基于估值修正的分布式传感器网络最小均方算法*

胡品端，熊庆国

（1.三峡大学电气与新能源学院，湖北 宜昌 443002；2.武汉科技大学信息科学与工程学院，武汉 430081）

0 引言

由多传感器节点（简称节点）组成的分布式无线传感器网络，能够利用节点间的协作及信息互补实现鲁棒监测，节点信息共享增强了其相关参数估计的准确性和抗干扰能力，在精准侦察、环境监测等实际工程中得到了广泛应用［1］。

节点间信息共享时的参数估计性能，影响着其传感器网络能否快速准确地进行信息共享和系统鲁棒性［2］。在传感器网络中，每个节点传感器都具有一定的信息处理能力，但由于单个节点的能量、感知范围、处理能力和抗干扰能力是有限的，借助多节点传感器协作可有效提高对监测区信息估计的准确性和鲁棒性。分布式传感器自适应滤波网络能够自适应地迭代逼近未知向量，实现对信号的准确估计，有效继承了自适应滤波与分布式器网络的优异性能，将节点间的信息联合互补计算与网络的自适应收敛能力有机结合，成为分布式估计的研究热点［3］。Takizawa［4］等人提出基于增量协作方式的增量最小二乘分布式自适应滤波，但其对节点的环形循环结构要求限制了其在大规模节点及复杂拓扑结构中的应用，于是又将扩散算法的策略与最小均方（Least Mean Square，LMS）算法结合，提出了扩散最小均方（Diffusion LMS，DLMS）算法，其简单的分布结构要求和稳健性的算法性能受到广泛关注，但其受到脉冲噪声干扰时估计性能大大降低。Cattivelli［5］等人采用DLMS 算法实现分布式传感器网络的未知参数估计；BOUBOULIS［6］等人使用随机傅里叶特征将扩散模型近似为固定大小的矢量，提出了一种基于网络内核学习的扩散方案，并分析了渐近收敛条件和边界值；张红梅［7］等人基于改进的Sigmoid 函数构建DLMS 变步长调整策略，以缓解收敛速度与估计误差间的冲突；Ni［8］等人基于误差函数的符号函数化改进DLMS 算法，抗脉冲噪声干扰性能优越［9］；张勇刚［10］等以最小化网络均方误差为准则，提出一种变阶数自适应网络滤波算法，以解决阶数未知或时变时的参数向量估计，具有计算量小、可操作性强及估计精度高等特点。

在已有算法基础上，为构建快速收敛和低稳态误差，同时处理脉冲干扰的自适应滤波系统，设计了一种基于未知参数估计值p 阶范数修正的最小均方自适应网络滤波算法，在自适应变步长策略中引入参数估值的p 阶范数，使得算法在收敛速度和稳态误差方面平衡的同时具有较好的抗噪声干扰能力，仿真实验结果验证了所提算法的性能和鲁棒性。

1 扩散最小均方算法

图1 K 节点分布式传感器网络

对于网络中第k=1，2，…，K 个节点，其输出信号测量值可表示为：

2 参数估值范数约束的LMS 滤波

在上一节算法基础上，采用式（5）所示的局部目标函数［6］进行分布式自适应滤波

式中，通过估计误差的p 阶范数约束来提高算法对脉冲噪声信号的抗干扰能力［6］，根据式（4），得到参数向量的迭代公式为：

式（6）换代增强了算法对脉冲噪声信号的抗干扰能力，但仍需要解决收敛速度和稳态误差之间的矛盾。文献［7］指出，自适应滤波中步长调整即在算法初始误差较大时，采用较大步进以加快迭代的收敛；而在算法后期估值逐渐趋于真值时，采用较小的步长以获得尽可能小且稳定的迭代误差。为此，通过研究Sigmoid 函数的曲线变化特性［8］，对函数进行平移和翻转后，建立文中所提算法的变步长调整策略函数

从图2 所示曲线可以看出，随着误差项ek（i）的范数阶数p 的增大，滤波误差值在趋向于0 的过程，即滤波算法逐渐稳定的过程变得更加平缓，从而确保算法后期迭代步长的选择更加合理。但范数阶数p 值的过大赋值，算法中期u（i）值的变化生成的误差项ek（i）的变化值会过小，易导致算法为确保合理的误差项变化值而过于增大u（i）的变化步长，不利于算法对变步长值的合理设置，反而增加算法迭代过程的振荡甚至无法收敛，而这一问题可以通过因子α 来弥补。从图2 中|ek（i）|3曲线和0.5×|ek（i）|3曲线的变化特征可以看出，α 值的合理选择增加了曲线杯口的宽度，使得u（i）曲线在保留p 值带来的趋0 过程优势的同时，增加算法中期步长变化与误差变化的平衡。u（i）的步长变化可以生成合理的ek（i）值变化，从而有利于算法中期步长值的合理设置，加速算法的稳定收敛。综上所述，通过合理设置估计值误差ek（i）的范数阶数p 和控制因子α，可以获得平滑性较好的变步长u（i）随估计值误差ek（i）的变化曲线，满足快速收敛和低稳态误差的需要，而β 又可以确保变步长u（i）的初始极大值的合理设置。范数阶数p 又增加了算法对脉冲噪声等干扰的抗干扰性能［6］。

图2 控制因子对步长影响

根据式（6）和式（7），基于估值约束和p 阶范数约束的自适应最小均方滤波算法参数迭代公式可表示为：

式中，相关参数与经典扩散LMS 算法一致，φk（i-1）为参数迭代计算的中间变量。

3 实验分析

表1 文中算法的迭代计算流程

3.1 实验设置

如图3 所示为实验使用的网络连接图，根据节点间的连接距离L≤0.3 判断两节点的通信互联关系，并互为邻居节点，pr=0.1，初始步长μ0=0.01。

图3 20 节点组成的分布式传感器网络

3.2 实验结果分析

3.2.1 算法参数对算法性能影响

在改进算法中涉及α、β 和p 值3 个参数，α 和β 值控制变步长因子的波形，从而影响算法的收敛速度和稳态误差；p 值影响算法的抗干扰能力和误差趋0 过程的稳定性，需研究其值的设置对算法性能的影响规律。由于β 值控制步长因子的最大取值，其与p 和α 的取值之间影响不大，实验中取β=0.02。而α 和p 之间，当调整p 值以适应不同的脉冲干扰噪声时，其值同时影响到变步长因子u（i）曲线波形趋0 区域波形以及最大值到趋0 区域的波形陡峭程度（陡峭程度影响变化速率），而α 值可以改善波形的陡峭程序，为此实验分析了α 和p 对算法的性能影响。采用图3 所示传感器网络拓扑图，当两节点连接且距离时，认为两节点存在通信互连，形成邻域节点，每个节点叠加的脉冲噪声，采样点数为1 000，未知参数W 初始值从标准均匀分布U（0，1）中随机抽取，实验结果为20 次蒙特卡洛运算的平均值，如图5 所示为算法在不同阶数下进行参数估计的MSD 曲线。

图4 实验中各节点输入信号的方差

图5 不同阶数下参数估计的MSD 曲线

由于随着阶数p 值的增大，变步长会变得陡峭，需要α 控制因子随之增大而逐渐减少，以缓解曲线的陡峭，因此，图5 中α 取值随p 值的增大而取较少值。从图5 结果可以看出，当阶数过高p=2或接近于2 时，即使α 取较少值缓解步长因子曲线的陡峭程度，算法仍无法达到稳定的收敛。而随着阶数p 的减少，算法可以收敛并获得较好的稳态误差，但并不是p 值越少越好。p 值较少算法收敛速较快，但变步长因子u（i）曲线波形在趋向于0 的区域不够平缓，反而造成稳态误差较大，如图5 中绿色实线所示，而当p=1.4，α=0.6 算法在损失较小的收敛速度情况下，取得最小的稳态误差，同时算法对脉冲干扰噪声具有较强的抗干扰能力。

3.2.2 算法性能比较实验

如图4 所示为性能比较实验中分布式传感器网络各个节点的输入信号方差和输入噪声方差，符号DLMS 算法参数δ=0.2，文中算法参数α=0.6，p=1.4，图6 所示为4 种算法进行参数估计实验得到的MSD 曲线。

图6 实验中各算法的估计性能MSD 曲线

从图6 可以看出，DLMS/F 算法相比于其他3种算法具有明显的收敛速度优势，但其收敛稳态误差也远高于另3 种算法。在算法性能方面，所提算法与符号DLMS 的稳态误差和收敛速度性能相近，但所提算法收敛速度略有优势，且稳态误差更小。而与传统DLMS 算法的参数估计性能相比，在保持相近的最终稳态误差基础上，所提算法具有更快的收敛速率，在达到相近稳态误差时，具有明显的时间优势，说明所提算法取得较好的参数估计性能。

总体分析实验结果，所提算法取得较好的参数估计效果，主要因为合理的变步长控制因子设置保证了初期较大的步长加快收敛，后期较小步长缓解迭代振荡，以得到较小的稳态误差，同时算法较小的稳态误差也进一步验证了算法较强的抗噪能力。

实验又设计了3 组不同拓扑结构和节点数的分布式传感器网络，并分别进行性能比较实验，4 种算法的20 次重复实验参数估计误差的统计均值如表2 所示，比较表中各算法误差值可以看出，文中算法的稳态误差更小，且大幅提高了算法的收敛速度，对脉冲噪声有较好的鲁棒性。

表2 3 组实验中各算法的误差平均值

4 结论

在进行分布式无线传感器网络的未知参数估计时，为了使自适应波滤算法具备快速收敛和低稳态误差，同时可处理脉冲噪声的干扰，文中设计了一种基于估计约束的分布式网络最小均方算法。在算法中通过使用参数估值的p 阶范数增强算法的抗脉冲噪声干扰能力，通过变步长控制函数，使得算法迭代时的步长因子能够在算法初期以较大变步长加快收敛速度，而在算法后期以缓慢的变步长变化获得较低的稳态误差，多组实验结果表明，相比已有算法，所提算法的参数估计性能更优。

但是针对脉冲噪声干扰，需要在大量实测噪声实验基础上，进一步合理设置算法中α、β 和p 值参数值，以增加算法的鲁棒性和自适应能力。