数学文化视角下高考数学问题研究

☉江苏省南通市小海中学 孙德泉

2017 年高考数学大纲明确提出了数学文化这一考点，全国多个地区高考数学题目涉及了数学文化问题，并且这类问题，在高考数学中涉及的题型较多，所占的分值也较高.在高考数学中涉及数学文化类的问题主要包含数学与生活、数学与人文、数学与科技、数学与数学史等，能够符合不同学生的兴趣，极大地提高了学生对数学的学习兴趣.将数学文化融入高考数学当中，其中涉及的一些数学知识是对我国传统文化的一种传承，让学生了解我国古人的智慧.将数学文化融入高考数学当中，既是教育改革的需要，也是发展与传承数学文化的重要途径.

一、数学文化视角下高考数学题目知识特点

总体上来说，高考数学问题中涉及的数学文化知识主要包含数学与生活、数学与人文、数学与科技、数学与数学史等，通过对近些年高考数学问题中涉及数学文化的考题的整理发现，该类考题涵盖了高考数学中的选择题、填空题和解答题，其中选择题和填空题所占比例较高.在2015 年高考数学题目中，湖北理科数学试卷就有3 个问题涉及了数学文化，其中选择题一个，解答题两个，都是以直接呈现数学文化的形式出现的，其中选择题第2 题以“米谷粒分”问题为文化背景，结合代数相关知识构成了数学问题.第19 题和21 题，分别以“阳马和鳖臑”和“舒腾的椭圆规”为文化背景，结合立体几何和解析几何的知识构成了数学问题.全国Ⅰ卷的选择题第6 题以“为米几何”为文化背景，结合圆锥体积公式构成了数学考题，第20 题解答题以“阿基米德三角形”为文化背景，结合解析几何构成了数学考题.随着教育改革的实施，以数学文化为背景的高考数学题不断涌现，在2017年的高考数学试题中，全国卷均出现了以数学文化为背景的数学考题.其中“太极图”与概率问题相结合；“印度国王的棋盘捣鼓问题”、“算法统宗”与数列相结合，构成了该年高考数学的部分选择题.同年，江苏省理科数学试题中，更是涉及了4 道以数学文化为背景的考题，其中有3 道均为解答题，它们分别是以“蝴蝶定理与四点共圆”的数学史与解析几何相结合；“P（k）数列”的人文类与数列相结合；“柯西不等式”的数学史与不等式部分知识相结合，组成了17、19、21 三个解答题.

通过对近些年高考数学试题中涉及数学文化的问题研究来看，主要以数学与数学史领域的文化背景为主，占到了接近半数，其次是数学与科技、数学与生活.在知识点的结合处，主要以与数与代数部分知识相融合的部分较多，其次是图形与几何、统计与概率.

二、数学文化视角下高考数学题目知识分类

1.数学与数学史类

数学史是数学文化的重要组成部分，是高考数学题目中涉及数学文化类题型的主要组成形式，其中包含数学家的故事，数学史上的重大事件和历史上的经典数学问题.通过对近些年数学文化类考题的统计分析来看，阿基米德、杨辉、欧拉等是以历史名人所创造的定理为背景而设计的数学题的主要人物，《九章算术》、《算法统宗》是历史著作当中出现次数最多的数学史类问题.

例1（2017 年高考数学理科全国卷Ⅱ第3 题）在我国古代数学著作《算法统宗》当中记载着这样一个问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”该诗句的意思是：在一个七层的灯塔上总共有381盏灯，相邻的两层灯塔中，下一层灯塔灯的数量是上一层灯的两倍，那么该灯塔的最高层有灯（ ）.

A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏

问题分析：该题目是一道简单的等比数列求和问题，题目中以《算法统宗》这一数学著作为文化背景，改变了传统题目中生硬的解题模式，无形之中给学生渗透了数学文化素养.该题目将古代数学名著展现在高考数学题目当中，体现出了数学源于生活，代代相传的理念.

2.数学与人文类

数学给人的印象就是严谨、严肃，并没有什么美感可言，其实，数学也具有它的艺术性，也是浪漫文艺的，它能够通过语言文学、美术、音乐、建筑等方面来展示自身的艺术.在高考数学试卷中，设置数学与艺术相结合的数学问题，能够改变学生对数学的认识，增加数学学习的兴趣，为后期的数学人才培养奠定基础.

例2（2017 年高考数学理科全国卷Ⅰ第3 题）图1中所示为我国古代的太极图，该太极图处在正方形ABCD中，正方形ABCD的内切圆的黑色部分与白色部分以正方形的中心成中心对称图形，现在正方形内随机选一点，该点恰好选中黑色部分的概率是（ ）.

图1

问题分析：该数学题是一道几何概型问题，主要考查图形对称性.太极图在我国传统文化中占有重要的地位，它象征着无限的生生不息的宇宙，蕴含着相生相克的哲学原理，象征着自然界中的四季交替.题目引入太极图形，道出了世间万物运转之道，不仅考查了数学知识，也是对我国传统文化的一种继承和发扬.

3.数学与生活类

数学与生活实践相结合是数学教学的出发点和归宿，数学源于生活又服务于生活，高考数学与生活相结合类题型主要以数学文化在生活中的体现为主，涵盖了个人生活和社会生活两个方面.

例3（2015年高考数学湖北理科第2 题）我国古代数学名著《数学九章》中有着“米谷粒分”的问题：国家粮仓开仓收粮，有一地方送来1534石米，通过仓管的检验，发现米中夹杂着谷子，在随机抽取一把米的时候，发现254粒米中夹着谷28粒，那么这一批米中夹杂谷子约为（ ）.

A.133 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

问题分析：该题的数学文化背景选自《数学九章》，其中的故事涉及了现实生活中的问题，就将它归纳到数学与生活类.该题主要考查的是随机抽样的相关知识，难度较低.学生在解决完问题后，不仅能够获得解题喜悦，还能够了解我国古人如何来检验米谷是否合格，体现了我国古人的智慧.

4.数学与科技类

数学与科技类相融合的问题主要包括数学与生物学、地球与环境、前沿科学等问题相结合，通过数学与科技相结合，能够体现出数学在科技发展中的重要地位，提高学生对数学的重视度，其中“费马点”就是一个很好的例子.

例4（2017 年高考数学北京理科卷中的第8 题）据相关资料记载，围棋的空间复杂程度的上限M为3361，在宇宙中客观存在的普通物质的原子总数N 为1080，那么下列选项中与数值最接近的是（ ）.（参考数据：lg3≈0.48）

A.1033B.1053C.1073D.1093

问题分析：本题将天文方面的知识与数学对数方面的知识相结合，学生在做这道题的时候，在考查自身知识点的同时，还体会到了数学的神奇和伟大，从而激发自身今后学习数学的兴趣.

图2