让数学化真正发生：“和真数学”教学理念与实践探索

[摘 要]为满足新时代创新人才培养需求，回应数学教学科学精神呼唤，适应学习心理学中高质学习要求，现实教学新的教学理念——和真数学教学应运而生。其本质是让数学化真正发生。其核心理念包括真学力、真经历、真发展。其主要特点包括聚焦生长，基础育人;融汇规律，科学育人;教育全构，系统育人;聚焦个体，个性育人。其构建起了生长目标、半构内容、学群主体、富美环境、真研教学、互生评价、精值研究、有机生态的系统化理论体系。

[关键词]和真数学;教学理念;数学化

[中图分类号]G420 [文献标识码]A [文章编号]1005-5843（2019）11-0086-07

[DOI]10.13980/j.cnki.xdjykx.2019.11.016

数学教学理念梳理是教师理论内化与实践总结的重要路径，是教师教学行为的认知先导，是面对纷杂教学理论的一种认识澄清，也是教学研究永无止步的学术追求与文化责任。本文从新时代数学教学责任担当、数学教学应然价值、学习心理最新发展现状、现实教学问题困境出发进行综合分析，提出了“和真数学”教学理念，其本质在于让数学化真正发生。

一、和真数学教学理念的提出

和真數学的提出包括以下几个的背景与依据：

（一）社会呼唤：创新人才的重要摇篮

新时代下的国际竞争本质就是人力的竞争，而其中创新意识与能力是人力的核心。文化的发展需要创新，科技的进步需要创新，政治的革新需要创新，这些都是民生赖以发展的基础。《中国教育现代化2035》中更是将提升一流人才培养与创新能力作为十大战略任务加以实施[1]。如何培养创新型人才？当前的主要载体依然在学科教学。由此对现有学科的功能定位予以梳理，无疑数学教学应成为创新型人才培养的孵化地与载体场。数学是系列抽象、推理与模型的建立，这些无疑是一切创新活动的基石。这就呼唤数学教学应该把创新作为主旋律，把学习交给学生自己，并创设真实的生活化的学习环境。

（二）学科特性：理性精神的培养场域

数学是研究数量关系和空间形式的科学。其对象与规律的客观性，要求学生学习的过程以理性的研究范式展开，把数学当作科学来学，遵守科学学习的一般范式，即 “问题——研究（猜测，实验，推理，结论，论证）——实践”的构建逻辑。把数学当成科学来学，还要求数学把科学精神，特别是求真、严谨、辩证、系统、理性的系列精神作为数学的内核与生长力。

（三）学习机制：学习品质的高质诉求

学习的过程本质上就是通过文化内化、外化促使主体生命增值、行为优化的过程。系列行为的改变，赋予价值观上的意义，就是行为的优化。从信息加工理论分析，行为优化过程就是在特定环境下，依托生理器官，进行信息处理的过程。认知科学、生理医学、脑科学、认知心理学的研究揭示，人脑青睐结构化的知识储存，多感官的处理利于认知迁移，身体器官的参与特别是实践能为下次类似活动提供支持，学习后转述给别人听是一种深度加工等。 由此，数学学习的过程应该多利用这些规律，提升学习品质[2]。

（四）现实问题：单一教学的深度转型

目前的数学教学存在以下几个问题亟需改正，让数学回归科学本位。一是目标过泛，不够聚焦;二是内容单一，缺乏生气。部分老师仅教教材，未给学生以更多创新发展空间、人力提升的资源支持与内容拓展，可让学生在生活中去探究真问题，给学生创新实践的机会;三是过程简单，缺乏建构。提高教育质量本质上就是一种有特定时限的教育文化的优化。简单的学习方式在新时代难以继存，科学学习显得尤为重要。

综上，理性精神、生活关照、高质学习、自主参与、研究建构、实践创新成为了新时代下数学教学的综合诉求。要实现2017年高中数学课程标准中“会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”的终极关怀，必然要培养学生“数学化”的能力[3]。数学化是生活数学化，数学生活化，即打通数学与相关场的界域，实现真实的融通与互生。和真数学教学正是基于此提出。

二、和真数学教学的内涵

何谓和真数学，其内涵与外延分别是什么，下面予以一一阐释。

（一）概念

“和”是一个多音多义字，本文取配合，跟、同、对，相加得数，搅拌，附和等义。“真”包括正确，清楚确切，实在，事物的原样等义。综合起来，和真指追求事物原样，通过配合实在正确的过程，得以发生质的提升，得以价值增值，即求索本质，真实探究，增值发展的含义。

和真数学则是还原数学生发本源，通过在真实的场域中经历、探索，探究数学的本质规律，并实现文化与个人的增值优化发展。结合数学教学的结构元素，和真数学定义如下：以提升学生数学内生素养与人力内生素养为目标，以真实生活与真实问题为载体，通过学生自主或合作探究等多方式，研究数学本质规律，解决真实数学问题，促进学生教师与数学学科的增值精优发展的数学教学理念。

（二）内涵

通过定义，和真数学教学理念包括以下核心内涵：

1.和真数学更关照数学生长与人生长的内在力量的培养，而非单一的知识习得。这需要在教学目标上、方式上都更关照数学核心素养的培养。

2.真是和真数学的主旋律。真实的生活经验，真实的数学问题是学习数学最核心的载体。数学不能被束之以高阁，而应该成为学生生活、个人生命成长息息相关的数学。学习方式则应让学生自主研究，通过不断内化与顺应实现学习。

3.和真数学着力实现价值增值。教学不仅包括学生自身的发展，其过程还应时刻关照学科自身的发展、教师自身的成长等主旨。数学教学应该将文化传承，人力培养与生活服务融为一体，实现价值增值。三位一体的价值追求本身也是数学学科的三个核心定位，旨在让学生洞悉数学学科内部生长机制，打通数学与自身生活的时空阻碍，成为对自己成长负责且有能力自主发展的个体。

概括起来，“着力生发，真实学习，自主发展”是和真数学的三大内涵，即和真数学的核心理念。这三者本质就是数学化，体现为数学与生活、数学与自身、数学与其他学科、数学与社会、数学与自然、数学与文化、数学与未来的互相转化，互相生成。万物皆备数学，数学发展万物。所以，和真数学的价值本真便是“让数学化真正發生”。

（三）外延

外延是对象的集合。和真数学的内容包括理念、课程和真课堂、评价、研究等纵向生发元素;形式包括一切符合上述“三真”的数学理念。从纵向理论的发展维度看，和真数学包括了具有三真特点的前概念数学教学理论，也包括后续生发的后概念相关理念。本文言指的和真数学主要范畴是小学阶段的数学教学，即是小学和真数学教学（如图1）。

三、和真数学教学的理论基础

上文对和真数学的必要性予以阐释，其科学性又如何呢？本文通过梳理教育学、心理学与社会学已有理论支撑，从科学性上予以学理论证其合理性。

（一）教育学理论：杜威实用主义、中学生核心素养体系

杜威实用主义哲学下的教育学思想集中概括为“教育即生活，学校即社会，学习及经验的改造，做中学” [4]。和真数学中提出的以真实生活、真实问题为载体，恰好是教育即生活的现实应用。做中学强调学生自主参与，实验研究，也关照学后的用。和真数学中真实学习、实践应用等理念刚好与之呼应。

中小学核心素养体系按照个人内生力量的发展路径，构建起了文化基础、自主发展与社会参与三大素养体系[5]。可以看出，文化基础是前提，自主发展是价值追求，社会参与是现实关照。和真数学强调回到数学生发源泉，着力生发素养，其学理建构方面是对核心素养体系的借鉴。而本真价值数学化真正发生，实际上包括了数学与自身、数学与生活、数学与自然、数学与社会、数学与文化、数学与未来的互生转化与互责担当。

（二）心理学理论：信息加工、建构主义与学习金字塔理论

从图1可以看出，和真数学在课程内容方面，着力于从学习内部机制出发，通过多感官刺激、结构化建构、实践与内化陈述（说数学课程）等课程，让学生学习品质得到保障;在教学结构方面，让学生主动参与，在真实问题中生发驱动学习，促使学生在真实经历中探究过程，积累活动经验，并在实践中应用发展、创新，最终实现增值发展。这刚好与信息加工、建构主义与学习金字塔理论倡导的学习结构不谋而合。

信息加工理论认为学习就是刺激、转化、外化的系列过程。建构主义则认为学习就是在一定情境下的同化与顺应的建构过程。金字塔理论认为，讨论、实践、教授给他人学习内容留存率更高，学习效果更好。后文也会对每一个结构方面的实施进行一定的学理说明[6]。

（三）社会学理论：社会有机体理论

社会有机体理论认为，生物与社会在结构、功能上相似，可以依据生物有机体推论社会有机体，从而研究社会各结构[7]。和真数学从生态发展上看，不是固守理论提出后戛然而止，相反是将理论体系置于有机体意蕴下进行生态考量。理论的生发机制上，如有机体一样，要实现新陈代谢，内外交流，进化发展。和真数学通过实践与理论的反复融通、调试、优化，前后理论的借鉴发扬，内部团队研究与外在教学理论发展的比对参考，实现教学理念的不断完善与优化发展。

四、和真数学教学的实践探索

（一）生长目标：学力素养

和真数学教学理念强调走到数学发展与人发展的本质上去寻找目标体系，着力生发素养进行建构。即不是拘泥于外在表现的四基四能，而是走进数学与人发展背后的生长基因中去关照目标。

结合中小学生核心素养，2017年高中数学课程标准、2011版义务教育数学课程标准，王永春先生提出了小学数学核心素养模型[8]。该模型从生发机制进行统整，认为数学教学的目标包括驱动素养、本体素养与外化素养三个层次。驱动素养是数学学力启动的前提;本体素养是数学发展的内在关键能力，是学科生发的本体基石;外化素养是数学的应用，是数学学习后外在的行为能力与表现（见表1）。

（二）半构内容：数学圈课程

落实三真，真学力、真经历与真发展，结合前文基于心理学分析的高质学习特点，本文构建起了“八环五形四时六题三机制”的数学圈互生课程体系。八环指课程构建的主线逻辑，按学习认知加工，分成了“预学结练用创展评”，其中预指准备，规划，预见，非单一的预习;五形指课程主要载体与实施形态;四时指课程实施的时刻时段包括“日、临时、单元、学期”四个点;六题指每期开展两次用数学与说数学，按年段分成六个主题进行统筹，即一至六年级为数学与身心、与生活、与自然、与社会、与文化、与未来，打通了数学化的经络;三机制指课程研发机制，包括教师导引、学生自研、互学互生（如表2）。

八环五形四时六题三机制的数学圈课程，融通了学习基本环节，多感官参与，多时段过度学习，形成高品质学习形态。如说数学，使数学化有了宽阔的载体与场域、资源与机制，其研发也保障了生态发展的可能。

（三）学群主体：三体学习

数学教学的主体思考应还原数学教学本体论思考，把数学教学理解为文化承创过程，承创的主体便可以成为数学教学的主体。如此，主体应该是多元性的，先者（主要是数学内容的创造与发现者）、学生、教师、家长与他者（社会其他参与数学构建的他人）都应是主体。这些主体融合可生成三种学习形式，集体学习、合作学习与自主学习。如在二年级，数学与生活主题下的说数学，学生可在班内组小组，也可拉入家长、社会他者组建小组;还可跨级、跨域、跨区、跨国等跨界组建合作小组;还可线上线下结合组成混元小组，等等。

（四）富美环境：生活学场

和真数学不仅着力课程与教学，还需要有富美的环境支持。环境本质就是学习的场，包括文化、制度、氛围、场所、设施设备、技术手段、组织、平台、资源等。和真数学让学生自主参与，真实经历，个性发展，这就需要有一个积极的文化导引。如我们班的文化是“爱上数学，自主学习，各美其美”;制度融合在数学圈课程《学习册》中的“学习建议一览表”中，包括班级数学学习口号、组织分工、四时行事建议、评价办法，交流办法等规定，成为了学习与家长行事的导引;氛围是民主、平等、信任、关爱、共进;场所包括校内教室、校外泛在场域;设施设备要按实现“现代化、智能化、实用化”的总体要求进行设置;技术手段上，要线上线下结合，传统技术与现代手段一体，单一与多元交汇，为教学提供支持;组织上，将“自主管理、互助管理，集体管理”有机统一，设置了黄金搭档、教学助手、教学班长等几个职务;平台走向了泛在学习;资源上，打通内外壁垒、线上线下隔阂、单一多元界域、静止生成对立、学校基地各为的僵化线性思维，走向了生态性的“精值拿来”资源网建设中来。

（五）真研教学：七真课堂

达抵和真的真学力、真经历、真发展，在任何课程的实施上，特别是在课堂教学的过程中，要注意做到三个始起，即要时刻谨记你的理念是什么，要做好精致的方案设计，还要对环境的各个方面与实施过程进行精心的筹备与演练。和真数学教学的课堂，着力以自主学习、思想能力和服务生活为导引，以数学关键概念、模型及背后的推理为载体，达至真目标、真参与、真生活、真问题、真研究、真实践、真发展的七真课堂教学原则。七真是三真的具体化，七真课堂将课分成了两种类型，一种是通性课，一种是变式课。变式课指按一定维度归属特定的课型，如按认知的机制，可以把课分为种子新生课、枝干迁移课、叶子总结课等;按目标重点可以分为概念课、计算课、图形课、统计课、实践课等。通性课形成了基本的模型，包括开题、设计、探究、建构、交流、实践、总结、延学几个基本环节。

下面以人教版五年下册，百分数的认识一课为例，说一说变式课中的枝干概念课是怎样上的。此课基于和真理念，将枝干概念课模型概括为“两联三段”。两联即知识内部联系、数学与外部联系（生活、社会、文化）;三段枝干概念课的三个基本环节，即概念学习（驱动、探究、抽象）、概念变式、概念联结。

课堂教学的目标与活动结构设计如下：

1.将新概念学习的价值、已有概念的局限性引入新课。采取举例子，如系列大数据中某数占总数的几分之几的比较存在困难，可用上海2019年小学生近似人数占比与重庆2019年小学生近似人数占比进行比较，从而引出分母相同，可约定俗成为百分数来进行比较。

2. 探究新概念。如百分数的内涵，可继续通过例子，剩余电量占总电量的百分之几，男生是女生人数的百分之几，三个例子比较，抽象本质属性，得出百分数的内涵即像这样表示一个数是另一个数的百分之几。

3. 理解概念变式，百分数外延。设置两个练习，电脑程序安装进程百分比，这里一个数是另一个数的一部分，所以不超过100%，两数关系是包含关系，是部分量与总量的关系;10月份电费支出是9月份的120%，10月份与9月份电费两数关系是并列关系，是一个量和另一个量的关系，可以是120%。进而理解表示一个数是另一个数的百分之几有两类关系情况，顺势引出百分比。

4. 联结概念，承前启后，辨析相关概念关系。倍、比、分数与百分数之别在于后者仅表示关系，不表数。同时通过它们之间的相互转化，铺垫后面即将要学习的求百分数。

这堂课真正做到了真学力，真经历，真发展。以生活例子、社会焦点、文化融入、练习巧设渐进推进，柳暗花明，润物无声！

（六）互生评价：优化发展

评价的本质是提供生长内力与寻找优化因子，即激励成长，通过反馈找到发展的优化办法，进而发挥评价本真功能。如何实现真发展，评價为此提供了一面镜子和一把手术刀。要实现发展，得依托评价的六大价值，即导向、反馈、激励、改进、自省与预见价值。如何基于六大价值而进行科学、系统、及时与个性化的评价呢？这需要设计好评价的四大结构，即评价指标、评价项目、评价工具、评价操作。一项评价工作的实施至少包括导引、评测与总结三个基本流程[9]。最后，如何将评价的全程予以系统化、可视化、文本化、个性化记载与呈现呢？可以设计针对学生与教学的两个统领性工具，即学习册与教学册。学习册包括我的计划、我的课程、我的总结、我的印记、我的评价，其中我的评价就是评价的统领性工具（图2）。

（七）精值研究：工具统整

和真数学教学理念强调以研究的精神、态度、视角、策略来开展教学工作，即把教学过程当作一种行动研究过程。这就需要教师拓展教学视野，延伸教学时空场，活化教学现场，延长教学的纵向实施。概括起来，真研究下的教学，应该提前做好规划建构，开发好系统的教学工具，在行动中经历与积累，在教学中磨砺与成长。通过评价、反馈、总结，最终促进教学的优化发展。作为老师，应该至少拥有教学册、习题集、案例集、旅行记四个基本的教学工具。其中教学册包括我的理念、我的计划、我的课程、我的历程、我的总结、我的评价几大部分;案例集以教育叙事的视角来真实积累教育教学经验与提升智慧;旅行记是对教学历程的记录与回顾，以活动剪影、作品展示、老师寄语等栏目凝心聚力，内化成就，缔造幸福！

（八）有机生态：理论生发

和真数学教学理论不是固化的、静止的数学教学良方，而是处于不断发展完善的一首未写完的数学情诗。在社会有机体理论视野下，教学犹如我们生命机体一样，需要新陈代谢，推陈出新，不断优化，这就需要我们建立理论的有机生态，具有联系、结构、系统、开放、生成、个性、发展、生命等特点，构建起理论的生发机制，即“上下融通、前后承创、内外联通” [10]。自上而下的理论演绎，至下而上的经验归纳，两者相互生成、理实结合。个人前经验、后经验的类比优化，人类前文化与现代文化的交融优化都是文化前后承创的主要机制。内外联通包括理论与其他理论的联通、内部研究共同体与世界数学界的联通、校内校外的联通、课内课外的联通等具体方式。总之，要数学化真正发生，理论生态发展不可缺席。

和真数学，其宗旨是让数学化真正发生，真学力、真经历、真发展是其三大核心理念，实现基础、科学、系统与个性育人的统一。当然，作为一个新生儿，和真数学还需要在实践中历练，在成长中成熟，方可成就。教育需要等待，花开不会无期！

参考文献：

[1]新华社.中共中央国务院印发《中国教育现代化2035》[J].人民教育，2019（3）.

[2]张达，石云，李魁明.基于学习金字塔理论的高校公共基础课程授课研究与实践——以自然灾害概论课程为例[J].当代教育理论与实践，2016（10），96-99.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4]（美）约翰·杜威（JohnDewey）.经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[5]核心素养研究课题组.中国学生发展核心素养[J].中国教育学刊， 2016（10）.

[6]何克抗.建构主义──革新传统教学的理论基础（上）[J].电化教育研究，1997（03）.

[7]郑秀芹，毛维国.马克思社会有机体思想及其当代价值[J].理论建设，2018（06）：89-92.

[8]王永春.学生发展核心素养视域下的小学数学核心素养[J].小学数学教育，2016（23）：3-5.

[9]李方红，董顺，王朕照.核心素养视野下的学生评价：互生发展评价的内涵、设计与实施[J].教育测量与评价，2018（7）：26-32.

[10]李方红.基于有机体意蕴的学校发展探析[J].现代中小学教育，2014（12）：9-12.

（责任编辑：滕一霖）