力学动态平衡问题与数学中圆的不解之缘

(江苏省江阴市长泾中学，江苏 无锡 214411)

数学在科学研究中有着重要的作用，在高考考试说明中把“应用数学处理物理问题的能力”作为考查学生的五种能力之一。这个能力主要体现在两方面：一是能够在具体问题中找出物理量之间的数学关系，根据数学进行推导、求解和合理外推，并根据结果从物理视角进行判断、解释、得出结论；二是能够根据物理问题的实际情况和所给条件，恰当运用几何图形、函数图像等进行分析、表达，能够通过分析明确图像的物理意义，从而解决物理问题。

共点力作用下的动态平衡问题作为常考考点，在历年高考试题或调研试卷上时有出现。此类问题往往需要学生根据实际情况进行受力分析，恰当选择和运用如三角形、平行四边形或圆等几何图形去分析力与力之间的关系，进而解决问题。本文对数学中“圆”的知识在解决力学动态平衡问题中的应用进行分析与归纳，以提升学生应用数学解决物理问题的能力。

1 用在圆上不同位置的半径表示大小不变、方向变化的力

物体受到三个力平衡时，如果其中第一个力大小、方向均不变，第二个力的大小不变，第三个力大小、方向均在变化。根据共点力平衡特点，在构建力矢量三角形时，将那个大小不变而方向变化的力看作一个圆中不同位置的半径，作出一个“矢量圆”，另一个力的情况也就清楚了。

例1：如图1所示，三根绳子a、b、c结于O点，c绳下方挂重物m1，绳子a另一端固定在天花板上，b绳跨过定滑轮悬挂一重物m2，不计一切摩擦，整个装置处于静止状态。先将悬点a缓慢向左移动少许至a′点，则在此过程中( )。

图1

A.bO绳拉力保持不变

B.aO绳拉力一直减小

C.aO绳拉力一直增大

D.aO绳拉力先增大再减小

图2

解析：对节点O进行受力分析，三根绳子拉力分别为F1、F2和F3，a点向左缓慢移动，三力动态平衡，矢量三角形如图2所示。F3大小等于m1g，方向不变；b绳拉力F2大小等于m2g，方向改变，则以F2的大小为半径作一个矢量圆(如图3)，F1的大小变化也就一目了然了，选项C正确。

图3

启示：以恒定力的末端为圆心，以大小不变的力为半径作圆，画出几个动态三角形便可以分析出另一个力的变化情况。此方法在高中物理其他地方也经常用到，如研究小船渡河问题，当船速小于水速时，讨论小船渡河的最短位移等。教师在总结方法的同时可以引导学生去举一反三，引导学生把一种方法迁移到其他问题解决中去。

2 圆中等长的弦所对应的圆周角为定值

物体受到三个力作用而平衡时，若其中一个力大小、方向均不变，另两个力的大小、方向都发生变化，且这两个力的夹角始终保持不变。则可以将力的矢量三角形移入其外接圆中，那个大小不变的力相当于圆中等长的弦，另两个力之间的夹角就是该弦所对的圆周角，始终为一定值。

图4

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

解析：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2和MN上拉力F1，由于重物被缓慢拉起属于动态平衡，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图5所示。因为mg大小、方向不变，F1与F2夹角不变，故可将三力平移至圆中，mg为圆的一条固定的弦，F1与F2的交点始终在圆上移动，即可保证夹角不变(固定弦所对圆周角为定值，如图6)。在F2移至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以选项A、D正确，选项B、C错误。

图5

图6

启示：本题为2017年高考全国卷试题，对学生综合分析能力和应用数学知识解决物理问题的能力要求较高。此题虽然也可以用正弦定理或特殊值法解决，但都不及图解法直观、简单。学生的问题关键在于不能把分析出的“一个力不变，另外两个力夹角不变”过渡到“圆中固定弦所对应的圆周角为一定值”，在平时的教学中，教师在总结方法的同时，可以多创设不同情境，采用变式训练，从而提升学生数理结合能力。

3 结合题目中已有的“圆”，运用相似三角形等方法处理动态平衡问题

在力学动态平衡问题中，会遇到一类题型，题目给定了一些几何长度或几何图形，要求学生借助题目已有图形处理问题。如果题目给定一个圆，往往可以通过作辅助线，在已有圆中找到与力的矢量三角形相似的三角形，从而确定力的变化情况。

图7

例3：如图7所示，橡皮筋一端固定在竖直墙的O点，另一端悬挂质量为m的小球静止在M点。O点正下方N处固定一铁钉(橡皮筋靠在铁钉左侧)，ON间距等于橡皮筋原长，现对小球施加拉力F，使小球沿以MN为直径的圆弧缓慢向N运动，橡皮筋始终在弹性限度内，不计一切摩擦，则小球从M向N移动的过程中( )。

A. 橡皮筋的弹力一直在变小

B. 拉力F的方向始终跟圆弧内橡皮筋垂直

C. 拉力F的方向始终跟圆弧垂直

D. 拉力F先变大后变小

解析：小球在移动过程中，橡皮筋的伸长量为N到圆弧上任意点的弦长，此弦长逐渐减小，则弹力一直变小，选项A正确；设圆的半径为R，在M点，mg=F弹=k·2R，如图8所示，设小球运动到P点，对其进行受力分析，橡皮筋弹力沿PN方向，大小与PN长度成正比，则力的三角形与△MPN相似，直径MN所对圆周角为直角，则MP⊥PN，故拉力F始终垂直于橡皮筋，且在移动过程中弦长MP就对应着拉力F的大小，故F越来越大，故选项A、B正确。

图8

启示：此题巧在重力、橡皮筋弹力与圆的直径、弦对应，从而可以找到相似三角形，再结合圆的直径所对圆周角为直角，得到拉力F与橡皮筋垂直。此题对教学有很好的导向作用：往往物理题目给定几何图形，就是要求学生能主动建立起物理与数学图形的联系。所以在平时教学中，要培养学生数理结合的意识，要引导学生通过作图，联系已有图形的特点，实现问题的突破和能力的提升。

4 结语

提升学生应用数学知识处理物理问题的能力是高中物理教学的一个重要目标，在教学中，教师应注重培养学生数理结合的意识，引导学生对所学的知识以及问题解决方法进行总结、迁移，切实提升学生的能力。