分类讨论思想在初中数学教学中的应用分析

邱琴

摘 要：分类讨论思想是一种非常重要的数学逻辑思想。这种思想在发展学生思维、提高学生的核心素养起着重要作用。在历年的中考中，有关此思想的数学命题占有重要地位，但对初中学生来说又是一大难点。本文从分类讨论思想在初中数学教学中的应用问题和应用策略及类型分析这几个方面进行阐述，希望有助于实际教学的发展。

关键词：分类讨论;初中数学;应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2020）32-0096-02

【Abstract】Classified discussion is a very important thought of mathematical logic. This kind of thought plays an important role in developing students' thinking and improving their core quality. In the senior high school entrance examination over the years，the mathematical proposition about this idea occupies an important position，but it is a big difficulty for junior high school students. This paper expounds the application of classified discussion thought in junior high school mathematics teaching，application strategies and type analysis，hoping to contribute to the development of practical teaching.

【Keywords】Classified discussion;Junior high school mathematics;Application

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要将对象按某个标准区分出为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.也就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。此思想可以培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力，有利于初中生数学核心素养的培养与提升。下面对分类讨论思想在初中数学教学中的应用进行一些初步探讨：

1.教学中，学生在解题时经常出现的问题。

在利用此思想解决数学问题时，学生存在着一些问题有待解决，其一：学生对知识系统掌握的不够扎实，没有分类讨论的意识;其二：学生认为数学题目比较难，数学思维量比较大，如何进行分类存在着很大问题;其三：学生对分类思想方法的具体应用不是很清晰，在分类中就会存在着不合理之处，也就导致了考虑问题不周全而造成漏解或重复;其四：分类讨论的思想有着很多的技巧，程度不好的学生就没办法完全掌握。

2.初中数学中分类讨论思想在解题中常见的类型

教师要能够对分类讨论思想有明确详细的认识，这样才能更好的指导学生。老师要在教材的理解以及教学目标方面有着充分了解，掌握各方面的知识和技能，将专业水平不断的提升，只有如此，才能将分类讨论思想的作用在教学中得到充分发挥。在进行应用分类讨论思想的时候，要能将讨论的对象以及讨论的范围加以明确化，要能确定同一类的标准，并能科学的对全体对象实施分类，而且分类要做到不重复，不遺漏，然后逐类地加以讨论，最后进行综合性的加以概括和得出结论，需要分类讨论的类型主要有以下几方面：

（1）由数学概念导致的分类讨论，利用定义要考虑所有可能的情况;

例1：已知点A（3，0）、C（0，?4）在线段AC上，有一点Q，AQ=4，若在x轴上有一点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形，请求出E点的坐标。等腰三角形的定义中描述：有两边相等的三角形为等腰三角形，所以要考虑AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ三种情况，最后得解。

（2）由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论;

例2：若xx-2019=1，求x的值。

此题根据：（1）公式x0=1（x不等于0），（2）1n=1，（3）（-1）2n=1这三种情况来分析，得出x=2019，1，-1.

例3：某工厂准备购进甲乙两种商品，甲种进价80元/件，售价120元/件;乙种进价60元/件，售价90元/件，计划购进两种商品共100件，其中甲种不少于65件.

第一，若购进这100件商品的费用不得超过7500元，则甲种商品最多购进多少件？

第二，在第一的条件下，该工厂对甲种商品以每件优惠a（0

第二的解答：设总利润为w元，因为甲种商品不少于65件，所以65≤x≤75.w=（40-a）x+30（100-x）=（10-a）x+3000.根据一次函数的性质对（10-a）进行讨论，（10-a）的不同取值对最值产生影响：方案1：当00，w随x的增大而增大，所以当x=75时，w有最大值，则购进甲种商品75件，乙种商品25件;

方案2：当a=10时，所有方案获利都相同，所以随便哪种方案进货都可以;

方案3：当10

（3）由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论;

例4：若|x|=2，|y|= 3，则x+y等于多少？要考虑x，y是非负数还是负数，才能把绝对值符号去掉，本题要分①x=2，y=3? ②x=2，y=?3? ③ x= ?2，y=3? ④x= ?2，y= ?3四种情形进行讨论。

（4）结论存在多种情况，不能一概而论时而引起的分类讨论;

例5：求不等式的1-ax>3解集时，要根据不等式的性质对a进行分析。即a>O与a<0这两种情况进行讨论

例6：如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，?2）三点.

第一，求出抛物线的解析式;

第二，P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

第一的解答略，第二∵△OAC是直角三角形，以A、P、M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，每种位置又有两种情形一是△APM∽△ACO，另一种是△APM∽△CAO，分别用相似比解答;

（5）由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论;

例如：⊙O1、⊙O2的半径分别为13和20，两圆相交于A、B两点，且AB的长24，求圆心距O1O2和∠O1AO2（精确到1°）。

此题没有图形，所以一定要考虑分类的情况，将不同位置的两个相交圆画出，一种是两个圆心位于AB的同侧，另一种是位于AB的两侧。这道题主要是防止题目漏解的情况出现。

3.在初中数学解题中分类讨论思想的应用策略

初中数学老师在应用分类讨论思想过程中，要对学生的学习情况有充分的了解，对学生这一解题思想的应用情况，针对性的提出帮助，帮助学生掌握分类讨论思想的应用。具体策略如下：

（1）转变教学理念，打破传统的教学思想模式，通过现代化的教学思想进行教学，紧密和新课程标准相结合，并将学生作为教学的中心，围绕着学生来展开教学活动，创新性的应用分类讨论思想。

（2）制定准确的数学教学目标，对教学中的每个知识点和模块都要进行精心的设计，满足学生的实际学习需求。并能通过现代化技术的应用，促进学生的学习兴趣和效率的提升，将多媒体技术和网络技术在课堂中加以应用，营造动态化的教学环境。

（3）在教学中应注重对学生分类讨论思想的培养，将分类讨论的思想渗透到解题过程中，引导学生仔细观察，合理展开分类。在分类过程中，善于引导学生简化讨论方法，防止分类过分复杂导致错误。并注重提高学生在进行分类讨论时的思维缜密性，让学生在具体的练习中养成分类讨论的习惯，了解分类讨论的原则 。最后达到利用分类讨论思想来提高学生的数学综合解题能力，这也是新课改的具体要求。

总而言之，初中数学的解题教学中，应用分类讨论思想要能遵循相应的原则，这样才能将分类讨论的作用得到充分发挥，对学生的学习效率才能有效提升。分类讨论思想的应用中，老师要能够将教学的内容作为主要的载体，和每个教学环节的特征相结合，然后将分类讨论的思想在每个环节中加以融入，通过科学化的方式让学生能对这一解题思想得以领会并吸收，让学生确实掌握分类讨论的问题的解决方法与策略，才能让学生学习效率得以提升，才更能利于培养与提高中学生的数学核心素养。

参考文献

[1]顾燕霞.初中数学思想方法教学策略研究[D].苏州大学，2017

[2]刘继和.“分类讨论”在初中数学教学中的应用[A].中华教育理論与实践科研论文成果选编第4卷，2010