一类三波作用模型的不变代数曲面、Hamilton结构及无穷远动力学行为

牛艳秋,杨双羚,,许明星

(1.吉林建筑科技学院 基础部,长春 130114；2.吉林大学 数学学院,长春 130012)

0 引 言

考虑如下三波作用模型:

其中:γ,δ是参数,δ表示同步失谐,其他线性项刻画耗散和外部能量泵送的影响;x,y,z正比于3个波的振幅.该模型描述了3个准同步波在等离子体中的相互作用[1-2].

目前关于模型(1)的研究已有很多结果: Bountis等[3]利用Painlevé分析研究了该模型的奇性结构；Almeida等[4]给出了该模型存在非平凡李对称的充分条件;Lu等[5]利用特征线法刻画了该模型所有的运动积分；文献[6]研究了该模型有理首次积分的存在性.本文首先用代数几何中的消除理论刻画该模型的具常数余因子的不变代数曲面；其次,证明具不变代数曲面的三波作用模型存在无穷多个Hamilton-Poisson结构,因此是双Hamilton的;最后,利用Poincaré紧致化技巧研究该模型在无穷远的动力学行为.

1 不变代数曲面和Hamilton结构

令f(x,y,z)∈[x,y,z]是关于x,y,z的多项式.如果存在多项式k(x,y,z)∈[x,y,z],使得

(2)

则称代数曲面f=0是模型(1)的不变代数曲面,其中k称为f对应的余因子.如果f是不变代数曲面,也称其为Darbux多项式.由定义易见,如果模型(1)的某轨线上一点属于该不变曲面,则整个轨线上的点都属于该不变曲面.不变代数曲面可用于构造系统的首次积分[7-8],不变代数曲面的存在性对于理解系统的复杂动力学行为很重要[9].

为简单,本文考虑模型(1)具常数余因子的不变代数曲面，即k∈. 进一步,假设不变代数曲面具有如下形式:

f=a000+a100x+a010y+a001z+a110xy+a101xz+a011yz+a200x2+a020y2+a002z2,

(3)

把式(3)代入式(2),并对比x,y,z的同次幂系数,可得多项式方程组

gj(γ,δ,k0,as1,s2,s3)=0,j=1,2,…,16,

(4)

其中:

令I∶=〈g1,g2,…,g16〉表示上述多项式生成的理想.下面利用代数几何中的消除定理[10]消去k0和aijk,得到只含有γ,δ的Gröbner基底.注意到代数方程存在平凡的零解,利用数学软件的输出结果为〈0〉,因此消除过程总可以进行.考虑额外的条件a200≠0,即考察理想I1∶=〈1-ωa200,I〉.消去ω,k0和aijk的Gröbner基底.利用数学软件,不难得到约化理想J1=〈γ2+3γ+2〉,对应的代数簇为

V=V1∪V2,

其中:V1={(γ,δ)|γ=-1};V2={(γ,δ)|γ=-2}.类似地,可以考虑其他情形,没有新的代数簇产生.

通过上述分析,可得如下结果.

定理1三波作用模型(1)存在具常余因子的二次不变代数曲面的充分必要条件是下列条件之一成立：

1)γ=-1,此时,不变代数曲面是x2+y2+z,余因子是-2;

2)γ=-2,此时,不变代数曲面是δx2+δy2+2yz,余因子是-4.

利用不变代数曲面,可以构造三波作用模型(1)的无穷多个Hamilton-Poisson结构,从而说明该系统是双Hamilton的.相关的定义和基本结果参见文献[11-12].

当γ=-1时,做变换

u=xet,v=yet,w=ze2t,

则(u,v,w)对时间t的导数为

即模型(1)变为

(5)

将I1作为Hamilton函数,可得系统(5)的一个Hamilton-Poisson实现:

定理2假设γ=-1,系统(5)存在Hamilton-Poisson实现(3,Π1,H1),使得它可改写为

其中: Hamilton量H1=I1;Poisson矩阵

Poisson括号{·,·}满足{f,g}=fTΠ1g.

(6)

将I2作为Hamilton函数,得到系统(5)的另一个Hamilton-Poisson实现:

定理3假设γ=-1,系统(5)存在Hamilton-Poisson实现(3,Π2,H2),使得其可改写为

其中: Hamilton量H1=I2;Poisson矩阵

Poisson括号{·,·}满足{f,g}=fTΠ2g.

基于定理2和定理3,可以构造出系统(5)无穷多个Hamilton-Poisson实现.

定理4假设γ=-1,系统(5)存在无穷多个Hamilton-Poisson实现 (3,Πab,Hcd),其中:

Πab=aΠ1+bΠ2;Hcd=cH1-dH2;

当γ=-2时,做变换

u=xe2t,v=ye2t,w=ze2t,

则模型(1)变为

(7)

同理可知系统(5)具有无穷多个Hamilton-Poisson实现,因此也是双Hamilton的.

定理5假设γ=-2且δ≠0,系统(7)存在无穷多个Hamilton-Poisson实现(3,Πab,Hcd),其中:

2 无穷远动力学行为

当γ=-1时,考虑函数F1(x,y,z)=x2+y2+z.易验证沿着模型(1)的解曲线为

因此,任何满足从F1≠0出发的轨线,沿t→+∞趋向于不变曲面F1=0,沿t→-∞趋向于无穷远.同理可以考虑当γ=-2时的情形.因此,有如下结果.

定理6假设γ=-1(或γ=-2),对于模型(1),所有从不变代数曲面F1=0(或F2=0)或者无穷远附近出发的轨线都是异宿轨,并且限制在该轨道都是正向趋向于不变曲面F1=0(或F2=0),负向趋向于无穷远.

图1 在x,y,z轴正方向的端点处Ui的定向 (Vi位于Ui的对径切面上,i=1,2,3)Fig.1 Orientation of local charts Ui at positive endpoints of coordinate axis x,y,z(Vi on diametrical tangent of Ui,i=1,2,3)

图册Ui={γ∈S3|γi>0},Vi={γ∈S3|γi<0},i=1,2,3,4.为考虑模型(1)中x,y,z在无穷远的动力学行为,只需考虑如图1所示的Ui,Vi(i=1,2,3).

(8)

在不变平面z3=0上,系统约化为

(9)

(10)

注意到平面z3=0在无穷远是不变的,且系统(10)可约化为

(11)

图2 系统(9)的相图Fig.2 Phase diagram of system (9)

图3 系统(11)的相图Fig.3 Phase diagram of system (11)

图4 系统(13)的相图Fig.4 Phase diagram of system (13)

令z3=0,则

(13)

系统(13)存在唯一的退化奇点(0,0)以及首次积分

其相图如图4所示.在V3上,由于系统的流与U3相同,因此只需将时间反向.

综上可见：在无穷远的Poincaré紧致球面,三波作用模型(1)在x轴的端点存在鞍点,在z轴的端点存在不稳定的退化奇点;该模型在无穷远的动力学行为与模型参数的取值无关.