基于傅里叶级数的防伪扭索曲线设计∗

夏自由

（长沙师范学院 长沙 410100）

1 引言

扭索曲线是版纹防伪的基本要素。扭索曲线在防伪底纹制作上得到广泛应用。我国2005 年版、2015年版百元钞票都采用了扭索曲线进行防伪。

在版纹防伪设计软件中，扭索曲线主要通过数学函数生成，以正弦函数、余弦函数为主。曲线光滑、对称、美观，常规图形设计软件无法绘制出来，具有一定的防伪性，同时可对正（余）弦函数进行线性运算，改变曲线的形状，提升扭索曲线的防伪性能［1～4］。

2 傅里叶级数理论

根据傅里叶级数理论，周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如式（1）所示［5～6］。

反过来，用有限项傅里叶级数可构建周期函数，生成扭索曲线，曲线的波形为各单项函数的谐波之和［7～11］。

采用傅里叶级数公式建立的曲线光滑、美观，而且具有一定的周期性，适合制作防伪扭索曲线。而且，曲线形状随傅里叶级数中单项函数的幅值变化而变化，曲线的防伪效果好，仿造者如没有破解复合函数的参数，就无法仿制出曲线。因此，傅里叶级数公式适用于防伪扭索曲线设计［12～18］。

3 实验

采用傅里叶级数公式设计扭索曲线时，为了保证曲线的美观度，需要按照一定的规律来构建复合函数。本研究采用Cerber3.0 防伪版纹设计软件进行实验，探寻复合函数构建中，谐波分量、级数对曲线形状的影响。

Cerber3.0为俄罗斯开发的防伪版纹设计软件，可基于图形界面构建二维傅里叶级数复合函数。如图1所示。

图1 Cerber3.0中傅里叶级数复合函数的构建

谐波AB 表示Y 轴方向傅里叶级数的各单项函数的幅值，对应式（2）。谐波CD 表示X轴方向傅里叶级数的各单项函数的幅值，对应式（3）。

构建复合函数时，谐波A、B、C、D 的值采取相对值方式，大小范围为-10～10，级数n 的范围为0～255 级。设置好复合函数的参数后，就可生成对应的扭索曲线。

3.1 Y轴方向构建复合函数

Y 轴方向，基于公式（2）构建复合函数，曲线的波形沿着Y轴方向进行谐波变换。如图2所示。

图2 Y轴方向复合函数的曲线形状

从图3 中可以看出，当级数为1 时，可生成正（余）弦曲线；当级数为2 时，可生成双频干涉扭索曲线；随着级数的增加，曲线的形状变得复杂。

在实际应用中，为了保持曲线的美观，需要按照一定的原则设置n、A、B的值。有以下几个原则：

1）级数n 决定一个周期内Y 轴方向波峰的数量，最多波峰数量与n值相等。

2）调整A、B值，会改变曲线波峰、波谷的形状、位置。

3）当B 取值都为0 时，复合函数都是由余弦函数构成，形成的函数曲线具有左右对称性。如图3所示。

图3 B=0，复合函数的曲线左右对称

3.2 X轴方向构建复合函数

X 轴方向，基于式（3）构建复合函数，曲线的波形沿着X轴方向进行谐波变换。如图4所示。

图4 X轴方向复合函数调整曲线形状

从图4 中可以看出，调整C、D 值，曲线波形出现倾斜、交错的效果。在实际应用中，为了保持曲线的美观，需要按照一定的原则设置n、C、D 的值。有以下几个原则：

1）级数n 决定一个周期内X 轴方向波峰的数量，最多波峰数量与n 值相等。另外，如果曲线形成交错效果时，最多的交错次数也与n值相等。

2）调整C、D 值，曲线在X 轴方向进行谐波变换，即曲线沿着X轴方向出现倾斜或变形。

3）当D 取值为0 时，式（3）中的复合函数都是由余弦函数构成，形成的波形曲线具有上下旋转对称性。如图5所示。

图5 D=0，复合函数的曲线上下旋转对称

3.3 二维方向构建复合函数

在X轴、Y轴方向同时构建复合函数时，曲线在X轴方向、Y轴方向同时进行谐波变换，形状变得复杂。如图6所示。

4 结果分析

根据以上分析，利用傅里叶级数公式，可以复合出复杂的三角函数，对应的扭索曲线复杂，仿制难度非常大，同时又具有周期性，适合用于防伪底纹的制作。但设计制作防伪底纹时，还需要考虑底纹的美观因素，因此并不是任意复合函数都适用于扭索曲线的设计。综合考虑，利用傅里叶级数公式制作扭索曲线时，以下设计经验值得借鉴。

图6 二维方向构建复合函数形成的曲线

1）构建的复合函数时，使用的级数越多，生成曲线越复杂，防伪效果越好，但级数增加，一方面会增加计算的时间，软件处理速度变慢，另一方面，值越大，调整意图具有盲目性，效果也无法控制，导致曲线形状过于复杂，影响版纹的美观度。当Y 轴方向达到4 级，X 轴方向达到2 级时，曲线被反向分解破解的难度已经较大，生成的曲线较为美观。

2）构建复合函数时，谐波B、D 的值设置为0，只调整A 值、C 值，扭索曲线具有对称性，制作的底纹美观度高。

3）利用傅里叶级数公式建立的复合函数，曲线形状各异，但并不是所有的曲线都适用于制作防伪版纹，因为还要考虑版纹的美观性。生产应用中，可以通过实验选择适合的复合函数来制作扭索曲线。图7为复合函数曲线制作的防伪底纹效果。

图7 复合函数曲线及底纹填充效果

5 结语

利用傅里叶级数公式设计防伪扭索曲线时，需要把防伪性能与美观度结合起来。复合函数的参数简单，造假者容易破解参数，仿制出版纹；复合函数参数复杂，曲线形状变得复杂，版纹的美观度降低。因此，设计时需要综合考虑，平衡处理。