厘清数学教学中的四个基本问题*——以苏科版八上“5.2 平面直角坐标系（3）”为例

浦叙德

前阶段，笔者担任无锡市教育学会组织的青年教师赛课的评委，听取了其中一组青年教师的课堂教学，本次赛课的课题是苏科版数学八年级上册“5.2平面直角坐标系（3）”。每位参赛教师都具有比较扎实的数学教学基本功，具体体现在课堂教学中目标定位合理、教学主线清晰、教学环节完整、教学语言简洁、重点难点突出、板书设计合理等等方面。但每位教师在处理某些环节时，或多或少暴露出一些问题，体现了部分教师备课不足，对课堂教学的一些基本问题还没有厘清，致使课堂教学中还是留下了不少遗憾。我们知道，数学课堂教学由教师的教、学生的学、教学内容三部分组成，他们互相融合构成一个有机的统一整体，只有根据教学内容把教师的教、学生的学都把握好，才能真正体现课堂教学效能的最大化。现把数学课堂教学中必须厘清的四个基本问题再次进行阐述，同时修正上述活动中参赛教师在课堂教学中暴露出的问题，希望广大青年教师能从中获得一些启发和收获。

一、厘清“教（学）什么”的问题

“教（学）什么”主要解决教学的内容问题。每课时要教学什么内容，对教师来说是一个比较容易认识到位的问题，但仅认识本课时教学内容是远远不够的。因为数学知识内容是成体系的，具有整体性，从宏观看是成面状结构的；而每一章内容都是整体中的一个部分，具有关联性，从中观看是成线状结构的；每一课时内容都是单元关联知识链上的一环，具有独立性，从微观看是成点状结构的。［1］基于上述对知识内容的认识，当我们思考其中一课时知识内容的时候，还应该搞清楚的是知识“点线面”结构，尤其是知识点的发展线。即本课内容是什么？找到“知识点”的位置，它从哪里来？将向哪里去？通过前后关联，找到“知识线”所在。

从上可以看出，“教（学）什么”的问题伴随而来的就是“课堂教学开始时温故什么”和“如何进行前后知识关联”的问题。就“平面直角坐标系”这节内容来说，共分三个课时，第一课时是直角平面坐标系概念的形成、通过坐标系这个工具进行点与坐标之间的数形相互转换；第二课时是利用直角平面坐标系这个工具结合数学中最常见的平移、旋转、翻折三种变换再次对点与坐标之间的相互转换提高认识；第三课时是利用坐标系的工具属性，建立适当的平面直角坐标系，用前面所学的知识解决生活与数学中的简单问题。

可见，本课内容“建系”是前面两课时知识的延续，也可以看成是前面知识的运用和应用。有了上面的知识内容认识，就可以解决部分教师赛课中暴露的第一个问题，那就是如何温故？部分青年教师只知道把前面两课的核心内容在课堂伊始进行回顾，却不知温故的目的在于知新。从上述知识发展线分析可以看出，只有服务于本课学习所需的学生数学现实（含知识、方法、经验）与生活现实（含实际问题情境认识），才是最需要温故的内容。还可以解决部分教师赛课中暴露的另一个问题，那就是抛开前面两课时的知识、方法和经验，把本课看作独立的一课时，缺少前后课时知识之间的关联。

二、厘清“为什么要教（学）”的问题

“为什么要教（学）”主要解决教学的必要性问题。苏科版教材通常在每一课时的第一部分呈现的就是情境，情境必须具有有趣、有用、有挑战性的特点。解读情境时，如果给出的是数学情境，那就按照数学发展线提出数学问题，进而按照问题要求分析问题、解决问题；如果给出的是生活情境，可以先从生活情境中提出生活问题，再把生活问题变成数学问题，然后按照数学问题的解决思路展开教学。［2］不管是数学问题还是生活问题，最重要的一点就是在课堂教学中一定要让学生充分体会到学习今天这个内容的必要性。

就本课时而言，教材素材一共提供了3 块内容，一是“电脑线路板机械手操作”问题，二是“旅游需要准确说出各景点的位置”问题，三是“正方形建立坐标系后求顶点坐标”问题。有的教师选择“电脑线路板上机械手如何准确插孔”作为情境，有的教师选择“游览区如何准确说出各旅游景点位置”作为情境，这些选择都没有任何问题。部分参赛教师的问题就出在解读生活情境时没有让学生充分体会到“建系的必要性”，或告知要“建系”或简单问答后就“建系”，没有充分体现出情境的价值。

我们以“如果你站在中心广场，你能根据这张旅游景点分布图说清各景点的准确位置吗？（见下页图1）”为例。要充分利用好这个情境，可以先让学生说一说，如果在现实生活中，你会怎么做？由于学生已有了“5.1 位置的确定”的知识、方法和经验，学生肯定会提供各种各样的办法，教师需要指出这些方法存在的困难或局限，在此基础上，进一步提问，在数学中，我们可以怎么做？由于学生有了“5.2平面直角坐标系（1）（2）”的知识、方法和经验，学生必然会想到“建系”。只要建立了平面直角坐标系，那么就可以把每一个景点抽象成平面直角坐标系中的点，通过点的坐标就可以准确说出每一个景点的位置。接下去就可以研究如何建系的问题。

三、厘清“怎么教（学）、为什么这样教（学）”的问题

“怎样教（学）、为什么这样教（学）”主要解决教学的过程性问题和思维性问题。课堂教学中的这个问题基于每课时的过程性目标和结果性目标（包括知识目标、能力目标、素养目标），把数学学科形态的素材变成教学形态的素材，需要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上，进行充分的设计，有效地实施，过程性与思维性相辅相成。

就本课时而言，可以在利用上述旅游景点情境让学生体会建系必要性的基础上，再通过“如何建系”问题的系列研究，充分发挥数学例题的最大功能。就以课本“例4：已知正方形ABCD的边长为4，建立适当的平面直角坐标系，分别写出各顶点的坐标。”为例，每个赛课教师都介绍了可以把顶点A、B、C、D四个中的任意一点作为坐标原点，或把正方形对角线交点作为坐标原点，或一般性取一个点作为坐标原点等情形建立坐标系，换句话来说，所有赛课教师都带领学生研究了“建系的多元性”，体现了思考的过程，但部分教师没有让学生进一步研究不同建系后的效果，即研究“建系的优劣性”，相当于对一个数学的题目的解法只进行一题多解的研究，最后没有进行最优化方法的决策，没有充分体现出“建系的思维性”。最简、最优、最美是数学的追求，部分教师赛课中暴露的上述问题，实际上丢失了利用问题解决培养学生思维这一数学教学本质。

四、厘清“教（学）了之后有什么好处”的问题

“教（学）了之后有什么好处”主要解决教学的价值性问题。数学教学的目标体现在如下三个方面，一是让学生在学习数学过程中掌握必需的数学知识、技能、思想和方法，二是在应用数学过程中提高学生的思维能力、实践能力和创新意识，三是在学习和应用的过程中逐步形成和发展数学学科核心素养。［3］

每一课时的教学，从现象上看，首先解决了学生在现有数学认知基础上可以对数学进一步深入和向前发展的可能。其次解决了学生利用当前知识可以解决相匹配的生活问题和数学问题。从本质上看，学生在每一课时的学习过程中知识、能力、素养都获得了发展。就本课时而言，“建系的重要性”主要体现在学生懂得建系的必要性，懂得如何建系，懂得如何优化建系，懂得利用建系可以解决与建系有关的生活问题（如教材上电脑线路板上机械手如何准确插孔）和数学问题（如教材上通过建系写出等腰三角形、等边三角形、直角三角形三个顶点坐标）。当然，本课时的学习既为本章内容做了一个结尾，也为下一章一次函数的学习做好了奠基。因为本课时可以看作是前面2 课时所学知识的运用和应用，部分赛课教师对本课的小结没有引起足够的重视，有的教师没有做任何小结就匆忙结束，从环节的完整性角度来看也是赛课中的遗憾。

数学课堂教学是一个系统工程，影响课堂教学效能的因素很多，有可能是教师本身的数学素养所限，有可能是知识内容的解读不到位，有可能是教的方法不恰当，有可能是学的方式不对应等，但作为青年教师在实施每一课时课堂教学之前，先要研究清楚“教（学）什么”“为什么要教（学）”“怎么教（学）、为什么这样教（学）”“教（学）了之后有什么好处”等这些基本问题，这些基本问题将有助于你的课堂教学快速成型、不断提高。如果一个青年教师能够做到针对每一课时的教学都能思考清楚这些问题，那么上出一堂高质量的好课就指日可待。