高中导数问题里主元法的应用探讨

何丽丽 古浪县第一中学 甘肃古浪 733100

在高中数学在近几年的发展中，教材中所涉及到的内容也越来越深奥。其中导数是高中数学中最为重要的知识点，各类问题的解答往往涉及许多定理。此外，导数问题的证明除了将以上内容进行结合，还需要与不等式相联系，因此不少学生对导数的学习存在较大的困难性。其中某些具体导数问题中还会涉及多元变量的问题，因此需要学生在解答此类问题时足够细心和耐心。主元法是解决导数问题最实用的方法，可以简化学生的证明繁琐性，提高学生的做题效率。

主元法的定义

从多个变量中选择其中一个作为变量，该变量就称为自变量，也称为主元，利用主元形成新函数，根据此函数来判断函数的单调性，解决相关问题，此种解题方法被称为主元法。下面我们根据具体事例来分析主元法在导数中的应用情况。

二、实例分析

例1 已知某一函数为f（x）＝lnx－a（x－1） /x＋1。

问题一：如果函数f（x）在 （ 0，＋∞ ）上表示为递增函数，那么a的取值范围是多少。

问题二：如果m＞n＞0，如何证明lnm－lnn＞ 2（m－n）/ m＋n 。

问题一，解：f′ （x） ＝ 1/x － a（x＋1）－a（x－1）/（x＋1）2 ＝ 1/x － 2a/（x＋1）2 ＝（x＋1）2－2ax/x（x＋1）2 。

若φ（x）＝ （x＋1）2 －2ax，那么φ（x）≥0在x∈（0，＋∞）时存在恒成立关系。

2ax≤x2＋2x＋1，2a≤2＋x＋1/x。

因此2a≤ min ＝4，得出a≤2。

问题二，证明：以n 为主元。

假设g（n）＝ －lnn－2（m－n）/ (m＋n )＋lnm， n∈（0，m）。

g（n）＝ －lnn－2＋ 4n/( m＋n)＋lnm，n∈（0，m）。 g′（n）＝ － 1/n ＋ 4（m＋n）－4n·1 /（m＋n）2 ＝ －1/n＋ 4m/（m＋n）2＝ －（m＋n）2＋4mn/n（m＋n）2 ＝ －（m－n）2/ n（m＋n）2 ＜0。

因此可知g（n）在（0，m）上表示为递减函数。

因此g（n）＞g（m）＝0。

所以lnm－lnn＞ 2（m－n）/(m＋n) 。

以上问题时主元法常采用的形式，在解答问题二时，可以将代数式化简，将主元看成m n。这样在将多个变量转为一个变量的过程中，可以简化解题步骤，帮助学生理清解题思路。

例2 如果a，b为实数，λ 符合0＜a＜b，0≤λ≤1。

问题一：求证lna＋1＜alna－blnb/(a－b)＜lnb＋1。

问题二：求证［λa＋（1－λ）b］ln［λa ＋（1－λ）b］≤λalna＋（1－λ）blnb。

证明：问题一，右边证明：即alna－blnb≥ （ab）（lnb＋1）。

主元为a时，设 φ（a）＝ aln a －（lnb＋1）a－blnb＋blnb＋b，a∈（0，b）。

即φ（a）＝alna－（lnb＋1）a＋b，φ′（a）＝lna＋1－1－lnb＝lna－lnb＜0。

因此φ（a）在（0，b）表示为递减函数，当a＝b 时，φ（b）＝blnb－（lnb＋1）b＋b＝0。

所以当a∈（0，b）时，φ（a）＞0。

所以alna－blnb＞（a－b）（lnb＋1）。同理得出左边。

证明：问题二：方法一： 设 H（λ） ＝［λ（a－b）＋b］ln［λ（a－b）＋b］－（alna）λ ＋（blnb）λ－blnb（0≤λ≤1）（0＜a＜b）。

H′（λ）＝（a－b）ln［λ（a－b）＋b］＋［λ（a－b）＋b］ a－b λ（a－b）＋b－alna＋bl nb ＝ （a－b）ln ［λ（a－b）＋b］＋ （a － al na）－（b－blnb）。

H″（λ）＝ （a－b）2 λ（a－b）＋b＞0，所以H′（λ）在（0，1）表示为递增函数。

H′（1）＝ （a－b）lna＋a－alna－b＋ b lnb ＝（a－b）＋b（lnb－lna） ＝b＞0。

H′（0）＝（a－b）lnb＋（a－alna）－（bblnb） ＝alnb－blnb＋a－alna－b＋bl nb ＝a（lnb－lna）＋（a－b） ＝a＜0。

所以有一个λ0∈（0，1）。

当λ∈（0，λ0）时，H′（λ）＜0，H （λ）为增 函数。

当λ∈（λ0，1）时，H′（λ）＞0，H （λ）为增函数。

因为 H（1）＝H（0）＝0，所以 H（λ）≤0。

方法二：设 φ（a）＝［λ a ＋（1－ λ）b］ ln［λ a＋（1－λ）b］－λalna－ （1－λ）blnb，a∈（0，b）。

φ′（a）＝λln ［λa＋（1－λ）b］＋ ［λa＋（1－λ）b］ λ/[λa＋（1－λ）b]－λ（1＋lna）＝λln［λa＋（1－λ）b］－λlna ＝λln [λ＋（1－λ）b] 由 于b/a ＞1，1－ λ≥0，所以b/a（1－λ）＞rλ。

所以 φ′（a）＞λln［λ＋1－λ］＝0，所 以 φ（a）在（0，b）上为增函数。

所 以 φ（a）＜φ（b）＝blnb－λblnb－（1－λ）blnb＝ （1－λ）blnb－ （1－λ）blnb＝0。

所以［λa＋（1－λ）b］ln［λa＋（1－λ）b］＜λalna＋（1－λ）blnb。 只有λ＝0或1时取等。

三、结语

以上案例告诉我们在使用主元法时，需要灵活变通，不要按照固定形式来分析问题。对其不同的变量需要尽可能的采用分析，只有这样才能进一步提高学生的解题技巧，拓宽学生的解题思路。