简谐式法拉第电磁感应定律演示仪的设计

马志春，吴淑花

（石家庄学院 机电学院，河北 石家庄 050035）

0 引言

目前，高中和大学物理教学中演示法拉第电磁感应定律常规的教具是将线圈与电流计形成闭合回路，在线圈中插入或拔出条形磁铁，检流计的指针发生偏转且方向不同，通过电流计指针偏转的角度和方向判断感应电动势的大小与方向.此仪器的优点是演示效果明显，但是靠手动磁铁无法探究感应电动势与磁铁运动之间的定量关系，目前开发的演示仪多利用速度档位控制实现某时间段内匀速状态下磁通量变化的定量演示[1，2]，但无法实现速度连续变化的定量演示.为了拓展学生的思维，让他们更深刻地理解法拉第电磁感应定律，在此基础上进行了进一步的改进，研发出了简谐式法拉第电磁感应定律演示仪，该演示仪将线圈固定在主架台活动的支架上，磁铁受主架台两端弹簧的作用在线圈内做简谐振动，示波器显示出感应电动势波形.该仪器不但结构简洁明了，重要的是能够定量演示变速运动引起磁通量变化而产生的感应电动势规律，同时能够证明法拉第电磁感应定律的数学表达式，磁铁振动1个周期产生2个周期的感应电动势波形，磁铁的平衡位置与线圈中心的相对位置不同，两个周期的感应电动势的波幅也不同，在法拉第电磁感应定律的基础上对其进行分析.

1 演示实验装置

简谐式法拉第电磁感应定律演示仪如图1所示，演示仪包括主架台、两个弹簧（倔强系数K=13.6 N/m）和圆柱形磁铁（长2l=29.2 mm，直径2a=14.8 mm或2a=19.8 mm）构成的简谐振动系统、匝数为600或300的线圈（长L=49.8 mm，直径2b=35.1 mm）和示波器，另外备上若干导线.

图1 演示仪实物图

线圈固定在主架台活动的支架上，磁铁受两端弹簧的作用做简谐振动，磁铁运动到线圈的不同位置时，示波器显示的感应电动势的波形曲线反映其大小和方向.磁铁一个周期的简谐振动，示波器中能显示出两个周期的感应电动势，即磁铁振动的周期与感应电动势的周期是2:1的关系，当磁铁平衡位置与线圈中心不重合时，两个周期的感应电动势的波幅将会不同.

2 模型的建立及其原理分析

建立圆柱形磁铁的等效磁荷模型，空间磁场是由磁荷产生的.磁铁体内、外都存在磁荷，磁铁沿磁化方向均匀充磁，磁化强度为M（M为常矢量），磁铁内分布着体密度的磁荷ρ（ρ=-▽·M），两个端面分布着密度为ρm（ρm=M）的表面磁荷.标量磁位φm与面磁荷密度存在如下关系[3-5]：

由Hm=-▽φm的关系，忽略空间其他介质被磁化而产生的退磁场，进一步推导出空间磁场的基本物理量磁感应强度B：

式中R为源点到场点的矢量，R为源点到场点的距离，磁铁均匀磁化，线圈由无数个平面组成.取线圈中心为坐标原点，磁铁N极为z轴，建立直角坐标系o-nz，如图2所示.

2.1 磁铁端平面的磁荷在轴线上的磁感应强度

理想状态下，线圈端平面的磁感应强度均匀且等于轴线位置的磁感应强度，磁铁上端平面分成无限薄圆环，如图3所示，薄圆环对轴上任一点P的磁感应强度为

磁铁上端平面的磁荷在线圈上端平面轴线位置的磁感应强度（z1=24.9 mm）为

同理，磁铁下端平面的磁荷在线圈下端平面轴线位置的磁感应强度（z2=24.9mm）为

2.2 磁铁在线圈中产生的感应电动势

图2 磁铁与线圈模型

图3 磁铁轴线上的磁感应强度

磁铁线圈内以z=Acosωt做简谐振动，磁铁被拉至正最大位移处释放，运动到负最大位移的过程中，线圈内磁感应强度矢量和由正最大逐渐减小至0（坐标原点），再逐渐减小至负最大，与磁铁运动的相位相同，设磁感应强度振幅为，磁感应强度在线圈内的变化规律为，某时刻产生的感应电动势是该时刻线圈中产生的感生电动势与动生电动势的代数和[6]：

磁铁运动到某时刻，此时线圈内磁感应强度不变，线圈位行也保持不变，则

理论分析显示，感应电动势与磁铁的振幅A、磁化强度M及线圈匝数N成正比，感应电动势的周期与磁铁振动周期为1∶2的关系，感应电动势的相位与磁铁的磁极以及线圈的缠绕方向有关.

3 演示实验分析

磁铁可以看成质点在线圈内做简谐振动，磁感应强度矢量和的变化引起线圈内磁通量的变化进而产生感应电动势，演示实验中主要考虑线圈切割磁感应线产生动生电动势.

1）当磁铁平衡位置与线圈中心重合时，z0=0.磁铁的磁化强度为M，线圈匝数为600，磁铁被拉至最大位移A处，此时磁铁静止，磁感应强度的矢量和最大，感应电动势为0.释放磁铁，磁铁由静止运动到坐标原点，磁铁速度由0到负值最大，线圈内磁感应强度矢量和由最大逐渐减小至0（坐标原点），产生的感应电动势υ×B由0到负值最大再到0.磁铁振动1/4周期，示波器中显示1/2周期的感应电动势，磁铁振动1个周期，示波器中显示2个周期的感应电动势的正弦波如图4（a）所示；减小磁铁的振幅，感应电动势波幅也相应减小，说明感应电动势与磁铁的振幅成正比，如图4（b）所示；减少线圈匝数，感应电动势波幅也相应减小，说明感应电动势与线圈匝数成正比，如图4（c）所示；增强磁铁磁化强度M，感应电动势波幅也相应增大，说明感应电动势与磁化强度成正比，如图4（d）所示，这与理论推导公式（7）相符合.确定了参数，根据公式（7）就能确定某时刻感应电动势的值.

2）当磁铁平衡位置偏离线圈中心时，磁铁平衡位置与坐标原点距离z0＞0.磁铁被拉至最大位移处释放，磁铁运动1个周期，示波器中显示2个周期的感应电动势.由于z0＞0，磁铁的最大速率与线圈内最大磁感应强度矢量和在正半轴，磁铁运动在正半轴产生的感应电动势的幅值大于负半轴幅值，因此2个周期的感应电动势中有1个周期的幅值较小.z0越大，负半轴的磁铁运动周期越短，速率越小，产生的感应电动势周期也越短，幅值也越小，当z0≥A，负半轴磁铁周期为0，速率为0，感应电动势也为0，图5为z0逐渐增大时负半轴产生的感应电动势逐渐减小至0的过程.

可见，实验结果与理论探究相互印证，利用该仪器进行的演示过程为法拉第电磁感应定律的定量研究提供了可行性方案.

图4 z0=0时感应电动势波形

图5 z0逐渐增大感应电动势波形变化过程

4 结论

该演示仪结构、材料简单，不但能定性演示，而且可以定量研究变速运动法拉第电磁感应定律，观察正弦波能判断感应电动势的大小和方向.该实验操作简单，可视性强，实验效果明显，值得推广使用.