基于数学归纳法的中国剩余定理证明方法

姚俊萍 李新社 范守祥

【摘要】中国剩余定理主要用来求解一元一次同余方程组，其解结构不但规范，而且证明方法几乎都是采用通过证明存在性和唯一性两点来完成的.本文根据方程解的迭加性原理和数学归纳法给出了一元一次同余方程组解结构的构造性证明过程，其思路和方法具有一定的普适性.

一、引 言

中国剩余定理主要用来阐述一元线性同余方程组的有解准则及其求解方法，最初主要用来解决在整数域上一个数的存在和寻求的问题.随着一代代数学家和科学家们的努力，中国剩余定理已与其他数学理论建立起了非常重要的联系.中国剩余定理可以把一个有限群拆成不同的循环群的积，进而研究Z/mZ的结构;中国剩余定理可以把一个挠模分成循环模的积，进而分出戴德金环或主理想环上模的类别;中国剩余定理不仅是现代公钥密码体制RSA快速解密的理论依据之一，而且也是Rabin公钥密码体制的解密工具.事实上，中国剩余定理还可以作为建立群签名成员的管理模型的理论基础.就中国剩余定理与不定方程和同余方程求解内在联系而言，中国剩余定理证明方法研究可以使人们更加透彻地理解和掌握不定方程和同余方程的应用.

二、基础理论

四、总 结

本文从方程（组）解迭加性原理出发，运用不定方程和同余方程求解方法，并根据数学归纳法证明命题步骤完成了中国剩余定理的构造性证明过程.与前面的方法相比，该方法更符合读者的认知结构，使读者最终达到学会数学，理解数学，享受数学的目的.

【参考文献】

[1]Kenneth H Rosen.Elementary Number Theory and Its Applications[M].北京：机械工业出版社，2009：116-123.

[2]胡典順，徐汉文.初等数论[M].北京：科学出版社，2010：62-69.

[3]刘晓蕾.有限群及其表示论若干问题研究[M].北京：国防工业出版社，2010：89-93.

[4]莫宗坚.代数学[M].北京：北京大学出版社，1999：222-225.

[5]金晨辉，郑浩然，等.密码学[M].北京：高等教育出版社，2010：252-253.

[6]朱文余，孙琦.计算机密码应用基础[M].北京：科学出版社，2015：143-145.

[7]陈泽文，张龙军，等.一种基于中国剩余定理的群签名方案[J].电子学报，2004（1）：1062-1065.