反证法

高慧明

北京市中学数学特级教师，现任教于北京市第十二中学;教育部课程改革“全国先进工作者”，教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场;在《教育研究》《中国教育学刊》《数学教育学报》《数学通报》等学术期刊上发表论文500余篇，其中100余篇被中国人民大学复印报刊资料《中学数学教与学》《中小学教育》全文转载;已出版个人专著《高中数学思想方法及应用》《高考数学命题规律与教学策略》《让高中生学会学习》《高慧明数学教学实践与研究》（丛书）等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。

反证法属于间接证明法，是从反面的角度思考问题的证明方法。具体地讲，反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已证明为正确的命题等相矛盾的结论。因为矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，就使命题获得了证明。

反证法依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时为真，至少有一个为假，这就是“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假，这就是“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、公理、定理、法则或已证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假;再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

反证法的运用模式可以简要概括为“否定→推理→否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定。應用反证法证明主要有三步：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设;第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

反证法常用来证明的问题类型包括结论以“否定”“至少”“至多”“唯一”“无限”等形式出现的命题，或者否定结论更明显的具体、简单的命题，或者难以直接证明，需要改变思维方向，从结论入手进行反面思考的命题。

反证法作为一种思想方法，在数学中有很多应用。在小学数学教学中，教师应注意以下三点。

第一，掌握它的基本原理和步骤。反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。它的证明步骤大致如下：假设待证的结论为假、反论题为真;从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等相矛盾的结论;根据排中律得出原结论成立。

第二，正确理解反证法涉及的一些概念和词语。在描述一对概念间的关系时，“是”与“不是”、“等于”与“不等于”、“大于”与“小于”、“至少有一个”与“一个也没有”等是相互矛盾的关系，而“大于5”与“小于5”、“正数”与“负数”等不是相互矛盾的关系，是对立关系。也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于属概念的外延，两个对立的种概念外延之和小于属概念的外延，如“大于”与“小于”中间有“等于”，“正数”和“负数”中间有0。

第三，学生通过简单的案例、运用反证法通俗易懂的推理过程，能够了解反证法的基本思想，培养思维的灵活性。如：“把11个参加活动的名额分配给6个班，每班至少分配1人。请说明：不管怎样分，至少有3个班的名额相等。”运用反证法思考，我们可以这样分析这道题：假设名额相等的班级最多有2个，那么需要的名额总数至少应为“（1+2+3）×2=12（个）”，而这个结论与已知条件“11个”名额相矛盾，所以至少有3个班的名额相等。

从“如果一个各项都不为零的三项数列，既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数数列”这个基本事实出发，把这样的数列设计为超过三项，得到了本问题第一问中的两个问题。第一个小问题，只能删除第二或第三项;第二个小问题是如果这个数列有五项，则只能删除中间一项。解决这个问题是反证的思想，即如果删除其他项就会在数列中出现基本事实与题目中要求的公差不为零的矛盾。这个问题解决后，如果数列的项数超过，则无论删除哪一项，都会出现基本事实，产生矛盾，从而使问题得到解决。本问题的第二问是一个结论为否定的存在性命题，解决的基本思想是反证，是一个以数列知识为依托，检验推理与证明的问题。

下期内容预告：数学思想方法系列讲座（11）

责任编辑  姜楚华