从2020年高考江苏卷第12题谈求最值的方法

俞新龙

真题：已知5x2y2+y4=1（x， y∈R），则x2 +y2的最小值是_________.

本题是应用基本不等式求最值类问题，其做法可以是：（解法1）因为（5x2+y2）y2=1，所以（5x2+y2）4y2=4，因此4=（5x2+y2）4y2 ≤[■]2 =■（x2+y2）2，故x2+y2≥■，于是得x2+y2的最小值是■. 但我们知道，本题不能直接使用基本不等式解题，还是需要进行一定的配凑技巧，而配凑是学生的弱项，因此，学生比较惧怕需要进行类似处理的不等式最值问题. 那么，能否从其他途径来破解呢？我们认为三角换元法、消元法和等差（等比）中项法是不错的选择.

一、三角换元法

当考题的条件或所求目标式中有平方和结构特征时，一般就可以从三角换元法考虑解题，用三角换元法解题时只需要一步一步地计算而不需要解题技巧了. 例如本高考题可以有以下两种做法：

三角换元法1（解法2）：注意到条件式5x2y2+y4=1，则可设5x2y2=cos2θ，y2=sinθ>0，所以x2+y2=■+sinθ=■+sinθ=■sinθ+■≥■.

三角换元法2（解法3）：注意到目标式x2+y2是平方结构，不妨设x2+y2=t2，于是可设x=tcosθ，y=tsinθ，代入条件式得1=5t4cos2θ·sin2θ+t4·sin4θ=■t4sin22θ+t4（■）2=-■t4（2cos22θ+cos2θ）+■t4≤-■t4·（-■）+■t4=■t4，解得t2≥■，即x2+y2≥■.

为便于熟练掌握该方法，下面我们再从以下各种例子来体验.

例1.已知实数x≥0，y≥0，满足x2+■=1，则x■的最大值是_________.

解析：可设x=cosθ，y=■sinθ，且θ∈[0，■]，则x■=cosθ■=■=■=■≥■.

例2.若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是_________.

解析：因为x2+y2+xy=（x+■）2+■y2=1，所以可设x+■=cosθ，■y=sinθ，解得x=cosθ-■sinθ，y=■=sinθ，故x+y=cosθ+■sinθ=■sin（θ+■）≤■.

例3.若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是_________.

解析：可设2x=cos2θ，2y=sin2θ，即x=2log2cosθ，y=2log2sinθ，且θ∈[0，■]，则x+y=2log2cosθ+2log2sinθ=2log2（sinθcosθ）=2log2（■sin2θ）≤2log2■=-2.

例4.函数y=■+■（■

解析：因为（■）2+（■）2=4，所以可设■=2cosθ，■=2sinθ，且θ∈（0，■），于是y=2cosθ+2sinθ=2■sin（θ+■）≤2■.

评注：三角换元法的实施是依据恒等式（rcosx）2+（rsinx）2=r2，这个恒等式的结构题干中可能直接有也可能需要去发现（如例4），当然根据问题的具体情况可以限定角度x的范围. 三角换元法的实施还需要学生掌握扎实的三角函数运算的基本功.

二、消元法

消元法顾名思义就是通过想办法减少变量的个数来解题.如本高考题我们可以如下求解：

（解法4）设x2+y2=t>0，將x2=t-y2代入条件式并化简得4y4-5ty2+1=0，因为y有解，所以△=25t2-16≥0，解得t≥■，即x2+y2≥■. 同样地，为更有效掌握好消元法求最值，我们再从以下实例来体验.

例5.已知x， y>0，则■的最小值为__________.

解析：（思路1）因为任意两个非零实数必定具有正比例关系，所以不妨设y=kx（k>0），则■=■≥■=2■·■=2■·■=2■·■，当k-1≤0时不符合，故考虑k-1>0时，■=2■·■≥■，当且仅当（2+k+k2）x2=3，k-1=■，即k=3、x=■时等号成立，则■的最小值为■.

（思路2）设x+y=t，则■=■=■（x-■t）2+■t+■≥■t+■≥■，当且仅当x=■t，■t=■，即t=■、x=■时等号成立，则■的最小值为■.

例6.已知正实数a，b满足■+■=1，则ab的最大值为_____________.

解析：类似不等式应用中1的代换，有ab=ab[■+■]=■+■，可设b=λa（λ>0），故ab=■+■=1+■，令t=λ-1>-1，于是ab=1+■，当-1<t≤0时，ab≤1，t>0时ab=1+■≤1+■=2-■，当且仅当2t=■即t=■时取等号，所以ab的最大值为2-■.

例7.已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q是抛物线y=x2上的动点. 设点M为线段PQ的中点，O为原点，则|OM|的最小值为_____________.

解析：设P（a， a+1），Q（b， b2），则M（■，■），故 |OM|2 =（■）2+（■）2，设a+b=t，于是|OM|2=■+（■）2=■=■（t+■）2+■（b2-b+1）2 =■（t+■）2+■[（b-■）2+■]2≥■·■，所以 |OM|≥■，则 |OM| 的最小值为■.

评注：用基本不等式求最值是高中数学教学中着重强调的一个求最值问题的方法，由此却削弱了消元法思想在求最值中的应用（尤其是在求双变量最值问题中情况更为严重），从而导致了一些双变量最值问题考生无法入手求解. 实际上，我们知道考生最熟悉的应该是单变量，而消元法就是减元至一元的最有效的方法，因此，熟练掌握用消元法思想求双变量最值是十分必要的. 当我们进行上述消元法思想解题时实际上还运用了主元变换思想.

三、等差（等比）中项法

如果条件式中有和（或积）为常数，则我们可以利用等差（等比）中项的关系来进行求解，如本高考题就可以这样解决：

（解法5）因为5x2y2+y4=1，可设5x2y2=■-d，y4=■+d，则（x2+y2）2=x4+2x2y2+y4=■+■（1-y4）+y4=■+■（■+d）+■=■（■+d）+■+■≥■，所以x2+y2≥■.

也可以从目标式入手灵活解决：（解法6）设x2=t-d，y2=t+d，代入条件式得5（t-d）（t+d）+（t+d）2=1，4d2-2td-6t2+1=0，因为d有解，所以△= 4t2-16（1-6t2）≥0，解得t≥■，则x2+y2=2t≥■.

为便于掌握该方法求最值，同样地请继续体验以下例子.

例8.已知实数x≥0，y≥0，满足x2+■=1，则x■的最大值是_________.

解析：设x2=■-d，■=■+d，-■≤d≤■，则x■=■=■=■≤■.

例9.若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是_________.

解析：設2x=■-d，2y=■+d，-■

例10.已知a>0，b>0，ab=8，则a的值为______时，log2 alog2 （2b）取到最大值.

解析：设a=■q，b=■，q>0，则log2alog2（2b）=（log2q+■）（-log2q+■）=-（log2q）2+log2q+■≤4.

例11.已知实数x，y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值是_________.

解析：因为x2-4xy-5y2=（x-5y）（x+y）=5，设x-5y=■q，x+y=■，解得x=■（■+q），y=■（■-q），所以x2+2y2=■（■+q）2+■（■-q）2=■+■q2+■≥2■+■=■.

评注：能用等差（等比）中项法解题的问题具有十分明显的和（或积）为定值、或能通过因式分解的形式转化出来和（或积）为定值的特点，当然在后续计算过程中一定要注意仔细.

综上所述，最值问题的计算方法除了基本不等式（■≤■≤■≤■）外还有其他一些诸如三角换元法、消元法、等差（等比）中项法等方法，真可谓“条条道路通罗马”，在具体问题的解决过程中我们可以有选择的使用.

责任编辑 徐国坚