差分方程在经济中的应用举例

万祥兰

【摘 要】差分方程是经济数学中的重要组成部分，为离散取值的变量研究提供了有力工具。本文介绍了差分方程在经济中的三个应用案例。

【关键词】差分;差分方程;贷款模型;存款模型;蛛网模型

中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）31-0104-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.048

1 差分

差分：设函数y=f（x），记为yx。当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列：y0，y1，…，yx…，则称yx+1-yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为Δyx，即Δyx=yx+1-yx。Δ（Δyx）记为Δ2yx，称为函数yx的二阶差分。即Δ（Δyx）=Δyx+1-Δyx=（yx+2-yx+1）-（yx+1-yx）=yx+2-2yx+1+yx，同样可定义三阶、四阶差分。二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。

2 差分方程

差分方程：含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。方程中未知函数附标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶。n阶差分方程形式为F（x，yx，yx+1，…yx+n）=0或G（x，yx，yx-1，…yx-n）=0或H（x，yx，Δyx，Δ2yx，…，Δnyx）=0

一阶常系数线性差分方程：形如yx+1-ayx=f（x）（a≠0，a是常数）的方程称为一阶常系数线性差分方程。其中f（x）为已知函数，yx为未知函数。

3 差分方程的应用举例

3.1 贷款模型

例1：小周夫妇为买房需要向银行贷款100万元，月利率0.5%，贷款期限25年（300月），试建立数学模型并计算小周夫妇每月的还款金额。如果小周夫妇每月节余8000元，是否可以去贷款买房呢？

分析：在整个还款过程中，每月还款金额是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变化规律是解决问题的关键。为此，我们可以如下进行求解。

解：设n月还欠款为an元，每月还款x元，月利率为r，则可建立如下差分方程

a■=（1+r）a■-x（k=1，2，…）a■=1000000

这是关于ak的一阶常系数线性差分方程，通解为ak=c（1+r）k+■（c为任意常数），满足初始条件a■=1000000的特解为ak=（1000000-■）（1+r）k+■，将a300=0，k=300，r=0.005代入上式，得x=■≈6401.76（元），说明小周夫妇可以去贷款买房。

3.2 存款模型

例2：小李夫妇打算小孩出生后，每年向银行存入x元作为家庭教育基金，若银行的年复利率为r，试写出第n年后家庭教育基金总额的表达式。如果预估小孩18岁入大学时所需费用为10万元，按年利率8%计算，小李夫妇每年应向银行存入多少元？

解：设n年后教育基金总额为an，按复利公式，可得出如下差分方程：

a■=（1+r）a■-x（k=1，2，…）a■=x

这是关于ak的一阶常系数线性差分方程，通解为ak=c（1+r）k-■（c为任意常数），满足初始条件为a0=x的特解为ak=■[（1+r）k+1-1]，将a18=100000，k=18，r=0.08代入，得x=■≈2412.76（元）

说明小李夫妇每年向银行存入2412.76元，小孩18岁入大学时可攒得基金总额10万元。

3.3 蛛网模型

背景与问题：在市场经济中，有些产品的生产、销售呈现周期性，农产品就是其中典型的一种。农产品的投资、销售价格、生产量、销售量往往是有周期性的，但在一定的周期内是稳定的。因此，对于一定时期内这些经济指标可以用离散型变量形式表示。对于农业生产，种植先于产出和销售一个时期，要想效益取得良好的收益，必须把握好这些因素的规律并提前做好计划，下面建立数学模型来分析市场趋势。

模型建立：当期的销售量Qt影响当期的价格Pt，假设有Pt=f（Qt），f是减函数;t时期该产品的价格Pt决定生产者在下一时期愿意供应市场的销售量（生产量）Qt+1，假设有Qt+1=g（Pt），g是增函数;Pt还决定本期消费者对该产品的需求量Dt，Dt=h（Pt），h是減函数，又假设达到供需平衡，即Qt=D（t）。因此可以分别建立关于Qt，Pt的差分方程：

Qt+1=g[f（Qt）]，Pt+1=f[g（Pt）]

模型分析：通过上述的对应关系把点列（Q1，P1），（Q2，P1），（Q3，P3），（Q4，P3），…在坐标系中进行描绘，进而发现它们的变化规律和稳定点。

将点（Q1，P1），（Q2，P1），（Q3，P3），（Q4，P3），…连接起来就会形成类似蛛网一样的折线，这个图形被称为蛛网模型。如果点列（Q1，P1），（Q2，P1），（Q3，P3），（Q4，P3），…收敛于两曲线的交点（Q0，P0）称达到稳定状态，说明市场在长期运行之后，可能会达到平衡。

模型的求解：用一阶线性差分方程作近似计算，是实际问题的近似模拟。

假设销售量是关于价格的单调递增的线性函数，需求量是关于价格单调递减的线性函数，因此有Qt=-？酌+δPt-1，Dt=α-βPt，（α，β，？酌，δ均为正常数）求价格随时间变动的规律。

解：假设在每个时期中价格总是确定在市场售完的基础上，即达到稳定平衡状态，因此可得到-？酌+δPt-1=α-βPt

整理可得βPt+δPt-1=α+？酌

这是一个一阶常系数线性差分方程，通解为Pt=■+c-■■（c为任意常数）满足t=0时，Pt=P0的特解为Pt=■+（P0-■）-■■

4 结语

差分方程在经济学中有着广泛的应用。很多经济量的变化问题，常常可以转化为差分方程的求解问题。解决这些问题，一般应根据某个经济规律或某种经济假设建立一个数学模型，即以所研究的经济变量为未知函数，时间为自变量的差分方程模型;然后求解;再通过所求的解，来解释相应的经济变量的意义;最后还可以作出预测或决策。

【参考文献】

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