欠驱动桥式起重机系统控制技术研究

王 杰，强宝民，何祯鑫，董思岐，关 标

(火箭军工程大学，西安 710025)

桥式起重机，又称桥吊，如图1是一种典型的欠驱动系统。常见的欠驱动系统还有Pendubot、Acrobot和倒立摆等设备。所谓欠驱动系统，是指系统的独立控制变量个数小于系统自由度个数的一类非线性系统，在生产实践中很多设备都具有欠驱动的形式，因为去掉系统部分驱动器，增加了系统自由度，提高了系统灵活性，并且在节约能源、降低价格、减轻重量、增强系统适应性等方面都欠驱动系统都比全驱动系统优越[1]。桥式起重机相比挺杆式、塔吊式起重机具有载重量大，运输范围广，系统稳定等优势，广泛服务于经济建设的各个层面，如港口、钢厂、车间以及航天工业等。随着国内外市场规模不断扩大，对产品需求的不断提高，起重机的转运作用愈发明显，对转运的效率以及安全性稳定性提出了更高的要求。

图1 欠驱动桥式起重机示意图

对于桥式起重机系统而言，现阶段主要控制目标为快速且准确的台车定位与负载摆动的抑制消除，由于系统自身的欠驱动特性，加之多数负载具有双摆效应[2]，甚至发生吊绳方向的轴向扭转，因此系统具有极强的不稳定性，同时，在生产中极易出现短时强风[3]。等外界干扰，会造成货物负载的大幅度摆动，在军工企业、航天部门以及大宗货物运输过程中，极易造成安全生产事故，因此，如何实现桥吊系统安全性、快速性与稳定性的统一，是欠驱动桥式起重机系统急需解决的问题。

本文首先对2000年至今桥式起重机系统单摆和双摆建模进行了简要概括，之后对同一时期内众多控制方法进行全面回顾，包括分析各种控制方法的特点及其应用，最后总结了现阶段的研究成果，阐述了目前研究局限性以及存在的问题，并对今后的发展方向进行展望。

1 系统动力学模型建立

1.1 欧拉-拉格朗日法建模

准确的建立动力学模型是进行系统分析的基础，由于欠驱动系统的不确定性与强耦合性，传统的牛顿力学难以建立精确的模型，与之相比，欧拉-拉格朗日法通过计算系统能量，能够准确地得到系统的动力学模型，因此被广泛用于复杂系统动力学建模。设欠驱动桥式起重机自由度为n，系统可控量为m(n>m)，其动力学模型[2]有如下统一形式：

(1)

在工程问题中，三维起重机模型对实际问题的描述更为充分，但由于模型高度非线性给研究带来了不便，根据负载摆动方式可以取消一个负载摆动自由度，得到广泛研究的二维桥式起重机模型。

根据文献[2]对系统的假设，若负载质量远大于吊钩质量，可将负载看作质点，如图2所示，此时二维桥式起重机动力学模型[4]描述如下：

(2)

式中，d(t)为系统干扰；M、m1分别为台车、负载质量；l1为吊绳长度；u(t)为控制输入量；g为重力加速度，fr为台车与轨道之间的摩擦力，采用如下摩擦力模型[5]：

(3)

式中：fr0x,krx,ε∈R+为系统摩擦因数。

图2 二维单摆桥式起重机示意图

若起重机系统不满足系统假设，即负载不能视为质点时，负载相对吊钩会产生二级摆动如图3所示，此时的动力学模型[6]如下：

图3 二维双摆桥式起重机示意图

(4)

(5)

(6)

式中：m1,m2分别为吊钩质量和货物质量；l1,l2为一、二级摆绳长度；θ1,θ2为一、二级摆相对铅垂方向的摆角；其余参量如之前定义。

1.2 Udwadia-Kalaba理论建模

Udwadia-Kalaba理论，与拉格朗日法类似，均基于达朗贝尔虚位移理论。使用该方法能够在不出现拉氏乘子的情况下得到约束力的解析求法，具体而言，U-K理论相比广泛使用的欧拉法有以下优点[7]：

1)U-K理论可用于解决一类完整或非完整约束问题及理想或非理想约束问题，尤其在一些非理想多约束系统中基于达朗贝尔原理的经典建模理论并不适用；

2)在一些具有多自由度或约束条件复杂不可积的系统中，拉氏乘子难以获得，而U-K理论无需针对具体问题计算确定拉氏乘子；

3)大多数动力学模型质量矩阵均为非奇异，Pars在文献[8]指出当使用最少的广义坐标描述动力学问题一定会产生奇异现象，因此在进行复杂系统建模过程中，常见的使用较多广义坐标来简化问题的做法有可能会产生系统质量矩阵奇异问题。

基于U-K理论的动力学模型[7]如下：

(7)

式中：Qc,Q∈Rn×1分别为约束力、主动力，Qc区别于拉氏原理中只包含理想约束，在U-K理论中包含理想和非理想约束两部分。其余参数如之前定义，当方程在满足轨迹方程：

(8)

在式(8)条件下，可以求解约束力：

Qc=M1/2[(AM)- 1/2]+(b-AM- 1Q)

(9)

式中：符号“+”表示矩阵的Moor-Penrose逆。

将系统需要满足的约束条件，即轨迹转化为轨迹方程的形式，可得到系统控制输入如下：

τ=Qc=M1/2[(AM)- 1/2]+(b-AM- 1Q)

(10)

1.3 柔性绳索建模

当下几乎所有的起重机动力学模型均把吊绳-负载系统理想化处理，但实际生产中吊绳常常会呈现图4所示的柔性特征，H.Wei等[9-10]在系统建模方面进行了深入研究，结合Hamilton原理推导出非均匀桥式起重机吊绳-负载系统动力学方程。

图4 柔性吊绳系统

定义：ρ(x)为吊绳单位密度；y0(t)为体坐标系偏移量；y(x,t)为吊绳相对惯性坐标系偏移量；w(x,t)为吊绳相对体坐标系偏移量；d1(t),d2(t)为作用于台车和负载的外界干扰，u1(t),u2(t)为系统控制输入，结合图4可以得到吊绳任意位置坐标为：y0(t)+w(x,t)，则吊绳-负载系统动力学方程[9]：

(11)

其中，∀(x,t)∈(0,L)×[0,∝)，边界条件见文献[9]，此处不多赘述。

1.4 建模方法总结

1)对于二维、三维起重机系统一般采用式(2)，式(4)～式(6)形式，结合控制算法调整为传递函数或者状态空间函数等形式，此时可使用MATLAB/Simulink环境进行形象化编程，且后期能实现功能模块化以及参数模块化调整，缺点是Simulink建模过程复杂；

2)U-K理论在复杂系统或存在非理想约束系统建模中应用较为广泛，能够避免欧拉法建模可能会出现的系统质量奇异问题[10]，且在解决一类轨迹跟踪问题上具有较大优势；

3)当下经典动力学模型均给予一定程度的假设条件，当起重机实际工作条件不满足吊绳刚性和质量忽略假设时，使用分布式柔性绳索建模方法，更能够较为准确地模拟真实应用场景。

2 控制模式与控制方法

根据控制目标的不同，将桥式起重机系统控制模式分为镇定控制与轨迹跟踪控制。本文根据控制方法是否具有状态反馈，将桥式起重机控制模式分为开环控制与闭环控制。

2.1 开环控制策略

开环控制发展至今，在工程领域已经应用广泛，其主要优势在于不需要额外布置传感器来进行状态反馈，因此系统简单易于安装；由于缺少反馈环节，开环控制对系统环境波动以及外部干扰条件十分敏感，因此限制其只能在精确度要求不高，无外部干扰的环境中使用。

2.1.1输入整形

输入整形，又称指令整形，常用于线性系统，文献[11]研究指出针对非线性系统使用输入整形方法进行控制对整体动力学模型影响很小。对于桥式起重机的消摆控制，其输入整形方法主要以ZV，ZVD整形器为主，但鲁棒性很差，其控制性能严重依赖模型的精确程度，当模型存在不确定参数(如绳长)时，系统控制品质会急剧下降。为此研究人员又开发出SI整形器、EI整形器，用于增强系统对不确定参数的鲁棒性，实验证明其对系统参数摄动有很好的控制效果，却无法消除残余摆动，且在风力等外界干扰下控制品质会大大下降[12]。

一般的整形器均基于固定的系统参数来进行设计，因此在时变或具有参数不确定性的系统，如起重机变绳长操作等工作中，系统阻尼比和固有频率会发生变化，此时需要设计自适应整形器来实时更新整形脉冲的幅值于分布。为了解决有效载荷提升和起重机系统参数的不确定性的影响，开发了自适应输入成形器。Cutforth和Pao[13]为了应对参数的不确定性，提出了一种基于柔性模态频率变化的自适应输入整形。此外，为了满足系统的不确定性，对脉冲幅度和位置进行更新的自适应离散时间控制进行了研究[14]。文献[15]提出了一种基于直接法的时域自适应命令整形方法，该方法无需获取系统参数信息即可直接估计所需命令整形器的效率；此外，作者在提出了一种自适应时延命令整形器，能够适用于单模式和多模式系统[16]。

2.1.2指令滤波

指令滤波属于滤波方法的一种，是一种通过对原始命令进行平滑来抑制振动的控制策略。通过对系统固有频率和阻尼比的估计，设计了平滑滤波器。为了减少振动和振荡，有几种光滑的命令剖面，如三角函数过渡函数、高斯函数、样条函数和S曲线等。Xie等[17]提出的命令平滑方法对高频范围的建模误差不敏感，而对低频范围的ZVDDD不敏感。在单摆和双摆起重机系统上进行了试验验证。设计的光顺器在多模态振动抑制系统上也取得了良好的控制效果。

2.2 闭环控制策略

2.2.1PID控制与线性二次型控制方法

PID控制器采用线性化的方法，根据系统误差函数的比例、积分和微分信号进行控制器设计。由于其设计简单，成本低廉在工程领域应用较为广泛，随着非线性桥式起重机工作方式的日趋复杂，对精确度与生产效率要求的提高，传统PID线性控制方法已然不适用。当下PID控制器大多借助于其他智能控制方法进行改良，针对摆角和台车位置建立两个以上PID控制器。利用神经网络自校正(NNST)过程作为估计量，文献[18]中提出了一种以调整PD控制器的增益来进行负载消摆的龙门起重机系统的位置控制方法，H.Saeidi等采用神经网络自整定方法调节PD参数[19]；F.Panuncio等提出了一种新型神经PID控制器[20]，在不需要大的系统增益的情况下实现了良好的摆角响应；M.Solihin通过遗传优化方法设计稳定的鲁棒PID控制器[21]。可以看出，目前的PID控制研究集中在利用非线性方法来优化其参数，以提高控制精度和鲁棒性。

线性二次型控制方法(LQR)，其基本原理是通过寻找最优反馈矩阵以达到最优控制的目的。D.Kim等[22]在港口起重机上增加了微小台车，增加了两个系统自由度，抑制了波浪引起的负载摆动；M.Adeli等[23]设计了一种与遗传算法相结合的并行分布式模糊LQR控制器，用于双摆吊车的防摆控制，仿真结果表明此法有较快的响应速度。

2.2.2最优控制方法

最优控制方法通过构造能够代表系统控制目标的组合指标函数，并使之性能达到最优来进行控制。桥式起重机系统包含欠驱动自由度，因此其指标函数仅能够代表系统的部分性能，在桥式起重机控制过程中最突出的表现是台车快速移动与负载摆动抑制的指标相冲突，为此控制器的设计必须要结合实际需要，为各个指标设定优先级。具体而言，文献[24]针对线性化模型设计了摆角最优控制律，实现了摆角幅值最小化，但相应的造成了负载运输时间过长；J.Auernig等考虑整体运输效率，设定台车最快运行速度，实现了最小时间控制，但使得负载摆角过大[25]，模型预测控制的品质体现在目标函数的选取，对模型预测控制的研究主要集中在位置控制和减小摆角，因此针对多个目标函数依照权重进行整合能够实现最佳的控制效果.

2.2.3离线轨迹规划

离线轨迹规划法是一种有效的开环定位消摆控制方法。国内方勇纯团队在此领域有较为深入的研究。马博军[26]离线设计了S形曲线，用于台车准确定位，但无法抑制负载摆动，在实际应用时需要额外的反馈控制器；Sun等在[27]分别从快速准确定位和消摆的角度设计了参考轨迹和抗摆环节，通过线性方式结合在一起，之后通过迭代学习进行参数优化，得到了所需轨迹，实现了快速准确定位和消摆。离线轨迹规划法一般用于前馈环节，对于复杂系统需要结合反馈控制器以提高对干扰的鲁棒性。

2.2.4滑模控制

滑模控制是一种控制系统结构随时间不断更新的控制方法。由于滑动模态与系统参数摄动以及外部干扰完全隔离，因此处于滑模控制运动的系统对系统的不确定性、未建模系统状态具有良好的控制效果，适用于线性、非线性控制领域。在起重机控制方面，由于滑模控制方法对不确定条件的有效性，研究人员进行了广泛的研究，具体包括，终端滑模控制[28]、分层滑模控制[29]、积分滑模控制[30]等。为了获得更好的精度和鲁棒性，消除包括台车质量、有效载荷和风力等在内的系统不确定性的影响，文献[31]结合自适应、模糊控制进行起重机的消摆控制，并通过仿真进行了验证。当然滑模控制自身也有一些需要改进的地方，最突出的是系统状态高频切换引起的抖振现象，目前针对抖振现象提出了滤波、观测器降低切换增益等方法，能够削减了抖振对控制品质的影响。

2.2.5无源控制

无源控制属于鲁棒控制的一种，其核心思想是从能量的角度入手，将系统视作多端口的能量传输设备使得闭环系统满足无源性。国内外研究人员利用无源控制原理，对单摆等欠驱动连杆系统进行了深入研究。其中I.Fantoni等[32]在研究Acrobot系统时，通过构造含有系统能量、状态向量平方项的李雅普诺夫函数，并以此设计能量耦合控制率，使得系统能够收敛到竖直方向上任意小的邻域内；方勇纯、孙宁、马博军等将能量法应用到桥式起重机的消摆控制中，并加入自适应控制，增强了系统的适应能力，取得了丰硕的研究成果[33,34]。

2.2.6反步方法

反步法的基本思想是将复杂的非线性系统分解成若干个不超过系统阶数的子系统，针对每个子系统设计李雅普诺夫能量函数及控制量，之后回退到完整系统完成控制率的设计。具体来讲，王宏健[35]使用滤波反步法设计跟踪控制器，并通过误差补偿回路，保证了滤波信号对控制量的逼近精度；T.Madani[36]基于李雅普诺夫稳定性原理为四旋翼系统设计了三个子系统，分别控制其位置与滚动和俯仰脚的关系、高度与偏航的关系，以及螺旋扭矩，仿真实验验证了有很好的跟踪效果；C.Tsai[37]在一个统一的控制框架下，提出了一种可同时实现起重机三维位置控制和防摆控制的反步多变量运动控制器，并进行了控制有效性、鲁棒性验证。由于反步法将系统的不确定性当作输入处理，因此只需把系统外不确定性因素在形式上转化为反馈形式，就能够实现复杂系统简单化，因此反步法适用于存在不确定参数的复杂系统的鲁棒控制。

2.2.7部分反馈线性化

相比于全驱动系统能够实现完全反馈线性化，欠驱动桥式起重机存在不可驱动的状态，最早文献[38]针对欠驱动系统提出了一种部分反馈线性化方法，通过定义新的系统控制量来实现系统变换，最终将其进行局部线性化，该方法被广泛地应用于欠驱动连杆系统的控制；孙宁等[39]通过对桥式起重机动力学模型进行一系列的变换,设计了一种新型轨迹跟踪控制器,与调节控制方法相比可保证台车的平滑启动与运行，并且大大拓宽了已有轨迹跟踪控制方法对参考轨迹的约束条件，更具生产普适性；张晓华[40]等人对桥式起重机的欠驱动模型进行了部分反馈线性化，通过坐标变换将其转换为严格前馈级联规范型，实现了负载的准确定位。

2.2.8智能控制

神经网络具有良好的非线性处理能力和内部平行结构的鲁棒性，研究表明，通过反馈方案，该方法对系统不确定参数，如吊绳长度等有很强的鲁棒性，因此得到广泛关注。具体而言，Chiu等[41]使用梯度下降法对递归神经网络(RNN)进行参数在线调整。模糊控制近年来在控制领域有迅速的发展，B.Benhellal等[42]用神经模糊控制器进行大型起重机的控制，并用滑模控制方法在线调整神经模糊参数；张兰勇等[43]对具有未知状态的大型欠驱动系统进行分析，设计了一种自适应模糊鲁棒控制器，解决了一类具有未建模状态、动态扰动的非线性系统的控制问题，且具有良好的动态性能；此外，模糊控制可以调整PID增益，提高其对环境的适应能力，这种控制策略称为模糊自整定PID控制器，D.Qian等[44]设计了一种基于输入整形的模糊控制器，使用输入整形作为前馈环节优化模糊控制器的输出指令。可以看出，模糊控制对于复杂或难以精确描述的系统具有强有力的控制能力，但由于其难以建立一套完整的模糊控制理论，难以解决模糊控制机理、稳定性分析的问题。

3 结论

为推进提高欠驱动桥式起重机系统的理论研究与控制效果，并将其与实际应用相结合，作者认为以下几个方面有待进一步展开研究。

1)有限时间消摆。起重机性能指标中，摆动收敛性能是一项很重要的指标。然而从绝大多数控制算法输出的结果得到，闭环系统最快的收敛速度为指数等级，因此无法得到更好的收敛性能。从控制系统时间优化的角度，能够实现起重机控制系统有限时间消摆才是时间最优的控制方法，此外研究表明，有限时间控制器中含有分数幂项，这让有限时间闭环控制系统相对其他控制系统对参数摄动和干扰有强鲁棒性，值得进一步研究。

2)系统不确定性和外界扰动研究。目前研究的诸多控制方法对参数摄动均十分敏感，对系统模型进行简化处理时会忽略高阶项、测量误差和不可测参数的存在，这些因素导致模型与系统特性相差甚远。此外在系统建模时对外界干扰、系统摩擦等都进行了忽略处理，这会对系统控制品质产生很大影响。为此应当针对干扰因素，借助神经网络进行前馈抑制，以及滑模、自适应等非线性控制策略进行反馈补偿。

3)输出反馈控制方法研究。为简化起重机系统结构复杂程度，一般仅对系统位移、摆角进行测量，而对台车速度、负载摆动角速度等数据则需要系统进一步处理得到。目前对起重机系统控制策略的研究一般基于全状态反馈，故需要对系统输出进行进一步研究，通过观测器对不方便测量的系统参数进行在线估计，实现控制系统状态的实时更新。