传递到基础的能量被衰减且幅度小于前者，而在100 Hz 以上的频段，系统隔振效果与被动隔振时基本一致。之所以存在上述差异，其主要原因是未施加约束时作动器提供的主动力量级相对较大，而实际主动力存在阈值，不可能无限大。

通过上述分析可见，是否约束输出主动力对理论预测的结果影响较大，因此，为减小理论隔振模型的预测误差，并更加贴近工程实际，考虑作动器输出约束是必要的，这可以为工程隔振应用提供进一步的指导。

图10 所示为基础控制（下层隔振器中安装作动器）下传递到基础梁的振动能量曲线。与机器控制不同的是，主动力施加约束后，基础控制的隔振效果在全频段内得到了提升。这是因为基础控制时，主动力直接作用在基础子结构上，基础结构的部分弯曲振动模式受到了一定限制，同时充分利用了中间质量带来的高频隔振效率，从而对系统中、高频段能量传递波峰起到了明显抑制作用。

图10 基础控制下传递到基础的能流谱（α=0，β=1）Fig.10 Energy flow spectrum transmitted to the base under basic control（α=0，β=1）

由上述分析可知，相较于机器控制方式，基础控制方式对系统中、高频段能量传递的抑制更有优势。鉴于作动器输出未施加约束时隔振系统的情况已通过图9 和图10 进行了描述，下文仅分析作动器施加约束时在完全主动控制（上、下层隔振器中均安装作动器）下传递到基础的振动能量曲线，如图11 所示。

图11 完全主动控制下传递到基础的能流谱（α=β=1）Fig.11 Energy flow spectrum transmitted to the base under full control（α=β=1）

由图11 分析可知：完全主动控制方式兼具了机器控制在低频段和基础控制在中、高频段的优点，使得分散中间质量隔振系统在全频段内都具有良好的隔振效果。但需要指出的是，完全主动控制方式相对于前两种控制方式需要消耗的能量更多，在隔振系统设计时有必要综合考虑和权衡隔振效果及额外能耗，而不同控制方式下的隔振收益及能耗的具体量化比较研究则有待进一步深入。

通过理论分析和数值仿真研究表明：基础控制和完全主动控制方式在全频段内的隔振效果良好，机器控制作用相当于增加了系统阻尼，明显削弱了系统的低频刚体共振模态，但对中、高频段的能量传递抑制效果并不明显。此外，需要指出的是，无论是否施加主动控制力，传递到基础的能量振动曲线总是在480.5 Hz 频率处出现集中传输的现象，而这恰好是隔振器的第1 阶横向驻波频率，即表明在中、高频段内不能忽略由横向力引起的能量波动，否则有可能导致隔振失败。

3 结 论

相比传统的隔振系统，分散中间质量隔振系统的中、高频隔振性能突出，将其应用于大功率、高转速动力设备振动隔离时，可有效降低振源高频振动产生的结构噪声，从而得到一个安静的舱室环境。随着未来全电力推进系统的使用，高频隔振问题将成为舰船设计的重点，分散中间质量隔振系统的潜力将得到进一步发挥。本文针对该系统的隔振问题，考虑了系统的分布参数特性及实际作动器输出的限制因素，建立了分散中间质量混合隔振系统的广义理论模型。通过数值模拟，详述了该系统的能量波动特性，并得到如下结论：

1）分散中间质量隔振系统相比传统的浮筏隔振系统，避免了中、高频段内中间子结构的波动效应，减弱了柔性子系统间的动力耦合交互作用，对系统中、高频噪声的产生具有更为积极的抑制效果。

2）在隔振器中间添加分散中间质量块，降低了隔振器在目标频段内发生内共振的几率，削弱了中、高频段隔振器驻波效应对振动能量传递的放大作用。

3）增大中间质量后，中间质量块的刚体模态频率左移，隔振器驻波形成的能量传递波峰略有下降，但是通过调节中间质量大小来提升高频隔振效果的性价比较小。考虑工程中关注的重点，下一步工作应集中在隔振器的优化布置和隔振器阻抗失配等方面。

4）在中、高频段，基础控制优于机器控制，其可以获得更好的隔振效果。而对主动力施加约束后，理论模型对隔振效果的预测误差在全频段内显著降低。