“物不知其数”的算术求法

闫晓霞

（汉中职业技术学院 陕西汉中 723000）

我国古代著名数学书《孙子算经》中，有这样一道名题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”这类问题一般是求满足条件的最小数。它也是小学数学各类竞赛的常见题型，在小学数学刊物或学生假期作业中，也常有“物不知其数”的求解问题。如：某校学生参加广播体操比赛，四人一排余一人，五人一排余二人，七人一排余四人。问至少有多少人比赛?

这类问题通常用同余或不定方程求解比较简便。但是，为了使问题能在小学数学知识范围内得到解决，下面介绍一种算术方法，供师生参考。

一、算术求法的依据——中国剩余定理

“物不知其数”的算术求法的依据是下面的两个定理：

定理：被除数增加(或减少)除数的倍数，除数不变，余数也不变。即：a÷b=q如果(余r)

那么(a+nb)÷b=q+n(余r)(n为整数)

定理2：被除数扩大(或缩小)几倍，除数不变，则余数也扩大(或缩小)同数倍。

即：a÷b=q×n如果(余r)

那么(a×n)÷b=q×n(余r×n)(n 为整数)

这两个定理也叫中国剩余定理。证明从略。

二、算术求法的步骤——中国剩余定理的应用

本文开头的问题可译为例1：某校学生参加体操比赛，人数除以4 余1，除以5 余2，除以7 余4，问至少有多少人参加比赛？

求解步骤如下：

①根据定理2，先求出满足每个条件的数：

在5 与7 的公倍数中找满足除以4 余1 的数：[5，7]=35，35÷4=8，(余3，不符合余数为1)。由定理2，(35×3)÷4=8×3(余3×3， 余 数 比 除 数 大 应 继 续 除)(3×3)÷4=2( 余1)， 即105÷4=26(余1)，得到105 是满足被4 除余1 的数。

在4 与7 的 公 倍 数 中 找 满 足 除 以5 余2 的 数：[4，7]=28，28÷5=5( 余3)， 根 据 定 理2：28×4÷5=5×4( 余3×4)，3×4÷5=2(余2)，即：112÷5=22(余2)，得到112 是满足被5 除余2 的数。

在4 与5 的公倍数中找满足除以7 余4 的数：[4，5]=20，20÷7=2( 余6)， 由 定 理2，(20×3)÷7=2×3( 余6×3)， 而18÷7=2(余4)，即：60÷7=8(余4)，所以60 是满足被7 除余4的数。

②根据定理1，将符合每个条件的数相加，所得的和：

105+112+60=227，就是满足除以4 余1，除以5 余2，除以7 余4 的数。这是因为227=105+(112+60)=105+4×(28+15)=105+4×43，因为105 被4 除余1，由定理1 知277 被4 除余1。同理，277 被5 除余2，被7 除余4。

③由于算得的和未必是最小数，如果不是，应该从和中减去这几个除数的最小公倍数的整数倍所得的差即为所求(请读者想想为什么?);因为[4，5，7]=140，而277 大于140，于是：

277-140=137。所以参加比赛的最少人数是137 人。(其他可能的人数为137+140×n，n取自然数)。

再举一例

例2.一个数除以3 余2，除以5 余3，除以7 余4，求满足条件的最小数。

解：[5，7]=35，35÷3=11(余2)，

所以35 是满足除以3 余2 的数。

[3，7]=21，21÷5=4(余1)，根据定理2，(21×3)÷5=4×3(余1×3)即63÷5=12(余3)，

所以63 是满足除以5 余3 的数。

[3.5]=15，15÷7=2(余1)，由 定 理2，(15×4)÷7=2×4(余1×4)即60÷7=8(余4)

所以60 是满足除以7 余4 的数。

35+63+60=158，又因为[3，5，7]=105，158-105=53，

所以53 是满足条件的最小数。( 其他可能的数为53+105×n，n取自然数)

例3：用一辆卡车运货物，如果每次运9 袋余1 袋，每次运8 袋余3 袋，每次运7 袋余2 袋，这批货物至少有多少袋?

根据以上步骤，很容易解决这个实际问题。（答案：163 袋)

三、结束语

通过以上例子，我们总结出了“物不知其数”问题的算术求解方法，避开了同余或不定方程求解，使得该类问题能在小学数学知识范围内得到解决，也是中国剩余定理在生活中的一个具体应用[1-3]。