解析钢琴调律中检验方法对基准音组音高的影响

●胡倩如

（西安音乐学院，陕西•西安，710061）

钢琴调律师在调律工作中的第一项任务就是制定标准音，不论是通过音叉或是校音器再或是调律软件，通常将小字一组的a（钢琴调律专业记为A4）以440Hz为标准制定标准音。当今的校音设备用来制定标准音非常容易，但是平均律的起始音为小字组a，即A3。如何正确通过A4把A3-A4这个八度调纯，进而确定A3频率，就需要理解和掌握琴弦的声学知识并能结合听觉进行正确的判断和选择。

一、钢琴弦振动的声学特性

钢琴琴弦受击振动是一种“合成振动”的方式，即除了整段振动外，分段也在同时振动。这种合成振动所产生的音，称为“复合音”[1]。物理声学中，物体做复合振动时产生的每一个声音成份称为“分音”，整体振动产生的声音称为“第1分音”，也称为“基音”亦称为“第一谐音”。基音与分音之间基本构成整数倍关系的称为“泛音”或“倍音”或“谐音”[2]。第二谐音的振动频率数值是第一谐音的2倍；第三谐音的振动频率数值是第一谐音的3倍等。以此类推，钢琴的每一个键音都由一系列倍音构成，并遵循傅立叶级数①，这一音列称为“倍音列”或“泛音列”[1]（见图1）。

每个键音各自有自己的倍音列，互不相干。但如若音程同时演奏，可发现它们之间有着密切的相互关系。他们之间存在“共同倍音”。八度音程 C3-C4根音的 2倍音与冠音的根音频率一致，即C4为共同倍音；四度音程C3-F3根音的4倍音与冠音的3倍音频率一致，即C5为共同倍音；五度音程C3-G3根音的3倍音与冠音的2倍音频率一致，G4为共同倍音等（见图2）。

图2.共同倍音频率表

这一原理为钢琴调律技术提供了坚实的理论基础，即钢琴调律师要遵从倍音列原理，并在该原理的指导下，通过十二平均律的算法，根据听辨拍频的速度以及判断音程的宽窄性质，从而完成整架钢琴的调律以及检验。

二、标准音检验

用音叉或者校音器来调A4的一根弦，如同调同度的方法，尽可能地调到无拍，也就是调纯。这样能够确保起始音的准确性，但是来自音叉或是校音器的声音是纯音不是复合音，没有谐音成分，不能用倍音原理通过拍频去检验以提高精确性。

通常利用音叉产生的音源和 A4其中一根弦听辨拍频将其调纯。[3]听辨拍频是钢琴调律师提高调律准确性非常有效的方法，所以另一种方法是设置第二个音源，将它与音叉的频率调的稍微不一致，将第二个音源作为检验音，[4]将它与音叉产生的拍频和与A4那根琴弦产生的拍频进行比较。如果拍频一致，可以得出推论，即音叉和A4那根琴弦的音高一致。

用来作为检验音的第二个音源其实可以从钢琴琴弦本身获得。因为钢琴上很多音的倍音都存在与A4相同的频率，在钢琴听觉调律的方法中一般只用前六个倍音。[4]以A4为例，A4是A3的第2倍音；是D3的第3 倍音；是A2的第4倍音；是F2的第5倍音；是D2的第6倍音。这些备选的音符里，最有价值的是 F2，它与 A4构成大十七度。平均律音区里大十七度，可以看作是两个八度加一个大三度，大三度是一个与第 5倍音构成的音程，呈现出比较清脆、清楚且比较快的拍频。平均律律制下的大十七度，F2-A4，A4是F2的第5个倍音（见图3），它的频率理论值是436.5HZ，它们的拍频约是3.5拍/秒。上述倍音列中的其它备选音程不如F2有价值，因为它们构成的音程为八度、五度、四度等不仅拍频很慢，并且能够听到泛音列中多组共同倍音。F2与 A4没有多组共同倍音来干扰调律师的耳朵，且 F2的第 5倍音与A4的基音很容易听辨，因为它们的拍频比较快（见图3）。

图3.用F2音检验标准音A4

通过F2这个音，就有了既方便又精确的方法用来检验A4那根琴弦的频率。首先同时弹奏检验音F2和音叉等音源并听到拍音。因为F2还未调律，它的第5倍音可能与音叉没有拍音。其实是否是理论值 3.5拍/秒的拍频并不重要，因为目的只是想听到一个比较容易数出来的拍频，如果F2-A4之间的拍频太快或是太慢，可以大致先调一下F2，能够听到一个比较清晰的拍频后,就可以弹奏大十七度音程，如果F2与音叉等音源与F2与A4那根弦的拍频相同，就可以判断A4已经被精确调至440Hz。大十七度音程可以提供两点信息，一是A4与音源的远近距离；另一是此时A4处于纯点之上还是之下。

平均律律制中大十七度是宽音程，即将冠音高于纯点或将根音低于纯点，再或将两音同时拉宽于纯点，所以听到的拍频是有意制造出来的。如F2已经降低14音分，大十七度音程在平均律中被调宽，在F2的第5倍音和A4的基音中能听到拍音。通过这个声学原理，就可以判断出A4的具体位置，方法如下：如果A4 与F2的拍频比音叉等音源与F2的拍频慢，就可判断出A4的频率比音叉低，升高A4，也就使大十七度音程更宽，直到F2与A4、F2与音叉这两组音程的拍频相同，也就使A4与音源频率一致。如果F2与A4的拍频快于F2与音叉的拍频，那么A4的频率高于音叉等音源。降低A4，将大十七度音程调窄一些，就可以减慢F2与A4的拍频直到和F2与音叉的拍频相等，也就使A4与音源音高一致。

用这种方法来预判 A4那根弦与音叉的高低的前提是F2-A4这个大十七度是宽音程。F2这个音高如果不正确，也就是意味有可能这个大十七度是窄音程，那么这个检验会提示一个相反的错误信息。所以如果一个钢琴跑音太严重，就必须先确定大十七度音程的宽窄性质，再使用上述的检验方法。

三、同度的检验

上述方法也可以用来对同度进行检验。例如检验A4的其中两根琴弦，如果听到两根琴弦中有拍音，那么这两根琴弦一定不在同一频率，但是这两根琴弦的频率只有微量的差异的话，就很难听辨出到底哪一根琴弦高于或者低于另一根。

一般最便捷的方法是将一根琴弦还原与另一根相同。如果降低其中一根弦的频率，这个同度的拍频增加，那么这根琴弦的频率一开始就比另一根琴弦低。如果相反，同度拍频变慢甚至变纯，那么调动的这根弦的频率原先就比另一根高。但是多数钢琴调律师想在运扳之前就得到明确的指导信息，这样就可以直接拉高或是拉低琴弦将其调纯。这种情况下，就可以利用比较 F2与 A4中每根弦的拍频对A4这个同度进行检验，并获得明确的运扳指向。

四、八度音程检验

（一）八度音程检验的一般方法

进行十二平均律的第二步骤，通过A4调 A3。调八度的原理是听辨根音的1/2弦长的第二倍音A4和冠音的整段弦长构成的基音A4之间的拍频。同样可以用A4同度的检验方法来检验A3-A4这个八度，即1/2弦长的A3与整段弦振动的A4进行拍频比较。

依然使用F2作为检验音来检查这个八度，A3的第2倍音是A4，也就是说把A3的第2倍音和A4的基音调至频率一致。F2和A3构成大十度，如果大十度F2-A3的拍频和大十七度 F2-A4的一致，那么 A3的第二分音的A4就和A4的基音的频率一致（见图4）。

图4.在2:1中用F2音检验八度A3-A4

如果大十度和大十七度的拍频不一致，可知这个八度在2:1这个比例中或宽或窄。具体操作如下：大十七度、大十度在平均律律制中是宽音程，大十七度可以看作两个八度加大三度；大十度可以看作八度加大三度。因此，如果大十度的拍频快于大十七度，需要让大十度变窄来减慢它的拍频。可以通过降 A3频率的方式获得，这样A3-A4这个八度也相应变宽；相反，如果我们要增加大十度的拍频，可以通过升高A3的方式获得，这样A3-A4这个八度也相应变窄。对于钢琴调律师来说，这个八度检验的方法用来提高A3的准确性非常快速奏效，也是普遍方法之一。

（二）用不同的共同倍音检验八度音程

在倍音列原理中得知，两根琴弦同时发音不仅只有一组共同倍音，例如 A3-A4这个八度音程，A3的第 2倍音和A4的基音有一组共同倍音A4，即2:1；A3的第4倍音和 A4的第 2倍音有一组共同倍音 A5，即 4:2；A3的第6倍音和A4的第3倍音有一组共同倍音E6，即6:3（见图5）。

1.八度音程在2:1比例中的检验

在2：1比值中A3-A4的共同倍音是A4，F2是A4的第5倍音，F2为检验音。将八度在2:1中调至无拍，检验方法：用八度根音向下取大十度和八度冠音向下取得大十七度，即F2-A3和F2-A4的拍频一致。在这个检验中，大十度和大十七度都应确保是宽音程。

图5.八度音程A3-A4中的共同倍音

2.八度音程在4:2比例中的检验

在4:2比值中A3-A4的共同倍音是A5，F3是A5的第5倍音，F3为检验音。将八度在4:2中调至无拍，检验方法：用八度根音向下取大三度和八度冠音向下取得大十度，使其拍频速度一致，即F3-A3和F3-A4的拍频一致，并保证大三度和大十度为宽音程。

在这个八度A3-A4中检验音是F3，F3的第5分音比F2的第5分音（A4）要高一个八度，即4:2。所以这里构成的拍频比2:1中构成的拍频快一倍。（见图6）。

图6.在4:2中用F3音检验八度A3-A4

由这个检验方法可知，不仅能够检验一个八度在4:2时是否调纯，而且可以检验这个八度在4:2中的宽窄。同大十七度和大十度的原理，大三度在平均律中是宽音程，所以如果大三度的拍频慢与大十度，为了使两组音程拍频速度一致，可以通过升高大三度的冠音，在这个例子中就是升高A3，即A3-A4这个八度的根音。所以要升高A3，让两组拍频一致，并且保证这个八度在 4:2中足够宽。当然也可以通过降低A4来使八度变窄，这样就可放慢 F3-F4中大十度的速度来达到与大三度的拍频一致。但是因为A4是标准音高，所以尽量不要去改变它。如果大三度的拍频比大十度快很多，那么这个八度在4:2中过窄，需要相应的调整它。

3.八度音程在6:3比例中的检验

在6:3中检验八度音程A3-A4，共同倍音是E6。在6:3中E6是C4的第5分音，检验音为C4（见图7）。八度A3-A4中根音A3与C4构成的小三度；冠音A4与C4构成大六度。

将八度在6:3中调至无拍，检验方法：用八度根音向上取小三度和八度冠音向下取得大六度，使其拍频速度一致。如果拍频不一致，说明在6:3中这个八度偏窄或是偏宽。在平均律中小三度是窄音程，越窄拍频越快。C4低16音分，这是平均律中小三度的拍频速度。

图7.在6:3中用C4音检验八度A3-A4

若要放慢小三度的拍频，要将其调宽。在6:3的八度里放慢小三度拍频的方法是降低根音，即A3；相反，想要加快拍频，要升高根音。C4与 A4构成的大六度在平均律中是宽音程，宽16音分。可以通过升高或是降低冠音的频率来增加或是减少大六度的拍频，即A4。当然A4是标准音，尽量不要调它。

当小三度与大六度的拍频一致，即小三度的窄进的量与大六度宽出的量一致时，6:3中的八度确保无拍。

五、不同共同倍音在八度音程检验中的应用

调八度A3-A4时，理论上调的是A4整根琴弦与A3的1/2琴弦的共同倍音A4的同度。然而在实践中，不可能做到调八度A3-A4像调同度那样完全没有拍音。在小型钢琴中这种现象非常明显，即八度音响不能如同A4的同度一样清晰，拍音一直听得很明显、清晰，但却无法消除。甚至音乐会演奏琴，无论怎么努力调纯，也会有一些“瞄音”。

同时使用这三种八度的检验方法会发现，用大十度-十七度检验确定八度在 2:1调纯。再依次检验 4:2，6:3中是否调纯。通常发现一个八度在2:1检验是调纯的，在4:2中八度会有一点偏窄；在6:3中八度会听起来更窄。若加宽八度音程，使其在6:3中变纯，在4:2和2:1中八度听起来就会变宽；若在4:2中八度调纯，那么在2:1中八度听起来宽，而在6:3中八度听起来窄。不能同时满足在这三个比例中将八度调纯。

这种情况的原因是琴弦存在泛音的非协和性。泛音非协和性是指琴弦每段振动的频率值也就是倍音的频率值比理论值高，并且高次倍音与理论值的偏差的现象会更显著。这种现象的原因是现实中琴弦刚度造成的结果[3]。尽管一根琴弦有抗弯性，但当它振动时，它分割的每段的长度会比理论值略短，造成的结果是它的倍音会比理论值高。归纳起来琴弦泛音非协和性与琴弦的材料、直径、长度、张力有关，即琴弦的材质非常硬，不柔韧，泛音非协性大；琴弦的直径大，非常硬，不柔韧，泛音非协性大；琴弦短，泛音非协性大；琴弦的张力大，泛音非协性小。通过这一不可避免的现象，要求调律师在开始制定基准音组的音的时候，能够结合钢琴自身属性，选择适合的比例完成钢琴调律中的第一步，也是最重要的步骤，同时使用调律软件的调律师也能明晰软件设置不同比例的理论依据。

倍音列中共同倍音原理以及泛音非协和性原理广泛应用在钢琴调律中，利用该原理不仅对制定标准音的检验、平均律分律检验，还对八度扩展尤其是高音区和低音区八度的检验起到非常重要的指导作用。本文对泛音列的应用虽然只在标准音及基准音组范围，但旨在抛砖引玉，希望钢琴调律师通过对原理的掌握，能够了解每台钢琴琴弦的物理特性，设置符合这台钢琴的音准曲线，从而更加精准地完成每一台钢琴的调律工作。

注释：

①傅立叶级数：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

②本文图 1来自陈重生《钢琴调律原理与应用》上海音乐学院出版社2015年版，第66页；图2至图7为笔者自制表。