带Dini核的多线性Calderón-Zygmund算子的迭代交换子的有界性∗

周疆，胡喜

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

0 引言

多线性Calderón-Zygmund 理论起源于Coifman 和Meyer 在文献[1]和[2]中的工作.近几十年来,带经典核的多线性Calderón-Zygmund 理论被许多学者进一步研究(见文献[3 −6]).最近,带粗糙核的多线性Calderón-Zygmund 理论逐渐形成(见文献[7 −13]).首先,我们介绍一类带粗糙核的多线性Calderón-Zygmund 算子的定义.

设ω(t):[0,∞)→[0,∞)是一个非减函数且0<ω(1)<∞.对于a>0,如果有

那么称ω ∈Dini(a).显然地,若0

其中X ≈Y 表示存在一个常数C>0,使得C−1Y ≤X ≤CY.

定义1[11]设K(x,y1,...,ym)是定义在(Rn)m+1除去对角线x=y1=···=ym上的局部可积函数,如果K 满足以下三个条件:

(i)存在一个常数A>0,使得对任意x 与y1,...,ym不全等的(x,y1,···,ym)∈(Rn)m+1都有

则称K 为Dini 型m-线性Calderón-Zygmund 核.

定义2[11]设T :S(Rn)×···×S(Rn)→S′(Rn),如果满足以下两个条件:

(i)存在一个Dini 型m-线性Calderón-Zygmund 核K,使得

(ii)存在1 ≤q1,···,qm<∞ 且使得T 是从Lq1×···×Lqm到Lq上的有界算子,则称T 为带Dini 核的m-线性Calderón-Zygmund 算子,简记T ∈ ω-CZO.

显然地,对某个 ε > 0,当 ω(t) = tε时,ω-CZO 为Grafakos 和Torres 在文献[4]中所研究的经典多线性Calderón-Zygmund 算子.

2009 年,Maldonado 和Naibo 在文献[10]中证明了T 为带Dini 核的双线性Calderón-Zygmund 算子,在 ω 是凹函数且ω ∈Dini(1/2)的条件下,算子T 在乘积Lebesgue 空间上是有界的.2014 年,Lu 和Zhang在文献[11]中将Maldonado 和Naibo 的结果推广到多线性情形,同时削弱了ω 的条件,只需要ω ∈Dini(1).值得注意的是,Lu和Zhang在文献[11]中也做了BMO 线性交换子的结果,但由于交换子相对算子本身有更多的奇性,对于ω 需要如下的更强的条件:

最近,Zhang 和Sun 在文献[13]中考虑了迭代交换子的情形.设且 ω 满足

如果10,使得

定义3[14]设0<β<1,给出Lipβ(Rn)的定义为

2009 年,王伟和徐景实在文献[14]中研究了多线性Calderón-Zygmund 算子与Lipschitz 函数生成的交换子在乘积Lebesgue 空间上的有界性.

受上述工作启发,一个自然的问题是:带Dini 核的多线性Calderón-Zygmund 算子与Lipschitz 函数生成的迭代交换子在乘积Lebesgue 空间上是否有界?注意到,由于Lipschitz 函数的特殊性,本文将文献[13]中BMO交换子的结果做到Lipschitz 交换子时,对ω 满足的条件,可以削弱为ω ∈Dini(1).

定理1设1

便于行文,我们给出一些必要的记号和说明:aB,a>0,表示与球B 同中心,边长伸缩a 倍的球体;C 表示与主要指标无关的常数,每次出现时其值可能并不相同; 对于Rn中的可测子集E,用χE表示E 的特征函数,对1 ≤p ≤∞,p′为p 的共轭指标,即满足

1 预备知识

我们首先引入一些相关的定义和结果.

定义4[15]设Sharp 极大函数M♯f 的定义为

其中Q 为Rn中包含x 的方体.

对于00,使得对所有左边有限的函数f 成立如下不等式

定义5[14]对非中心极大算子的定义为

引理1[17]若0<β<1,1 ≤p<∞,则有

引理2[17]设0<β<1,f ∈Lipβ,Q1,Q2为Rn中任意两个方体.若Q1⊂Q2,则有

定理证明中,我们将多次使用如下的Kolmogorov 不等式.

设00,使得对任意可测函数f 和任意方体Q,有

2 主要结果及其证明

为了证明本文的主要定理,需要给出一个关键的Sharp 极大函数估计,即引理3.这一方法可以在文献[6]中找到.不失一般性,我们只证明m=2 的情形,即考虑

引理3设0<β1,β2<1,b1∈Lipβ1,b2∈Lipβ2,T ∈ ω-CZO,且 ω ∈Dini(1).如果且p1,p2>1,那么存在一个常数C>0,使得对有

其中

证明固定x ∈Rn,Q 为Rn中包含x 的方体.对于a,b ∈R,0

因此,为了证明(1)式,只需证明

对 ∀λ1,λ2∈R,z ∈Rn,有

进而可得

从而有

其中

II,III 和IV 类似.

下述证明过程中,取λi=(bi)Q,i=1,2.

首先估计I,由Hölder 不等式及引理2,可得

下面估计II,由Hölder 不等式及引理2,可得

类似于II 的估计,可得

最后,估计IV.

其中

进一步地有

首先估计IV1,由Kolmogorov 不等式,算子T 的有界性,引理2及对指标p1,p2>1 分别运用Hölder 不等式,可得

对于x,z ∈Q,y ∈RnQ∗,易知|x−y|≈|z −y|.

接下来估计IV2,由核K 满足的条件,引理2,引理3 及对指标p1,p2>1 分别运用Hölder 不等式,可得

对于IV3这一部分,类似于IV2的估计,可得

最后估计IV4,取对于0<δ<1,由Hölder 不等式知

注意到,对任意x,z ∈Q 和任意y1,y2∈Ωk,有

则由ω 是非减函数,且由核K 满足的条件,可得

进而由引理3,ω ∈Dini(1)及对指标p1,p2>1 分别运用Hölder 不等式,可得

综合以上估计,即证明了(1)式.类似地,可以证明(2)和(3)式,这样便完成了引理3 的证明.

定理1 的证明:对中稠密,因此只需证明对成立即可.

根据引理3 及Fefferman-Stein 不等式,可得

对于1 < q1,q2< ∞,可以选择引理3 中的p1,p2,使得1 < p1< q1,且1 < p2< q2.令由则有

从而有

类似地,我们有

和

从而有

这样便完成了定理1的证明.

注:在运用Fefferman-Stein 不等式时,需要在不等式左边小于无穷的条件下,这一部分内容可以参看文献[6].