易腐物品库存数学模型研究综述

王玉珍 徐立

摘 要：对易腐物品库存模型的研究现状进行讨论，包括微分方程模型、规划模型和随机模型。在微分方程模型的讨论中，分别在引入提前时间、库存时间滞后、库存发生短缺以及库存发生折损四种情况下对微分方程模型进行优化;规划模型讨论不同动态规划方法下的易腐物品库存管理;随机模型从库存研究中的不确定因素对库存模型进行优化。通过对三种模型的分类讨论，以期為冷链物流库存模型研究提供借鉴。

关键词：易腐物品;库存模型;研究综述

中图分类号：F224        文献标志码：A      文章编号：1673-291X（2019）30-0184-02

在实际生活中，易腐物品的功效和价值在库存和销售环节中，会随着时间的流逝而快速下降。由于易腐物品所表现的普遍性和与众不同的特征，使得易腐物品的库存模型成为研究的一个热点，易腐物品的库存研究也可以为冷链库存研究提供借鉴。本文就微分方程模型、规划模型以及模糊数学模型进行了分类讨论。

一、微分方程模型

易腐物品库存问题最早可追溯到Whitin[1]，他第一个研究了时尚物品在库存周期末发生过时的情况。其后，Ghare和Schrader[2]发展了具有指数衰减率的库存模型，他们通过下面的微分方程表示衰减过程，建立了一个库存模型：

其中，？兹是常数衰减率，I（t）表示在时刻t的库存水平，D（t）表示在时刻t的需求。

从此以后，人们开始广泛地研究易腐物品的库存系统。

1.引入提前时间情况。吕大义[3]根据最大熵原理得出在提前时间内需求为正态分布，尝试把订货量、设置成本和提前时间视为决策变量进行讨论，并把庄博仁等[4]的模型推广到易腐物品库存模型和极小极大自由分布模型，为了达到利润最大化目标，在风险库存策略下，建立起库存模型，采用了直接法，对模型近似求解，从而得到最优补货的定价策略。通过对算例模型的模拟和灵敏度分析我们发现，补货提前期对易腐蚀品定价策略影响最大，其次是单位的仓储成本，两者对定价策略起着决定性影响。二者的增大会导致系统利润的降低;而单位成本的增加，在一定程度上使得系统降低最优补货量。而这些发现均能够帮助优化传统模型，对现实仓库存储有一定的指导意义。

2.考虑时间滞后情况。马玉林[5]研究了滞后时间为正的、连续盘点的（s，S）易腐库存横型，利用矩阵表示方法求出了平稳分布的递推表达式，证明了循环周期的分布服从PH分布.并求得了费用函数f（s，S.K）。

3.考虑发生短缺情况。Dave&Patel[6]在易腐物品库存模型中考虑了需求与时间相关但不会发生短缺的情况。Roy chowdhur[7]则建立了在固定时域内允许短缺的易腐物品的订购批量模型。Goswami和Chaudhuri[8]提出了更加一般化的模型，考虑了与时间相关的变质和需求。Chanduri和Charabarty在Covert和Philip[9]的研究基础上，引入了具有强普适性的二参数和三参数的Weibull函数来代替线性相关的变质率系数，取得了对变质率较好的模拟。朱彦利等通过对无限期冷链产品的品质分析，将易腐物品的生存死亡特征、随机需求以及价格影响加入到库存补货定价模型当中，模型中的库存价格是连续变化的，而库存的需求率是其价格的指数函数，变质率服从的是三参数Weibull分布，提前期固定[10]。而Yang Hui-Ling考虑了需求的时变性，并假定订货商允许缺货，且短缺量完全拖后，建立了相应的VMI集成模型[11]。Yang和Wee[12]讨论了补货周期长度相等、生产率有限、不允许缺货的变质性物品在存在多个顾客情况下的模型。Sana，Goyal和Chaudhuri[13]提出了有限计划期内允许缺货且需求为线性的变质性物品的最优补货策略，该模型假设的是各补货周期的长度相等。

4.考虑折损情况。因为在一定周期内，商品的质量会发生改变，尤其对于易腐物品来说更容易因为库存量较大而产生大量的产品变质，从而导致利润的下降。最近这些年，许多学者对于产品折损问题的库存理论研究越发地看重了起来。为了能够将一个销售周期内所产生的变质数量控制在一定的范围之内，徐菱等将变质数量的可折价回购以及库存水平引入到了模型当中，而且针对销售周期内的缺货数量，模型假定采取部分延迟订购的策略[14]。

二、规划模型

很多学者建立规划模型来解释易腐物品的最有库存问题。20世纪70年代中期，美国N.Steven[15]等人采用动态规划方法建立了最优订货策略，其理论意义较好，但是实用性较差，甚至很难实现模型求解。

郝世绵等进一步将多目标引入模型，考虑多目标优化下的生鲜食品最佳联合库存，首先构建综合评价体系，将经济性、保鲜度、多样性、服务水平作为一级评价指标，将仓储成本、运输成本等13个因素作为二级评价指标，以此构建AHP层次结构模型，通过模型评价，发现在降低成本的同时，高质量的服务水平也不可忽视，同时时间效率、生鲜食品的多样性等均需要重视，通过实现多目标优化，才能够最终达到降低总成本的目的[16]。相较于多目标优化模型，冉文学则从供应链的角度考虑变质物品的建模方法，其从供应商、生产商、消费者的角度综合考虑，得出最佳联合总成本，从而获得最佳的库存解决方案[17]。两个模型都是通过层级式的多目标优化解决问题，且均证明与独立的决策方法相比，综合方案策略的总成本可以达到最低。当出现外部随机扰动时，曹裕则在价格和服务水平的双重影响下探究了易逝品企业的最优联合动态定价，传统的库存动态定价模型只探讨了外部波动和服务水平两者之一对生产库存决策的影响，而此模型将两者相结合，探讨了外部扰动对库存变动影响的生产商联合动态定价、服务和生产控制策略，研究表明，最优动态价格、服务水平以及生产速率与库存水平呈线性相关，在固定时间段里，外界波动因素越大，则企业可以获得利润就越少，企业的服务水平也会影响易逝品的生产、服务、价格策略[18]。

三、随机模型

针对经济订货批量模型中需求率、单次订货成本、单位产品成本等参数的不确定性问题，朱连燕将参数设计思想和径向基函数模型相结合，提出了一种基于径向基元模型的优化方法。该方法能够有效地降低参数不确定性所带来的随机误差，从而以确定最优订货策略[19]。王玉引入了潜在需求和实际需求，将总利润水平重新定义为：TR（m）=R（m）-C（m）-H（m），其中R（m）是销售收入，C（m）是购买成本，L（m）缺货成本，H（m）是庫存持有成本，通过选择混合策略以实现最大化零售商总额[20]。隆冰进一步探讨了在供需平衡的情况下出现库存残余、缺货等状态时随机库存模型。前期研究者在考虑库存模型时均以供给、需求、库存三要素相互独立为研究条件，而此文考虑了三者之间的相互关系，并将其纳入随机库存模型中，同时引入了需求的随机波动。其将库存成本表示为订货费、保管费、残余库存损失费和缺货损失费的加权总和，在需求的随机变动范围中分别考虑一次补齐和整周期连续补货模型，最终利用库存成本期望提出了基于补货周期的随机库存模型[21]。

除了传统的库存影响因素，消费者的行为也在影响着库存决策。唐跃武通过刻画消费者策略性行为，分别从两个阶段分析铲平剩余价值对消费者行为等因素的影响机理[22]。

韦才敏则考虑了在企业面临资金约束时的库存决策问题。当银行出现信贷紧缩、资本市场不发达时，作者研究了延期支付与库存订购量之间的关系，在库存损坏率较小时，利用了泰勒展开式等优化算法进行参数更新，从而得到最优缺货时间、最佳订购周期和最佳零售价格的解析解[23]。同时根据给定的模型，给出了平均利润函数并证明了其存在最优解，然后通过算例完成了不同销售价格、不同折价回购比例和不同库存影响因子条件下的最优订货策略的确定以及其余相关参数的灵敏度分析，分析结果可对零售商的订货策略有一定的参考价值。

参考文献：

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[2]  Chare P.N.，Schrader G.F.A model for exponentially decaying inventories[J].Joural of Industrial Engineering，1963，（15）：238-243.

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[6]  Dave U.，Patel L.K.（T，S，i）policy inventory model for deteriorating items with time proport ional demand[J].J.Opt.Res.Soc，1981，（32）：137-142.

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[10]  朱彦利，等.基于预定销售的库存模型[J].广西科学，2007，（2）：128-131.

[11]  Yang Hui-Ling.Two-warehouse inventory models for deteriorating items with shortages under inflation[J].European Journal of Operational Research，2004，（157）：344-356.

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[14]  徐菱，等.考虑变质量可折价回购与库存水平影响需求的易变品库存模型[J].数学的实践与认识，2016，（24）：79-86.

[15]  Steven N.Optimal ordering policies for perishable inventory[J].Operation Research，1975，（4）：735-740.

[16]  郝世绵，等.基于多目标优化的生鲜食品联合库存研究[J].当代经济管理，2017，（1）：24-29.

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[18]  曹裕.易逝品随机生产库存模型动态定价、服务水平和生产控制策略[J].系统工程理论与实践，2018，（7）：1717-1731.

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[20]  王玉.考虑保质期的易腐品库存——买赠促销策略分析[J].工业工程与管理，2017，（3）：99-113.

[21]  隆冰.需求依赖库存水平的随机库存模型[J].武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2018，（5）：732-737.

[22]  唐跃武.考虑策略性消费者的生鲜农产品定价和库存决策[J].中国管理科学，2018，（11）：105-113.

[23]  韦才敏.延期支付与订购量相关的易腐产品库存决策模型[J].数学杂志，2018，（2）：325-336.