跨越直观抽象过程直达素养

曹秋桦

[摘 要]培养学生的抽象能力，需要教师通过直观的方式将抽象的数学知识更加形象地呈现出来，让学生经历观察、比较、综合、抽象、概括的思维过程，从而达到理解和内化。教师还需跨越直观，打通直观与抽象之间的通道，让学生沿着这条路径直达思维内核，建立起清晰的模型、知识体系，培养初步逻辑思维能力和数学核心素养。

[关键词]小学数学;核心素养;跨越直观;抽象思维

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）29-0074-02

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，提炼出数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学符号或数学术语予以表征。数学抽象使得数学成为高度概括、准确表达、有序多级的系统。

在做题时，学生对一些易错习题的理解不够透彻，对概念、图形等的抽象能力比较弱，于是我针对这些易错题做了分类。

这些问题反映出学生对知识的体验不深刻，对概念的形成过程不够熟悉，抽象概括能力比较弱;学生头脑中没有形成清晰的知识体系，不能进行有效的知识迁移。因此，培养学生的抽象能力是数学教学中不可忽视的一个问题，也是值得广大教师在实践中深入研究和探索的内容。

一、图释表达，让抽象的思维直观可视化

数学教学的主要目的在于培养学生的数学思维品质，而抽象的数学思维学生通常难以把握，需要教师通过直观的方式，将抽象的数学知识更加形象地呈现，便于学生理解和内化。

【例1】商中间、末尾有0的除法

师：306÷3的商大约是多少？你是怎样估算的？

师：结果到底是多少呢？请你们先尝试算一算。

师：你是怎么算的？为什么可以这样算？

（1）交流竖式

师：你们怎么计算306÷3？说一说计算过程。

生1：先用3个百除以3得1个百，接着用十位上的0除以3得到1个零，再用个位上的6个一除以3得2个一，最后将1个百加上2个一就等于102。

师：你们在解题的过程中遇到了什么新问题？

生2：被除数中间有0。

师：你们是怎么解决的？商的十位上为什么商0？

生3：因为被除数十位上是0，0÷3=0。

师：是呀，被除数的百位上正好被除尽，其十位上的0除以3得0，0商在十位上，个位落下来继续除。

（2）简化算式

師：有的同学这样写（如右图），这种写法合理吗？你们还有更简便的写法吗？

（3）借图释理

师：我们借助方格图来看一看306÷3的计算过程。

师：请用笔圈一圈、分一分，表示计算过程。

生4：只需要两步，先分百位上的3，3个百除以3等于1个百;再分个位上的6，6个一除以3等于2个一。因为十位上是0，0除以3等于0，所以十位上的分的过程可以省略。

师：十位上的这个0能不写吗？为什么？

生5：不能。不写的话就变成两位数了，跟我们一开始估算的结果——100多（三位数）不符。

师：如果被除数的中间、末尾出现0除以一个数，那么在商的相应位置上要用0占位。（板书：商0占位）

在“数的运算”的教学中，借助小方块等直观操作可以帮助学生形成表象，再通过交流进行适度抽象，同时及时地追问和引导，就能帮助学生沟通具体感知和抽象概括之间的联系，逐步将思维引向深入，实现对算理的意义建构。

二、适度跨越，让抽象的思维路径有迹寻

抽象是数学活动中的基本思维方法，也是数学的本质特征之一。数学抽象的对象可以是某种现实原型，但更多的是人们熟知的一些数学概念和结构，它是逐层递进的。教学需要直观，但也需跨越直观，打通直观与抽象之间的通道，让学生沿着这样的路径直达思维内核。

【例2】三角形的认识：认识三角形特征，建构三角形概念

（1）画一画，经历概念的形成过程

师：看了这么多，说了这么多，留在你心目中的三角形是怎样的呢？请画下来。

（学生典型作品展示，图略）

（2）说一说，语言呈现操作体验

师：你们是怎样画出这个三角形的？

生1：先画一条线段，然后在其中一个端点处接着画第二条线段，最后连起来。

师：谁也是按这个方法画的？我们俩能不能合作在黑板上再画一个？你来说，我来画。

生2：点出3个点，根据已有经验，先在两点之间画出一条线段，接着换一个点，画出第二条线段，连接剩下两点，画出第三条线段。

师：三角形由3条线段围成，3条线段应该需要6个点，为什么你只点了3个点就画成了？

生2：因为围成三角形的3条线段一条接着一条，每两条线段共用一个端点。也可以说这3条线段“首尾相接”。

（3）想一想，操作中体会3点不共线

师：那么是不是任意画3个点都能围成三角形呢？同桌讨论，再拿出方格纸试一试。

师：想象一下，3个点怎样放不能围成三角形？

师（总结）：围成三角形的3个点不能在同一条直线上。

师（发散）：有了这个发现，现在可以放心大胆地找第三个点了。你想把它摆在哪里？想象这个三角形的样子。大胆一些，第三个点还能摆在哪里？

（4）议一议，归纳概括三角形特征

师：回顾刚才的学习，我们交流了不同的画三角形的过程，也欣赏和想象了大小不一、形状各异的三角形，那么这些三角形都有什么相同之处呢？

生3：都是由3条线段围成的。

生4：都有3个点（顶点）、3个角和3条边。

师：以上两位同学总结的就是三角形的特征。

三角形是最常见的一种图形，也是最基本的多边形之一。学生已经积累了一些“空间与图形”方面的知识和经验，同时也具备一定的空间感与抽象思维能力，他们对周围事物的感知和理解能力，以及探索图形之间关系的愿望还在不断提高。

有关三角形定义的教学，教师是通过让学生在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性，抽象出概念。首先，学生通过从点到线、从线到面的操作与观察中找出三角形的共同点，然后从画一画中发现和明确三角形的特征，最后通过一个疑问“3条线段应该需要6个点，为什么你只点了3个点就画成了？”，让学生尝试概括三角形的含义，着重理解“首尾相接”和“围成”两个关键词，建立正确的三角形概念。教师借助直观经验，把抽象的概念和具体的图形联系起来，引导学生发现三角形的特征，概括出三角形的定义。学生通过概念的内化与外显过程，逐步抽象出三角形的模型与其高的本质意义，发展了空间观念。

三、建立模型，让抽象的思维体系有架构

课程标准指出：“数学教学要让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”抽象有两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达。数学是抽象出来的符号体系，建立符号意识可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和逻辑。数学抽象的主要表征形态是数学符号，数学符号是数学抽象思维的外壳。符号意识是数学抽象的衍生素养，数学抽象最终指向的是数学模型的建立和数学思想方法的形成，以及建立数学结构与体系的过程。

【例3】乘法分配律

（1）结合情境引发问题

师：同学们表演节目，男、女生分别按队形站，男生队形每行13人，有8行;女生队形每行11人，有8行。你能提出哪些数学问题？

生1：男、女生一共有多少人？

师：你会列式吗？

生1：13×8+11×8。①

师：还有别的算法吗？

生2：（11+13）×8。②

师：为什么这样算？为什么可以把它们合起来？

生3：因为男、女生都是8行。

（2）数形结合理解算理

师：你能用直观的图例表示①和②两个算式相等吗？

（3）多样验证解釋

（学生计算验证，得出乘法意义理解：13个8和11个8相加就是24个8相加）

师：如果女生队形每行增加2人，男生队形每行增加3人，两种算法的结果还相等吗？为什么？

生4：相等。13×8+16×8=（13+16）×8。③

师：再变一下，如果一个长方形长是a米，宽是8米，另一个长方形长是b米，宽是8米，两个长方形的面积之和是多少？

生5：a×8+b×8=（a+b）×8。④

师：观察这4个算式，你有什么发现？

（学生通过举例，归纳得出结论：a×c+b×c=（a+b）×c）

数学课程的一个重要任务就是让学生建立符号意识，懂得符号的意义，感受和掌握使用符号的能力，会运用符号解决实际问题，发展抽象思维能力。让学生经历“具体事物→个性化的符号表示→数学地表示”的符号化过程，才能有效提升数学素养。

培养学生的抽象能力，对他们学好数学、应用数学，培养初步逻辑思维能力和数学核心素养具有重要意义。史宁中教授说：“数学的表达是符号的，但教学应当是物理的;数学的证明是形式的，但教学应当是直观的;数学的体系是公理的，但教学应当是归纳的。”对于教师来说，不能为抽象而抽象，应结合具体的教学内容为学生选择恰当的、物理的、实际的情景，通过设计直观的操作活动帮助学生进行抽象归纳。数学抽象在教学中得以落实不是朝夕之功，需长期的研究和探索。

（责编 李琪琦）