局部各向异性的薄壳收缩变形∗

孙晓鹏,何 鑫,王振燕,李娇娇,陈 腾,董 雨

1(辽宁师范大学 计算机与信息技术学院 计算机系统研究所,辽宁 大连 116029)

2(智能通信软件与多媒体北京市重点实验室(北京邮电大学),北京 100876)

三维物体的变形模拟广泛应用于游戏动画、影视特效等领域[1].以四面体素[2]描述三维物体的变形方法复杂度较高、计算量较大;以三维曲面网格模型[3]描述物体变形时,往往忽略了网格曲面的厚度,以至其厚度远远小于其长宽尺寸.三维物体表面网格往往呈曲面状,常规薄板变形算法无法适用[4],本文将物体三维曲面网格视为薄壳,进而基于薄壳受力的物理过程,实现三维曲面网格模型的收缩变形过程模拟.

虚拟现实和动画设计的变形过程,往往只关注视觉效果,不予深究变形的物理学合理性.本文基于位置动力学实现薄壳收缩变形,具有更高的合理性.基于位置动力学模拟薄壳收缩变形过程速度快、可控性强[5],但适用材质模型具有较大的局限性[6];且在收缩变形前后,具有类球面结构(如动物头部)的局部变形较慢且不显著.

经χ2检验，两组选择率比较均P＜0.01，说明实验组与对照组学生在学习兴趣、学习效率、对知识的理解力和记忆力等方面存在显著性差异。

据此,本文提出基于本构模型的弹性收缩变形能,以改善材质局限性问题;同时提出局部各向异性的收缩变形能,以改进薄壳收缩前后局部类球结构变形较弱的问题.另外,本文还给出了适当的弯曲系数,以消除弯曲变形过程中的抖动问题;并构造碰撞检测预处理,提高了收缩变形过程中的碰撞检测效率.

1 相关工作

薄壳模拟的方法有基于力的方法、基于位置动力学方法等[7].基于力的方法首先计算内力和外力,以牛顿第二定律计算加速度,使用隐式积分法、隐式中点法等[8]积分加速度得到速度,积分速度得到位置,计算量大,稳定性低.基于位置动力学方法省略了速度层,直接计算位移修正量以更新位置,本文基于位置动力学模拟薄壳收缩变形,速度快,可控性强[5].

基于本构模型可有效模拟物体变形过程中的物理性质,不同材质的本构模型不同[9],常见材质有Corotated 线性弹性材质、线性弹性材质、Saint Venant-Kirchhoff 材质[9]、Mooney-Rivlin 材质等[10].位置动力学方法常用于模拟布料、弹性棒、三维实体、流体等[11-14].该方法在材质模型选择上具有较大的局限性,难以应用于常见的材质模型[6].2011 年,Diziol 等人基于Shape matching 方法模拟薄壳变形,该方法仅考虑了几何特征,无法模拟材质模型[15].2014 年,Bender 等人基于位置动力学框架,基于四面体素表示的三维模型模拟三维柔体的变形,计算量较大[13].本文在 Bender 工作的基础上,以离散三角网格代替四面体素模型,基于Saint Venant-Kirchhoff 材质的本构模型[9]定义弹性变形能,实现适用于多种材质模型[9,10]的薄壳变形模拟.

各向同性能量在物理模拟中应用广泛,但基于各向同性能量难以模拟三维物体沿特定方向的变形(如伸展变形或生长模拟等)[16,17].相比之下,基于各向异性能量的变形模拟真实感较高.2019 年,Kim 等人基于各向异性能量模拟肌肉及绳索等物体沿指定方向的拉伸变形[18].本文基于位置动力学,针对局部类球结构变形缓慢且不显著的问题,局部添加各向异性变形能量,以实现局部各向异性的薄壳收缩变形,并有效地改进了局部类球结构的变形效果,该方法适用于各向异性ARAP 能量、各向异性StVK 能量、各向异性Sqrt 能量[18]等多种各向异性能量.

输入:当前时刻顶点位置集合xt;

In a word,Eve’s requirement of independent working and eatingtheforbidden fruit areresistanceto Adamand God respectively.

本文基于位置动力学的收缩变形模拟分为3 个步骤:第1 步基于外部压力模型和时间积分法预测顶点位置,得到预测模型,预测模型中存在过度面内拉伸和面外弯曲(如图1(b)所示);第2 步基于弹性变形能、弯曲变形能和局部各向异性变形能的定义,构建约束函数组,迭代计算位移修正量,并更新顶点位置;第3 步基于顶点位置变化信息更新速度.本文在收缩变形算法的流程中,在不同的力和变形能量作用下的变形效果如图1 所示.

本文第2 节介绍外部压力模型.第3 节介绍薄壳变形能.第4 节介绍碰撞检测.第5 节给出算法流程.第6 节分析实验结果.第7 节总结全文.

Fig.1 The pipeline of contraction deformation algorithm图1 本文收缩变形算法流程

2 外部压力模型

记薄壳模型M={V,E,F}为封闭离散三角面片网格,其中,V、E、F分别为顶点集、边集、面片集.记顶点位置集合为x={x0,x1,…,xn},其中,n为顶点数量,xi∈R3为顶点i的位置坐标.记顶点i的参数坐标为Xi∈R2.三角面片顶点按逆时针方向排序.

设薄壳模型M受外部空气压力收缩变形,空气压强记为P,顶点i所受外部压力为

其中,Aj为面fj的面积,wij=1/3,aFi为顶点i的1-ring 邻域三角面片集合,ni为顶点单位法向量.

Fig.2 Pressure force distribution of initial model图2 初始模型压力分布

如图2(a)所示,fp1、fp2、fp3为随机3 个点所受外部压力,定义外部压力方向与y轴正向夹角为α,l=|fpi|(i∈1,2,…,n)为压力值,则初始模型所受外部压力的方向分布如图2(c)所示,红色表示cosα趋近于1,蓝色表示cosα趋近于-1;初始模型压力值分布如图2(d)所示,红色表示压力值较大,蓝色表示压力值较小.

本方案可以根据齿圈2两端面的硬度要求以及淬火深度的要求，调整第一次淬火和第二次淬火的工艺参数，使得“阴阳脸”可以通过参数调整来控制，解决了长期困扰本领域的技术难题。

3 收缩变形能

本节详细介绍基于位置动力学变形模拟方法第2 步的各种变形能定义:定义弹性变形能ES以抵抗模型变形过程中产生的面内拉伸,定义弯曲变形能EB以抵抗模型变形过程中产生的面外弯曲,定义各向异性变形能EA使模型向其内部凹陷.本文第5 节将基于ES、EB和EA的定义构建约束函数组,迭代计算位移修正量,并更新顶点位置.

3.1 弹性变形能

本节基于Saint Venant-Kirchhoff 材质的本构模型[9]定义薄壳收缩变形的弹性变形能ES.

对于任意三角面片fj∈F,设顶点序号为j1,j2,j3.定义Dm=[Xj1-Xj3Xj2-Xj3],Ds=[xj1-xj3xj2-xj3],记fj变形梯度为F=∈R3×2,其应变能可定义为[13]

E=AjΨ(F),

总而言之，应用型本科院校应紧紧跟随新时代改革的步伐，在创新创业的浪潮里勇往直前，成为创新创业教育的领军者。创新创业教育是电子商务课程改革的方向标，电子商务课程改革和创新创业教育互相支撑，时刻以学生为本位，促进应用型本科院校的整体发展。

其中,P(F)为Ψ(F)的1st Piola-Kirchhoff 应力张量.

根据财务顾问提供的信息，摩根士丹利当时已经计提了约95亿美元的坏账，中投希望能注销掉105亿美元，这样公司未来包袱会更小。摩根士丹利表示，无论怎样的会计处理，最后都是要经过外部审计师的审计，注销105亿美元坏账，外部审计难以通过。经过非常艰难的谈判，最后达成一致，中投买入摩根士丹利“有期限的强制可转换债”。对于转换为普通股的时间点，双方争论过很长时间。摩根士丹利向“强制可转换债”支付利息，要将利息做现金流贴现折算为现在的估值，还有强制转换的周期双方也有争议，是加一周、还是减一周，都会影响入股价格。双方斗智斗勇，最后达成一致要在2年8个月零3周内转成普通股。

本文定义弯曲系数kB,以kBEB取代EB来控制弯曲变形能.当kB为1 时,弯曲变形能较大,模型变形过程出现细微抖动.kB为10-2时弯曲变形能较小,变形效果较为理想(如第6 节中图16～图17 所示),且有效地解决了模型弯曲变形过程中的抖动问题(如第6 节中图18 所示).

其中,μ和λ为Lame 系数,||·||F为Frobenius 范数,tr(·)表示矩阵的迹,则薄壳模型M的弹性变形能ES可记为

根据公式(1)计算每个顶点的二维空间能量梯度,并基于p 将能量梯度映射到三维空间,得到顶点三维空间能量梯度.

3.2 弯曲变形能

本节基于Bender 等离散等距弯曲模型[13,24],定义薄壳模型M变形过程中的弯曲变形能EB,以阻止模型收缩变形过程中产生过度的面外弯曲,驱动模型恢复初始状态.

国资委成立十年以来，据统计，其工作人员因贪腐被调查的案例只有一起某下属单位工会办公室主任利用为单位采买办公用品之机，将个人购买物品所开发票塞入公家发票内报账，贪污公款1.5万元。蒋洁敏被免职，将国资委十年“零违纪”的纪录打破，震动可想而知。

Fig.3 The geometry structure of a stencil图3 模板s 的结构

对于边ei∈E及其两个邻接三角面片,其4 个顶点的集合记为xs={xs0,xs1,xs2,xs3}、5 条边的集合记为es={xs0xs1,xs1xs2,xs2xs0,xs0xs3,xs3xs1},则模板s的定义如图3 所示,其中,两个邻接三角面片的法向量分别记为n0和n1,其夹角为θ,则模板s的弯曲变形能定义为

图4 展示模板变形过程中呈现的不同状态,设模板初始结构为黑色,无弯曲变形能EB实施变形后结构为紫色,定义初始面片夹角为β0.添加EB后,紫色模板受EB影响具有恢复初始结构的运动趋势,若EB过大,模板会发生过度抗弯曲现象以抵抗收缩(如蓝色模板所示),使模型产生抖动.理想模板运动范围应位于紫色模板和黑色模板之间(如绿色模板所示).

因此，在供给侧结构性改革与社会主要矛盾转变的背景下，国家养老资源不充分不平衡的分配状况应着重改善，尤其关注农业劳动者的养老资源。这需要国家层面有计划的、有倾向性地进行资源分配。只有在资源供给上充分、公平分配，才能保证农村养老事业得到质的改变。供给侧结构性改革主要针对宏观经济而言，但某种程度也只是手段——一种旨在促进资源优化配置的手段。

Fig.4 Different states of a stencil during deformation图4 模板变形过程中的不同状态

基于变形梯度F 计算面fj的二维变形梯度=pF∈R2×2,其中,p 为投影矩阵[23],则格林应变张量为 ε=,Saint Venant-Kirchhoff 模型应变能量密度场ΨS和1st Piola-Kirchhoff 应力张量P (F)分别记为

3.3 局部各向异性ARAP变形能

Step 1.仅考虑外部压力,以Sympletic 欧拉法计算顶点预测位置pt+1;

Fig.5 Deformation effects after adding elastic energy and bending energy图5 仅添加弹性变形能和弯曲变形能的变形效果

本文通过为局部类球结构添加各向异性变形能解决此问题.如图6 所示,图6(a)为类球曲面,在其局部区域内选择三角面片(如图6 蓝色区域所示),定义其局部各向异性ARAP 变形能量EA,使该三角面片所在局部类球结构及邻近区域产生显著的内部收缩凹陷变形趋势(如图6(b)所示箭头为顶点梯度方向).

Fig.6 The comparison of deformation before and after the addition of anisotropic energy on the spherical structure图6 局部类球结构添加各向异性能量前后变形对比

本节各向异性ARAP 收缩变形能EA定义如下.

对三角面片fj的二维变形梯度∈R2×2进行奇异值分解,可得=UΣVT,其中,Σ为对角矩阵,R=UVT为旋转矩阵,令拉伸张量 S=VΣVT,则各向异性常量I4和I5定义为[18]

多元相关系数R=0.953。说明，产量受多个主要农艺性状的综合影响，在生产中要综合考虑，合理安排各个因素水平。主要农艺性状对产量的直接通径系数为穗粒数>实粒数>结实率>株高>有效穗>穗长>全生育期>千粒重。群体有效穗、穗粒数和结实率对产量的直接贡献较大。在栽培过程中可以通过相应配套措施来提高单位面积有效穗和穗粒数。有效穗通过实粒数和结实率对产量产生较高的正向效应；穗粒数通过实粒数和结实率表现较高的负效应；实粒数通过增加稻穗长度，提高穗粒数和结实率影响产量的形成，在生产中要协调好各因子，达到增产增收的目的。

本文定义f=pTpF,c=fTf,r=pTR,并重新定义各向异性常量i4和i5如下:

i4=tr(rTfA),i5=tr(cA),

则各向异性ARAP 能量密度场ΨARAP及1st Piola-Kirchhoff 应力张量 P (f)∈R3×2为

其中,Sign(·)为符号函数.进而,本文各向异性ARAP 变形能量定义为

记三角面片fj的3 个顶点能量梯度.为使模型向内凹陷,本文以新的梯度方向代替,其中,nj为面fj的法向量,kA为常量.

4 碰撞检测

针对薄壳收缩变形过程中发生的顶点与三角面片、边与边之间的自碰撞问题,本节采用连续碰撞检测,即检测模型中任意点和面(点-面图元对),或任意两条边(边-边图元对),在某一特定的时间步长内有无自相交.2002年Bridson 等人[22]以求解3 次多项式的方法检测点-面碰撞和边-边碰撞.考虑三维模型在某一时间步长内,任意点和面、任意两条边都可能发生碰撞,在每一时间步长内求解3 次多项式计算效率过低.

Fig.7 The vertex-triangle collision(left)and the edge-edge collision(right)图7 点-面碰撞(左)、与边-边碰撞(右)

为提高计算效率,本节首先采用轴向平行包围盒[20]与非渗透滤波器[21]等碰撞剔除算法作为预处理,剔除不可能发生碰撞的图元对,降低误报率,然后采用Bridson 方法检测碰撞.如图7 图元对碰撞所示,首先定义阈值τ.

当点i与面fj的距离dvf小于τ时(如图7 左图所示),点i将与面fj内的点qj发生碰撞,点i的位置为xi,点qj的位置为xqj=αj1xj1+αj2xj2+αj3xj3,其中,xj1、xj2、xj3为面fj的3 个顶点的位置,αj1、αj2、αj3为面fj这3 个顶点的权值,且αj1+αj2+αj3=1.

设模型初始体积为V0,变形后体积为V′,则体积比r=V′/V0.定义阈值ε,当前时刻t顶点位置的集合为xt,时间步长为Δt,则每一帧薄壳变形算法流程描述如下.

检测到发生碰撞的图元对后,分别定义点-面碰撞的约束函数和边-边碰撞的约束函数.若点i和面fj发生碰撞,定义Cvf=|xi-(αj1xj1+αj2xj2+αj3xj3)|-δ;若边el和边ek发生碰撞,则定义Cee=|(αl1xl1+αl2xl2)-(αk1xk1+αk2xk2)|-δ,其中,δ=10-4.

5 算法流程

本节基于第3 节弹性变形能ES、弯曲变形能EB和局部各向异性变形能EA的定义,构造约束函数组,并给出完整的局部各向异性薄壳收缩变形算法流程如下.

首先,指定各向异性变形能EA局部作用区域,只考虑模型所受外部压力,基于Sympletic 欧拉法[5]计算每个顶点的预测位置p={p0,p1,…,pn}.

其次,以预测位置p={p0,p1,…,pn}更新顶点位置x={x0,x1,…,xn},即顶点位置x=p.构造E(x+Δx)的一阶泰勒展开式E(x+Δx)≈E(x)+∇xE(x)·Δx=0,其中,E(·)为能量函数,包括弹性变形能ES、弯曲变形能EB以及各向异性变形能EA,总能量为3 种能量之和.计算各顶点位移修正量Δx=[Δx1,Δx2,…,Δxn],使E(x+Δx)=0.顶点位移修正量应满足所有能量函数(设共有N个能量函数),需求解线性系统[5]:

他们都不愿意拖累对方，却从来没有想过要一起走过最艰难的时候，他们都觉得是为对方好，却不知道真正的爱情，不是只爱着幸福，还要爱那些不幸。

本文基于位置动力学方法,以非线性高斯-赛德尔方法[5]求解式(5)约束函数,计算Δx,并以Δx 更新顶点位置.

最后,碰撞检测.检测发生碰撞的图元对,计算顶点位移修正量Δx,使Cvf(x+Δx)≥0,Cee(x+Δx)≥0,更新顶点位置[5].

其中,Aj为三角面片fj的面积,Ψ(F)为能量密度场,则面fj这3 个顶点的应变能梯度分别记为

当边el与边ek的距离dee小于τ时(如图7 右图所示),边el上一点ql将与边ek上一点qk发生碰撞,点ql位置为xql=αl1xl1+αl2xl2,其中,xl1和xl2分别为边el的两个端点位置,αl1和αl2分别为边el的两个端点权值,αl1+αl2=1;点qk的位置为xqk=αk1xk1+αk2xk2,其中,xk1和xk2分别为边ek的两个端点位置,αk1和αk2为边ek的两个端点权值,αk1+αk2=1.

青海省自上世纪八十年代就有栽培，尤其在我省化隆、循化等少数民族地区老百姓庭院中栽植较多，且近几年来规模不断扩大，品种不断增多。但总体上青海省月季发展滞后，主要表现在品种单一、老化、规模小、纯度低等，在全省范围内一直未能将各类型、各色月季大规模应用于城市园林绿化中，更无月季园。

快速、精确的碰撞检测是物理模拟的关键[19],碰撞检测可分为离散碰撞检测(DCD)和连续碰撞检测(CCD)两类.本文采用连续碰撞检测,以轴向平行包围盒[20]和非渗透滤波器[21]作为预处理,剔除不可能碰撞的图元对,提高计算效率,然后以Bridson 方法[22]来检测碰撞.

输出:下一时刻顶点位置集合xt+1.

图5 展示了模型仅在弹性变形能ES和弯曲变形能EB作用下的变形效果,图5(a)所示为初始模型,图5(b)～图5(e)分别为模型变形50 帧、100 帧、150 帧、200 帧效果图.显然,在模型变形过程中,对于薄壳曲面网格的局部类球结构(如红框区域所示),在各向同性能量作用下,局部曲面结构较为稳定,难以快速产生显著的收缩变形.

Step 2.更新顶点位置xt+1←pt+1,基于公式(2)～公式(4)给出的ES、EB和EA构建线性系统(5);

Step 3.以非线性高斯-赛德尔方法迭代求解线性系统,计算顶点位移修正量Δx,更新顶点位置xt+1←xt+1+Δx,迭代5 次可得到较为精确的结果;

Step 4.检测碰撞,若发生自碰撞,则计算新的顶点位置,使Cvf≥0,Cee≥0;

Step 5.更新顶点位置,计算体积比r,若r小于ε,则变形终止;

Step 6.更新顶点速度vt+1←(xt+1-xt)/Δt;

Step 7.更新时间t←t+Δt,跳转Step 1,计算下一时刻顶点位置.

6 实验结果与分析

本文的实验环境为Inter(R)Core(TM)i7 处理器,主频3.4GHz,内存32GB,PC,操作系统为64 位Windows.编程语言环境为Microsoft Visual Studio 2010 C++.

6.1 部分收缩变形实验结果

图8 为变形至100 帧时,分别添加弹性变形能ES、ES+弯曲变形能EB(kB=1)、ES+EB(kB=10-2)、ES+EB+各向异性变形能EA的情况下对应变形结果、平均曲率分布和能量分布.其中,红色区域能量较高,蓝色区域能量较低;红色区域曲率值较大,蓝色区域曲率值较小.

首先,从图8(a)可以看出,显然,在弹性变形能ES较高的区域,模型变形显著;弹性变形能ES较低,模型变形较微弱.

由于国内城市化进程不断取得新成效，商品房销售面积增长，使用锯材消费略增，但整体木质家具使用橡胶木的减少，影响我国锯材进口。

其次,对比图8(a)和图8(c)可以发现,图8(a)无弯曲变形能EB,红框区域被过度拉伸,平均曲率分布不均匀,说明模型变形效果较粗糙;图8(c)添加弯曲变形能EB后,红框区域平均曲率分布较均匀,模型表面较光滑,收缩变形效果较好,无过度拉伸.对比图8(b)和图8(c),当弯曲变形能EB的系数kB=1 时,图8(b)中模型无明显收缩,抗弯曲现象较强,当弯曲变形能EB的系数kB=10-2时,图8(c)中模型发生较好的收缩变形.

最后,对比图8(c)和图8(d),显然,在添加各向异性变形能EA之后,红框区域内局部类球结构变形较显著;对比图8(a)、图8(c)和图8(d)红框区域内平均曲率分布可见,在加入EA后,红框区域内产生了显著的凹陷变形;对比图8(a)、图8(c)和图8(d)红框区域内能量分布可见,在加入EA后,红框区域内能量分布发生了明显变化,该区域内局部类球结构消失.显然,在添加EA后,红框内的局部类球结构收缩变形较添加EA前更为显著,局部类球结构变形幅度更为明显.针对各向同性能量作用下薄壳局部类球结构收缩变形缓慢且不显著的不足,各向异性变形能量EA能够使局部类球结构及邻近区域快速产生显著变形.

Fig.8 The comparison of deformation effects before and after adding energies图8 添加变形能前后变形效果对比

图9 所示为部分模型的收缩变形过程,图9(a)所示为初始模型,图9(b)～图9(e)所示分别为第50 帧、第100帧、第150 帧和第200 帧的收缩变形效果.显然,本文方法能够有效地解决薄壳模型局部类球结构收缩变形缓慢、变形细微的不足.

Fig.9 The procedure of contraction deformation图9 部分薄壳模型收缩变形过程

更多薄壳模型收缩变形效果如图10 所示,自左至右,分别为压力值分布、初始模型、变形后模型、初始模型平均曲率分布、变形后模型平均曲率分布、初始模型高斯曲率分布、变形后模型高斯曲率分布,红色曲率值较大,蓝色曲率值较小.从平均曲率和高斯曲率的变化可以看出,在本文算法驱动下,薄壳模型局部类球结构发生快速收缩变形且形变较为显著.

Fig.10 Contraction deformation results of different thin shells图10 不同薄壳模型收缩变形的效果

6.2 材质适用性与稳定性

在弹性变形能ES作用下的多种材质薄壳模型收缩变形的实验效果的第50 帧如图11 所示,自左至右分别为Corotated 线性弹性模型(Coro)、Saint Venant-Kirchhoff 模型(SVK)、线性弹性模型(LE)、Mooney-Rivlin 模型(MR).显然,本文方法适用于多种材质的薄壳收缩变形模拟.

由于LE 材质模型1st Piola-Kirchhoff 应力张量定义为P(F)LE=μ(F+FT-2I)+λtr(F-I)I,Coro 材质模型1st Piola-Kirchhoff 应力张量定义为P(F)Coro=2μ(F-R)+λtr(RTF-I)R,而文献[10]的变形梯度为F∈R3×2,不是方阵,无法计算1st Piola-Kirchhoff 应力张量P(F)LE和P(F)Coro,所以文献[10]方法不适用于LE 材质模型和Coro 材质模型.比较而言,本文方法材质适用性更强,优于文献[10]方法.

图12 为使用SVK 材质50 帧收缩变形效果及能量分布.红框区域显示,本文方法弹性变形能ES分布更为均匀,能量过渡较平滑,变形过程稳定,模型不易失真.而文献[13]方法能量波动较大,故本文方法稳定性更强,优于文献[13]方法.

Fig.11 Contraction deformation results of different materials (on frame 50)图11 本文方法对不同材质模型收缩变形模拟(50 帧)

Fig.12 Deformation and energy distribution for SVK on frame 50图12 对SVK 材质变形50 帧及能量分布

图13 为不同体积、不同材质模型变形的前100 帧的体积比.图13(a)～图13(c)所示初始体积分别为V0、V0/4、V0/16.每张图中均有10 组柱图,每组柱图由4 根直方图柱组成,其中前3 根分别为本文方法模拟Coro 材质、LE材质、SVK 材质的体积比,第4 根为文献[13]方法SVK 材质的体积比.对比图13(a)～图13(c),显然,本文方法模拟不同材质模型变形过程中3 种体积比相差甚微;而文献[13]方法变形100 帧时模型体积与本文方法所得体积的差异随初始体积的减小而增大.说明文献[13]方法受初始体积影响较大,而本文方法较为稳定,受初始体积影响不大,故基于本文方法的不同材质收缩变形过程的稳定性更强,优于文献[13]方法.

基于位置动力学模拟物体变形过程中使用的约束函数通常是基于几何的,如距离约束函数[7]等,本文使用能量约束,能够得到更真实的变形效果.如图14 所示,图14(a)左图为使用能量约束变形50 帧效果图;图14(a)右图为使用距离约束变形50 帧效果图;图14(b)左图为使用能量约束变形100 帧效果图;图14(b)右图为使用距离约束变形100 帧效果图.显然,当模型变形50 帧时,能量约束与距离约束的变形效果无明显差别;当模型变形100帧时,距离约束的变形效果产生过度拉伸,相比之下,能量约束变形效果较好,更具合理性.

一般的物理模拟变形可通过梯度下降法极小化能量函数来实现[6],图15 所示为本文方法与极小化能量法变形30 帧效果图.对比图15(a)和图15(b),显然,二者形态结构相似.但图15(b)所示模型表面较为粗糙,而使用本文方法的模型表面较光滑,说明本文方法较稳定,可控性较强.

本文针对不同模型,基于弹性变形能,与极小化能量法以及与基于距离约束的位置动力学方法对比了性能,3 种变形方法计算效率对比见表1.显然,通过梯度下降法极小化能量函数需消耗大量时间,基于距离约束函数的位置动力学方法虽然耗时较少,但模型容易失真,不符合物理规律(如图14 所示).本文方法耗时较少,且变形效果比较符合物理规律,故本文方法优于另外两种方法.

另外，在地表圈定了1条石墨低品位矿体(M6)，位于II号矿化带南部，矿体呈脉状EW向展布，推测长度为196m，真厚度为4.69m，向西尖灭，固定碳品位为5.34%。

Fig.13 The volume ratio of models with different volumes and materials on the first 100 frames图13 不同体积、不同材质模型变形的前100 帧体积比

Fig.14 Deformation effects comparison of energy constraint and distance constraint图14 本文能量约束与距离约束变形效果对比

Fig.15 Deformation effects comparison of energy constraint and energy minimization图15 本文能量约束方法与极小化能量法变形效果对比

Table 1 The calculation efficiency comparison of different deforming methods表1 不同变形方法计算效率对比

6.3 弯曲系数与抖动

本节基于Bender 等离散等距弯曲模型[13,24],定义了薄壳模型M变形过程中的弯曲变形能EB,以阻止模型过度弯曲,驱动模型恢复初始状态.

图16 所示为不同弯曲系数的变形效果,其中,图16(a)所示为初始模型;图16(b)～图16(f)所示的弯曲系数kB分别为1、10-1、10-2、10-3和0.当kB为1 或10-1时,模型变形细微;当kB为10-2或10-3时,模型变形显著;当kB为0 时表示无弯曲变形能EB,只有弹性变形能ES,与图16(d)相比,图16(e)和图16(f)红框所示局部区域的变形更为剧烈,更为粗糙.

Fig.16 Deformation effects of different bending coefficients图16 不同弯曲系数的变形效果

图17 所示为不同弯曲系数的模型变形前100 帧体积比变化曲线.当kB=1 或10-1时,模型体积变化较小;当kB=10-2时,模型体积比曲线较平滑且呈下降趋势,证明模型发生了收缩;当kB=10-3时,模型体积比曲线呈下降趋势,模型发生收缩,但模型体积与kB=0 时体积接近,证明弯曲变形能EB所起作用不大.

Fig.17 The volume ratio curves of different bending coefficients on the first 100 frames deformation图17 不同弯曲系数的变形前100 帧体积比变化曲线图

不同模型收缩变形前100 帧体积比变化趋势如图18 所示,kB=1 时模型体积比曲线变化幅度较小且上下波动,说明模型收缩变形较为细微,且存在抖动;而kB=10-2时体积比呈显著单调下降趋势,说明收缩变形显著且稳定,显然,kB=10-2时更为有效地克服了收缩变形过程中的抖动问题.本文选取kB=10-2作为弯曲系数.

Fig.18 The volume ratio tendency of different thin shells on the first 100 frames deformation图18 不同薄壳模型收缩变形前100 帧体积比变化趋势

6.4 多种局部各向异性能

图19 所示为模型局部区域添加各向异性ARAP 能、各向异性Sqrt 能和各向异性StVK 能这3 种各向异性能量前后的变形对比.图19(a)所示为初始模型,图19(b)所示仅添加了弹性变形能.在此基础上,图19(c)～图19(e)中第1 行在模型胸前分别添加了各向异性ARAP 能、各向异性Sqrt 能和各向异性StVK 能这3 种各向异性能量,图19(c)～图19(e)中第2 行在模型脑后分别添加了各向异性ARAP 能、各向异性Sqrt 能和各向异性StVK能这3 种各向异性能量.对比图19(b)和图19(c)～图19(e),显然,在无局部各向异性能量时,模型胸前和脑后收缩变形较细微,而3 种各向异性能量均能产生显著的收缩凹陷变形.显然,本文收缩变形算法不仅适用于局部各向异性ARAP 能,同样也适用于局部各向异性StVK 能和局部各向异性Sqrt 能[18].

Fig.19 The suitability of various local anisotropic energies图19 多种局部各向异性能的实用性

图20 所示为不同模型局部添加EA前后收缩变形100 帧的体积比趋势对比,在局部添加EA之前,模型收缩变形的体积比变化较为缓慢;在局部添加EA之后,模型收缩变形的体积比变化较快,且收缩变形后体积更小.

效果如此明显，然而ERAS在全国开展的情况却并不十分乐观。施秉银认为，首先，这和整个医院的学术氛围密切相关，医院只有认识到这项工作的重要性，才会去做；其次，医院领导也要足够重视，从院级层面做好制度支持、年轻医生的培训等；最后，科室负责人也要认识到其对学科发展和临床研究的重要性。

Fig.20 The volume ratio tendency comparison of different models before and after adding EA on the first 100 frames deformation图20 不同模型添加EA 前后收缩变形的前100 帧体积比趋势对比

6.5 连续碰撞检测

本文首先采用轴向平行包围盒[20]与非渗透滤波器[21]作为预处理,剔除不可能发生碰撞的图元对,降低误报率,大幅度提高了碰撞检测计算效率,然后采用Bridson 方法[22]检测碰撞.如表2 所示,表格第2 列为无碰撞剔除时Bridson 方法每帧变形需求解3 次多项式的数量,第3 列为求解3 次多项式所消耗的时间,第4 列为本文碰撞检测所消耗的时间,显然,基于本文预处理之后,碰撞检测的计算效率显著提高.

Table 2 The calculation efficiency comparison of collision detection表2 碰撞检测计算效率对比

7 结 语

基于位置动力学的薄壳收缩变形存在材质局限性,且仅仅基于弹性变形能和弯曲变形能难以处理局部类球面结构收缩变形缓慢且细微的问题.本文提出薄壳收缩变形的弹性变形能,有效改进了材质局限性,能够真实、高效地模拟多种材质的薄壳收缩变形过程;通过适当选择弯曲系数,解决了收缩变形过程中的抖动问题;在弹性变形能和弯曲变形能基础上定义局部各向异性变形能,实现了局部类球结构的快速、显著、稳定的收缩变形,且适用于多种各向异性能量.另外,本文以轴向平行包围盒与非渗透滤波器作为预处理,提高碰撞检测效率.

本文算法存在如下几个方面的不足:首先薄壳收缩变形幅度有限,如何自适应地选择最优弯曲系数,并细分重构薄壳模型的局部网格,以进一步降低收缩比,是算法优化的方向之一.其次,本文算法如何推广到膨胀变形也需要考虑.第三,动画设计虚拟场景中有些变形是大幅度的,甚至是夸张的,不合常理的,本文算法基于能量实现,难以应用于此类大幅度变形.