多面体外接球的教学欣赏

吴景珠

【摘要】从一道关于正方体外接球的表面积计算题的解法谈起，用拓展思维方法欣赏多面体外接球的表面积计算，让学生和教师在学习、教学、解题中体验多面体外接球的趣味.

【关键词】多面体;外接球;表面积;教学欣赏

一、预备知识

（一）球与多面体内切外接的定义

定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.

定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

（二）球体表面积和体积的计算公式

表面积公式：S球=4πR2，体积公式：V球=43πR3，其中R為球的半径.

二、问题呈现与变形

高中数学公开课中知识的形成过程（思维发展过程），先（背景）知识后题目练习，公开课大致分为两个环节：一是学生课前预习，（主要包括知识梳理，即学生课前预习填完，上课不做讲解）、自我诊断（4-5道简单的选填题复习知识点）、常用结论（可空白，学生自己总结填上）;二是课堂探究.学生课前预习、高中数学公开课都是学生提前一天做完预习案后进行讲解的，所以对自我诊断部分（课前）直接由学生将答案板书到黑板上即可，此部分比较简单，目的在于复习本课时知识点、常见结论、公式等，通过学生提出问题（不会的题目），重点讲解有疑问的题目，引出常用结论（或知识点），其好处在于省时省力，直接介入主题，为后面做铺垫.

问题 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π.

分析 一个正方体的顶点都在同一个球面上，也就是说这个球面就是此正方体的外接球，外接球的中心就是正方体的中心，于是可以求得外接球的半径.

解 外接球的半径R2=3L24=3×324=274，故外接球的表面积S球=4πR2=27π.

从本题可以看出，正方体的外界球的球心和正方体的中心是重合的，这是对一个“匀称”的多面体而言，也就是说，一个“匀称”多面体的外接球的球心和这个多面体的中心是相同的，那么要求外接球的半径，实际上就是求这个多面体的中心到顶点的距离，这就是我们说的找球心法.

三、问题变式

在求多面体外接球的表面积，除了用找球心法，还可以用补形法，把多面体或球面补充完整，从而直接得到外接球的几何意义，求出外接球的半径.

（一）将正方体变成长方体的外接球的表面积

变式1 （找球心法）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则此球的表面积为14π.

（二）将正方体沿面对角线切去一个角所得三棱锥的外接球的表面积

变式2 （补形法）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9π.

（三）将正方体沿体对角线切割所得三棱柱的外接球的表面积

变式3 （补形法）直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，AC=AA1=4，AB⊥BC，则球O的表面积为32π.

（四）将变式3中直三棱柱的底面三角形变成等边三角形的外接球的表面积

变式4 （找球心法）变式3中的条件变为“AB=AC=BC=AA1=4”，其余条件不变，则球O的表面积为1123π.

（五）将变式3中直三棱柱的底面三角形变成一般三角形的外接球的表面积

变式5 （找球心法）变式3中的条件变为“该棱柱的体积为3，AB=2，AC=1，∠BAC=120°”，其余条件不变，则球O的表面积为8π.

（六）将变式2中三棱锥变为正四面体的外接球的表面积

变式6 （补形法）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为3π.

从以上六个变式，我们总结得出以下两个命题：

命题1 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截线面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

命题2 若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解.

此外，对后面的探究问题由一点（或一题）散发出多个变式，不需要每个都合作探究，只需讨论某一个点（如变式3，如何找外接球球心）或题，对有多种方法的例题（如变式3）可重点讲解，教师只需板书关键点或整题或完整步骤用PPT展示，做PPT时对关键式子可框起来，既醒目又美观.如果是遇到两问或多问的，每问可设计方框，将答案写在里面，既规范学生书写又漂亮整齐.对典例注重学生的思维发展过程，可通过变式逐渐引导.例题及变式由简到繁，由易到难，最好将高考题转化成多个变式的组合，这是一个倒推的过程，即研究近几年高考题，将其转化为几个简单小题的组合，做题时倒过来，循序渐进，逐渐变化，由易到难.所以变式讲完，组合得到高考题，高考题相当于讲完，不用再详细讲解，一点即过，甚至引出即可.通过一堂课打通普通例题与高考题的联系，实现简单题（简单典型题）到高考题的蜕变.

四、结束语

原题变式这种模式，虽然感觉太固化了，不太注重引导学生思维，也不再开课就复习知识点，但是这种由小题诊断引出，更自然，有侧重，如讲正余弦定理，不像传统一样先复习正余弦定理公式，而是由自我诊断小题由学生提疑问，进而讲解引出知识点或结论或公式.在结尾小结时可制作一个表格，将其在高考中的地位展现出来，如考纲是什么？考查方向？高考示例？应对策略等.同时，要注意前后呼应，将教学和日常生活中的热点问题结合在一起，培养学生的家国情怀，注意在教学中渗透育人的思想，提升本堂课的政治站位.

【参考文献】

[1]方志平.例谈数学竞赛中球的“切”与“接”问题[J].中学数学教学参考，2018（28）：63-65.