分类讨论在数学教学中的应用探析

吴月红

摘 要：分类讨论是一种重要的数学思想和思考方法，其实质是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决整个问题的思维策略。它有利于提高学生学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性和严密性。文章通过实例阐述初中数学中分类讨论的应用，分四种情况具体分析分类的原则和方法。

关键词：分类讨论;数学教学;图形;参数;动点

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2019）28-0083-02

数学教学不仅要向学生传授数学知识和技能，还要培养学生的数学思维能力，让学生在作业训练中学会数学思维的灵活运用，在问题解答中进行思维的探索。分类讨论是一种很好的数学思想和方法。其不仅考查学生的基础知识和方法技能，还考查学生思维的深刻性和广阔性，学生分类讨论能力的高低在某种程度上影响其数学学习的效率和质量。本文分别从四种常见的情况出发，对数学教学中分类讨论的实际应用作以探讨。

一、 受数学概念、性质、公式的条件限制时

分类讨论的实质是将整体问题化为部分问题来解决，用增加题设条件来完成解题过程。教学中的分类过程就是在解决一个问题时，因无法用统一的方法去解决而利用一个标准将复杂的问题简单化，把大问题划分成几个不同形式的小问题，以不同的解答方法逐一讨论完成，然后综合起来，使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

数学中有些概念是分类定义的，比如实数的绝对值，“数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值”“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”，所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。此外，一些定理、公式等也是有一定的限制条件或有特定的适用范围的。

比如下面这个问题：

例1：化简a-2-3-a

本题中没有给出取值范围，所以教师要进行分类讨论，建议学生在做题的时候画出数轴，在数轴上找到2和3，然后再讨论：（1） 当a<2时，（2-a）-（3-a）=-1;（2） 当2≤a<3时，（2-a）-（3-a）=2a-5;（3）当a>3时，（2-a）-（3-a）=1。

运用分类讨论思想研究问题，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素;其次要确定分类的标准，每次分类必须按同一标准进行，不能重复也不能遗漏，以避免出现漏解或错解的情况;再次是要对每个小问题逐一认真解答，分析归纳出整个问题的正确结论。

二、 因几何解题图形不确定时

几何是大多数学生学习的难点，而图形是几何学习和研究的核心内容，几何题的解答离不开图形的分析。有的学生在没有给出现成的图形时，往往画图不周全，思考不到位。因此，教师在指导学生解答几何题目时，要有意识地渗透分类讨论的思想，培养学生正确合理地利用图形解题的意识，不能凭一种情况就断章取义。

例2：CD为等腰△ABC的腰AB上的高，CD=2，tan∠ACD=9/4，则△ABC的长为_____。

这道题目中只有文字描述，没有给学生画出图形，那就要求学生在做题时自己画图，因此很多学生就会出现遗漏，画的图是锐角等腰三角形，所以答案是4-2。事实上，由于没有图，只说是等腰三角形，那么就要讨论它是什么等腰三角形，按顶角的度数分类有锐角等腰三角形、等腰直角三角形、钝角等腰三角形。因为题目中说 tan∠ACD=，所以肯定不是等腰直角三角形。最后就分两种情况来讨论（如下图），所以，例2的正确答案是4±2。

在解答这类没有给出图形要自己画图的题目时，教师要引导学生运用分类讨论思想对已知条件进行分析，抓住要点，抽丝剥茧，把复杂的问题简单化，把未知的内容已知化，并学会举一反三，做到触类旁通，从而培养学生全面地观察事物的习惯，训练学生的逻辑推理能力，优化学生的数学思维品质。

三、当题目中含有参数时

近年来，含参数问题是各地中考数学试题中的热点之一，它不仅考查学生掌握基础知识和基本技能的牢固程度，还考查学生是否具有较强的分析能力和判断能力。当题意中含参数时，就应该用分类讨论的思想来解决问题。因为参数而进行的讨论，一般有这样两种情况：一是给定命题结论，由此去探求参数的取值范围;二是由参数的取值范圍去探讨命题在参数的制约下可能出现的各种结果，从而归纳出原命题的正确结论。

例3：若关于x的方程kx2-3x-=0有实数根，则实数k的取值范围是_____________。

学生在做这道题目时最容易获取的信息是“有实数根”，这一信息让学生马上联想到一元二次方程根的判别式Δ≥0即b2-4ac≥0，求出k≥-1，又由于学生的习惯思维觉得这是一元二次方程，二次项系数不能为0即k≠0，所以学生很容易出现错误答案：k≥-1且k≠0。事实上，做这道题目时应该先看到“方程”两个字，既然是方程，就要分为一元一次方程和一元二次方程进行分类讨论。当该方程是一元一次方程时，k=0，求得方程的根为x=-，所以此时方程有实数根，即k可以为0;当该方程为一元二次方程时，此时：k≥-1且k≠0。综上所述，k的取值范围为：k≥-1。

从例3不难看出，分类讨论对于解答初中数学习题起着重要的作用，它可以促进学生全面而周密地分析和思考问题，有效地克服思维的片面性，从而提高学生的数学解题能力。

四、遇到动点问题时

作为一种重要的数学思想和基本的解题策略，分类讨论揭示了数学事物之间的内在规律，体现了“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，有助于学生的逻辑思维训练和数学学习效率及质量的提高，对学生的思维模式必将产生深远的影响。

动点问题是中考中的高频考点，常出现于中考数学的倒数第二题甚至是压轴题。这类试题知识点多、题型复杂、难度较大。其解答不仅要用到分类讨论思想，还要用到数形结合、函数方程等数学方法。一般情况下，动点问题分类讨论的可能性极大，只有正确分类，才有可能正确解决问题。

例4：如下图：矩形ABCD，AD=8，AE=2，若AE=2EB，点O是直线MN上一动点，以O为圆心画圆，使得⊙O与直线PQ相切，且与矩形ABCD某一边相切。请问⊙O符合要求的有几个？并以其中一个圆为例求出其半径。

该题是一道综合性大题目，动点O在直线MN上，并以它为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。由于矩形有四条边，所以就要讨论⊙O到底与矩形的哪一条边相切。因为⊙O在直线BC上，所以⊙O不会与BC边相切。因为⊙O与直线PQ相切了，所以⊙O不会与边AD相切。从而就可以知道，⊙O与边AB或者是边CD相切。这时候问题又来了，⊙O在边AB（CD）的左侧还是右侧呢？所以最终这道题目要分成四种情况来进行讨论。第一种⊙O与边AB相切的情况分为：（1）⊙O在AB的左侧与AB相切;（2）⊙O在直线AB的右侧与AB相切。第二种⊙O与边CD相切的情况分为：（3）⊙O在CD的左侧与CD相切;（4）⊙O在CD的右侧与CD相切。

值得注意的是，分类讨论要有一定的原则，即分类中的每一部分是相互独立的，一次分类按一个标准，要逐级有序地进行。上面这道题目就很好地体现了分类讨论里的逐级讨论原则，化繁为简，清楚地揭示了事物的属性。

总之，分类讨论是在问题出现不确定性时的有效方法和思路。数学教师要对症下药，因势利导，在日常教学中有意识地按照循序渐进原则，灵活有效地对学生进行分类讨论思维训练，提高学生学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性和缜密性，提升学生解题的正确率，最终有效提高课堂教学质量。

参考文献：

[1]丛小明.全面剖析初中数学分类讨论思想教学[J].数学教学通讯，2017（35）.

[2]张福生.初中数学分类讨论思想的教学建议[J].中学数学教学参考，2016（33）.

[3]杨文春.在初中数学教学中如何渗透分类讨论思想[J].数学学习与研究，2016（14）.

[4]袁绍建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数学学习与研究，2015（24）.