浅谈高等数学课程教学改革

金中秋

(浙江工商大学统计与数学学院)

高等数学是高等教育中一门重要的基础课程。它不仅是一门非常好的数学课程，而且是一门非常好的工具学科，在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学中都有着非常广泛的应用。同时它在提高学生的抽象思维能力和严密的逻辑思维能力方面起着重要的作用。

当前的高等数学教材基本上是一个严格的演绎体系，总体上是由“概念—公式—范例”组成的纯数学系统。随着互联网的发展，教师在教学过程中的教学模式变得多样化。如混合式教学、慕课、SPOC等。这些教学模式的引入是为了更好地适应时代的发展，激发学生的学习兴趣，同时使更好的教学方式得到推广。但在教学过程中仍然注重知识的结论而忽略知识的探索过程。在教学中给学生灌输抽象的定理证明及计算，对数学的创新思维认识不足，弱化了对学生应用能力的培养。

这门课程主要包含了一元函数及多元函数的极限、微分、积分等基本理论及其相关知识。知识点之间具有一定的相关性。为了能让学生不仅熟练地掌握这些基本概念和方法，还能进一步理解这些概念的存在意义，并强化学生的应用意识，培养学生的应用能力和创新能力，笔者认为从看图说话、还原问题的形成过程为线索来展开高等数学的教学内容是十分有必要的。

下面笔者通过具体的实例来说明基于看图说话、还原问题的形成过程的教学方法在高等数学学习中的作用。

一、数形结合，贯彻到底，加深对概念的理解

高等数学不同于线性代数，其中许多概念有相应的几何意义。在教学过程中，不能一带而过，要充分发挥这个优势。要数形结合，看图说话，让学生更为直观地感知到所学的知识，从而拉近学生与数学的距离。例如探讨函数的连续性，对应的直观图形是曲线或曲面是连续不断的；函数的可导性，相应的直观图形是曲线或曲面有切线或切平面存在，给人的直观感觉是用手摸上去，曲线或曲面是光滑的，不戳手。故若给定光滑曲线，则其对应的函数为可导函数。通过这样的讲解，学生更容易理解并接受这些概念。

在给出直观的定义后，还要用数学语言去描述，这就是对学生抽象思维、逻辑思维的训练。此时仍然要在图形上进行探讨，看图说话，把探讨的每一步转换成相应的数学语言。通过这样的过程使得抽象的数学具体化，使学生掌握抽象的数学语言，体会到数学不仅具有简洁美，还具有实质的内涵。

二、每个概念举例时，前后范例之间要有关联，以拓展的形式呈现

大学里的教学通常是定义—定理—举例的过程。在课堂中，考虑到学生需要熟悉不同的函数，故针对不同的概念选用不同的函数举例说明。但是对学生而言，这些例子是以比较突兀、孤立的形式呈现在他们面前的，不能激发他们的学习兴趣与积极性，只能被动接受。有学生甚至怀念初中、高中的数学课，觉得那时候的数学课很有意思。此时我们不仅要考虑到初等知识的简单易学，而且更要考虑是否有值得我们借鉴、能够激发学生积极性的教学方法。前后例题之间要有关联性，在变变变中激发学生的学习兴趣就是其中一种教学方法。比如在原有典型的范例的基础上加以改进，通过改变函数系数甚至部分函数、增加或减少零因子及互换分子分母等手段，获得包含新知识点的新范例，这样得到的范例更能激发学生的解题兴趣和探索欲，甚至可以让学生通过模仿，对新范例进行进一步拓展，激发学生的创造性思维和求知的渴望。当然，这样的范例变化有一定的局限性，其涉及的函数类型会比较单一。为了弥补这个不足，可以让学生课后针对不同的函数类型进行适当的练习。

三、讲解定理时还原定理的形成过程，引导学生进行探究式教学

通常讲解一个定理或命题时，要先分析它的条件和结论，再进行证明。学生会觉得很枯燥，觉得数学很抽象很难，即使看了好几遍还是一知半解的。此时可以引领学生看图说话，进行探究式教学。

首先，尽量从图形出发，鼓励学生看图说话，大胆猜测，得出一些直观的结论。

其次，引导学生探讨，得出这些结论所需要满足的条件。例如若需要图形连续不间断，则添加“函数连续”；若需要图形光滑、曲线的切线存在，就添加“函数可导”。接着带领学生回顾这些条件涉及的相关概念，根据它们之间的关系进行整合。比如，函数可导可以推出函数连续，那么具有连续且可导条件的函数就可以用可导函数代替。

再次，让学生把这些整合后的条件作为已知条件，将之前由看图得出的结论作为定理的结果，于是一个定理的形成过程就很好地呈现在学生的面前。

最后，对定理进行证明。由于看图说话时，图形既具有普遍性又有局限性，是否存在与结论相违背的特殊情况呢？根据数学的严谨性，必须对这个定理进行证明，确保结论的正确性。此时面临两个问题：①如何证明？②经此构造出来的定理是否和教材中的定理的条件、结论相吻合？针对第一个问题，学生会发现证明过程实质上就是前面得出条件的探讨过程，只不过书写过程相反。研究问题时是先有结论，再得出条件，而证明时是先有条件，再推出结论。上述的探究过程使学生掌握了一个定理是如何形成的，并且发现其证明没有想象中困难，但是只会证明定理是不够的。若只是看懂定理的证明过程，看的过程好像是被人牵着鼻子走，没有自己的想法，甚至有的证明方法很特殊，好像是凭空出现的，除了让人赞叹此人真聪明，徒增自卑。故要鼓励学生深入思考定理的形成过程，提高学生的创新能力和应用能力。对于第二个问题，若构造出的定理与教材里的定理完全相同，则大力赞赏学生，赠予“若你早点出生，那么这个定理将以你的名字命名!”以此激发学生学习数学的信心和积极性。若构造出的定理与教材里的定理有差异，则引导学生通过对差异的讨论判别自己构造的定理与教材里的定理哪个更好。若教材中的定理更加精确，则让学生分析在之前的探讨过程中哪些地方分析不到位，哪些知识点没有掌握。通过这样的探究式教学使学生温故而知新，在潜移默化中掌握数学知识，提高他们对这门课程的学习兴趣，提升他们的应用能力和创新能力。

四、结束语

本文总结了笔者多年的教学经验，提出了以看图说话、还原问题的发现过程为线索的高等数学教学改革。希望通过这种课堂教学改革，不仅能让学生熟练掌握和深入理解有关的数学知识，而且可以激发他们学习这门课程的兴趣，提高他们的应用能力和创新能力，并用这些能力来解决实际问题。