数学核心素养在回归分析中的体现

■张志猛

题目新高考改革方案实施“3+3”的考试办法，出现20种选科组合，于是“走班制”上课方案应运而生，但教室数量少、师资人数少和优化配置上课教室等新矛盾产生。《普通中小学校建设标准》(2015年征求意见稿)中增设机动教室、选修课教室配置等条款，进而增加生均建筑面积，以此缓解矛盾。其中第四章第二十四条“普通中小学必配生均建筑面积指标”表部分摘要如表1。

表1

试用回归分析知识中最小二乘法求出回归直线方程，并计算某学校班级数量设置为42个时，对应的生均建筑面积是多少平方米。[注：对于具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线方程为=bx+a，其中斜率b=截距a=

正解：根据回归分析中最小二乘法求回归直线方程的基础知识可知，y3+y4+y5)=10.14，所以=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5=77400，=。故b=。 因为a=y-bx=10.14-，于是可得当x=42时，故某学校班级数量为42个时，对应生均建筑面积是9.45m2。

错解：数据分析部分同上面正解，数学抽象部分改为五组数对坐标A(18，11.2)，B(24，10.6)，C(30，10.0)，D(36，9.6)，F(48，9.3)，求新数对坐标E(42，y)中y的值。运用最小二乘法求回归直线方程，可得到^y=10.065，结果显然是错误的。

错解分析：原因之一是班级数量不是学生总体个数，与生均建筑面积组成数对后，再求生均建筑面积是本质性错误。原因之二是由于表中增设机动教室或选修课教室，增加了普通教室数量和面积，进而也不同比例地改变了生均建筑面积。所以，这种抽象概括的五组数对坐标，对于运用最小二乘法先求回归直线方程，再求生均建筑面积是错误的。

小结：若本题未要求“用回归分析知识中最小二乘法求出回归直线方程”，则可以借助回归直线方程的结论思想，直接利用中学课本中向量的平行(共线)、向量坐标运算及拓展知识“定比分点坐标公式”，进行数学运算完成解答。高中数学中的回归直线方程相对应于大学数学中插值函数的线性插值法(线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法)，此类题目也可以运用线性插值法进行计算。