关于Pell-Lucas多项式求和的一些性质

刘桓　刘红梅

【摘要】基于Fibonacci多项式求和的一些定理，研究与其相似的Pell-Lucas多项式的性质，建立形如∑hn=0Q2n（x）和∑hn=1Q（2n+1）（2k+1）（x）2（2n+1）的一些新的恒等式，并对这些恒等式做了进一步的推广.

【关键词】Pell-Lucas多项式;Pell数;组合恒等式

【基金项目】2018年大学生创新创业训练计划项目（国家级项目，项目编号201812026045）.

一、引 言

Fibonacci多项式和Lucas多项式及其推广在自然科学的许多领域有着广泛的应用，是很多数学家关注的问题，也得到了很多有意义的结论.与其相似的Pell-Lucas多项式近年来也受到很多关注.

本文则要根据Fibonacci多项式求和的一些定理研究Pell-Lucas多项式求和的性质及推广.

在文献[1]中，Pell多项式Pn（x）和Pell-Lucas多项式Qn（x）定义如下：

P0（x）=0，P1（x）=1，Pn（x）=2xPn-1（x）+Pn-2（x），（1）

Q0（x）=2，Q1（x）=2x，Qn（x）=2xQn-1（x）+Qn-2（x）.（2）

由上述递推公式，可以得到Qn（x）和Pn（x）的表达式

Pn（x）=∑n2k=0n-kk（2x）n-2k，

Qn（x）=∑n2k=0nn-kn-kk（2x）n-2k.（3）

并很容易得到它们的通项公式

Pn（x）=12x2+1[（x+x2+1）n-（x-x2+1）n]，（4）

Qn（x）=（x+x2+1）n+（x-x2+1）n.（5）

关于Fibonacci求和的文献很多，例如，[2]证明了广义Fibonacci数列和的一些性质，[3]中介绍一些关于卢卡斯的一些新的恒等式，[4]中得到了一些Fibonacci数列和Lucas的性质，[5]中证明了下列恒等式.

∑nk=1F2m+12k=15m∑mj=0（-1）iL2m+1-2j2m+1j（F（2m+1-2j）（2n+1）-F2m+1-2j）.

本文受这一恒等式的启发，旨在证明Pell-Lucas多项式的类似恒等式.

二、主要结果

引理1 对任意的正整数n，可以得到

∫x0Q2n（y）dy=Q2n+1（x）2（2n+1）+Q2n-1（x）2（2n-1），

∫x0Q2n+1（y）dy=Q2n+2（x）2（2n+2）+Q2n（x）2·2n-2n+12n（n+1）.

证明 对表达式（5）进行求导可得

Qn′（x）=nx2+1（x+x2+1）n-nx2+1（x-x2+1）n=2nPn（x）.（6）

对Qn（x）求积分可得

∫x0Qn（y）dy=xQn（x）-∫x0yQn′（y）dy

=xQn（x）-2n∫x0yPn（y）dy

=12·1n+1Qn+1（x）+12·1n-1Qn-1（x）+

n2（n+1）Qn+1（0）-n2（n-1）Qn-1（0）.

由于Q2k+1（0）=Q2k-1（0）=0和Q2k（0）=Q2k+2（0）=2，易证引理1.

引理2 QnQ2k+1（x）2=Qn（2k+1）（x）.

证明 令α=x+x2+1，β=x-x2+1，则αβ=-1，由（5）可得

Q2k+1（x）2+Q22k+1（x）2+1=α2k+1，

Q2k+1（x）2-Q22k+1（x）2+1=β2k+1.

由上式可知

QnQ2k+1（x）2=αn（2k+1）+βn（2k+1）=Qn（2k+1）（x）.（7）

根據以上的引理我们很容易证明下列的定理：

定理1 ∑hn=0Q（2n+1）（2k+1）（x）2（2n+1）=∑hn=0h+n+1h-n2（2n+1）Q2n+12k+1（x）.（8）

定理2 ∑hn=1Q2n（2k+1）（x）-22n=∑hn=1h+nh-n2nQ2n2k+1（x）.（9）

证明 令α=x+x2+1，β=x-x2+1.可得

∑hn=0Q2n（x）=∑hn=0（α2n+β2n）=Q2h+1（x）2x+1.（10）

由（10）（3）和引理1，可以得到

∫x0∑hn=1Q2n（y）dy=∫x0Q2h+1（y）2y+1dy

=∑hn=1Q2n+1（x）2（2n+1）+Q2h-1（x）2（2n-1）.（11）

则2∑hn=0Q2n+1（x）2（2n+1）=∑hn=0h+n+1h-n2n+1（2x）2n+1.

令x=Q2k+1（y）2，代入上式中由引理2可证出定理1，同理我们也可以证明定理2.

【参考文献】

[1]Wang W，Wang H.Generalized Humbert polynomials via generalized Fibonacci polynomials[J].Applied Mathematics and Computation，2017（307）：204-216.

[2]Ohtsuka H，Nakamura S.On the sum of reciprocal Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quarterly，2008/2009（46/47）：153-159.

[3]Zhang J.On the Lucas polynomials and some of their new identities[J].Jin Advances in Difference Equations，2018（1）：126.

[4]Wang T，Zhang W.Some identities involving Fibonacci[J].Lucas polynomials and their applications，2012（55）：95-103.

[5]Ozeki K.On Melhams sum[J].Fibonacci Q.，2008/2009（46/47）：107-110.

[6]Li X.Some identities involving Chebyshev polynomials[J].Math.Probl.Eng.，2015：1-5.