非对易空间下高斯势中的氢原子能谱

李叶磊，梁泂航，盛正卯

（浙江大学物理学系，浙江杭州310027）

非对易关系是数学物理领域中非常重要的概念，在数学中称不可交换性。例如，环和群中的元素在一般情况下是不可交换的。在量子理论中非对易关系也非常重要，[xμ,pν]=iℏδμν是量子力学中最基本的非对易关系式。根据弦理论，时空应该是非对易的，即时空具有测不准关系。在非对易空间中,除了坐标和动量之间是非对易的，坐标算符之间也将是非对易的。为了通过实验确定时空是否是非对易的，需要寻找对非对易效应敏感的体系。

非对易时空必然会对建立在一般时空的物理体系产生影响，当考虑时空的非对易性质时，量子理论需要做出一定的修正，若能预知这些修正，并通过实验验证之，则可以确定非对易时空的参数。因此，非对易情形下的量子力学引起了物理学工作者的广泛兴趣[1-4]。

本文的重点是提出方案。在充分了解非对易空间中氢原子体系的能级变化下，希望通过加入一个可实现的且可调控的中心势给出非对易参数θ的新界限，因此，考虑引入一个二参数的高斯势（V1(r)=Ωe-r2/K2），研究在加入该势之后的能级变化以及能级变化与非对易参数θ的关系。

1 非对易空间的代数方法

在非对易空间中，坐标算符与坐标算符之间不再对易，坐标算符与动量算符之间的对易关系和动量算符与动量算符之间的对易关系保持不变。则新的对易关系式为分别代表在非对易空间中的坐标和动量算符，{θμν}是一个反对称矩阵。

定义以下乘法运算为星乘积运算：

f(x),g(x)是非对易空间中的任意函数，在非对易空间中,普通的乘积f(x)g(x)将由非对易乘法f(x)×g(x)代替。表示为

Bopp变换是解决非对易空间问题的另一种方法。其主要思想是通过在对易空间中的空间坐标算符和动量算符进行线性组合，从而得到满足非对易空间中对易式的非对易空间坐标算符和动量算符。即

其中，xμ,Pμ,Pν分别表示对易空间中的空间坐标和动量算符。

通过Bopp变换,相应的哈密顿量可写成

2 非对易空间下高斯势中的氢原子能谱

引入一个二参数的势能:

其中Ω，K都是可以调整的参数。

非对易空间中氢原子在高斯势下的总势能V(r~)为

为便于对比非对易空间中的计算结果，先求解对易空间中该体系的能级。对该体系的精确求解是十分困难的，无法求出其解析的能级和波函数。因此采用近似方法求解。调节参数Ω到足够小，可以把高斯势看作微扰，用微扰论处理。

应用简并微扰论得：

R是氢原子的径向波函数。

下面求解非对易空间下高斯势中的氢原子问题，其哈密顿量为

则可得

对式（10）做泰勒展开并忽略θ的高阶量，得

令

因HG比较复杂，无法直接求其波函数和能级。将Hnc看作微扰。应用微扰论得：

其中a为波尔半径。

由非对易产生的效应

以下着重研究由引入的二参数高斯势能所引起的非对易效应。取氢原子的2p态进行计算，可得

其中，Erfc(x)为互补误差函数。

其中C为常数。

可作ΔENCG(ρ)关于ρ的函数图，如图1所示。显然ΔENCG(ρ)有一最大值。通过近似方法可得ρ约为1.6时ΔENCG(ρ)取值最大，即K取3.2a。

图1 ΔE-P函数图Fig.1 Function graph ofΔE-P

通过调控参数K的取值可使非对易效应达到最大。而对于此二参数高斯势能V1(r)=Ωe-r2/K2，K的取值代表该势能的“宽度”。可见当K取3.2个波尔半径时，非对易效应产生的能级差最大，即对该势能的“宽度”有所约束。

3 结 论

计算了引入高斯势能后对易空间中的氢原子的能级变化，得到部分能级发生分裂的结果。在计算非对易空间能级的变化时，发现能级修正与磁量子数相关，能级简并度完全解除。代入具体的2p态函数，可以得到由于非对易效应产生的能级修正与参数K的函数关系，发现能级修正有极值，通过近似方法得到取极值时的参数K的值。虽然前人已经计算过非对易空间中的氢原子能谱[11-12]，但由于不包含可调变量，加之非对易效应非常微弱，因此，仅靠测量能级的移动很难确定其是由非对易效应引起的。而本文方案可以通过观察能级移动与势参量的关系来确定是否由非对易效应引起，当确定是由非对易效应引起后，可通过式(13)进行定量比较，确定非对易参数θ。文中引入的高斯势，可以考虑由激光场产生，但激光的能量不能过强，否则会使氢原子电离。

本文的结论需要进一步实验验证，要求有超高精度的能级或光谱测量方案。