基于具体函数条件下的函数不等式问题

符玉袖.海南师范大学.570100

引言：在当前的数学考试中，对不等式的考察频率升高，考察的题型已经从传统的主观题向客观题方形扩展，要求学生根据不同的题型，选用不同的解题方法。就学生目前的学习效果上来看，很多学生对这些知识的掌握效果较差，无法满足知识考察要求，导致该部分知识成为学生的主要失分点，所以在今后的教学中，要让学生能够更好掌握这些知识。

1 根据奇偶性和单调性判断解法

高中数学中，函数性质学习中的一个重要内容为判断函数的奇偶性，同时也重视讲解函数的单调性质，当当前的数学考察中，若能够应用函数奇偶性知识解题，通常会在题目中融合单调性知识，既考察了学生的综合知识，也在一定程度上降低了难度【1】。

奇偶性的描述函数为：奇函数为f（-x）=-f（x），偶函数为f（x）=f（-x），同种奇偶性质的函数加减运算中为同一性质。对于函数的单调性，在学生的学习中很容易掌握，这一条件下，通过对这两个知识的融合，可以让学生更好解题。

有如下题目：函数f（x）=x2+|x|中，求函数值不小于2时的x定义域，函数值的大小。这道题的解法简单，通过对函数值的分析，可以分析出该函数值状态下，x的取值为±1。同时确定该函数为偶函数，并在x不小于0状态下，函数为单调增函数，所以函数图像的右半部分中，函数值不小于0状态下，定义域为[1，+∞），从偶函数概念中可以得到，左半部分的定义域为（-∞，-1]。

2 构造函数解法

高中数学的知识类型很多，其中最重要的一部分知识为导数知识，在不等式求解中，一个重要方法为应用这种方法求解。

在构造函数中，首先要观察题目中给出的具体条件，对于有两个函数式的题目来说，通常应用这种构造函数的方式解答，再根据其余限定条件，确定是否需要对函数求导，需要求导的函数通常表现为，让学生确定这两个函数之间具体关系下的定义区间，具体的做法为，让学生将题目中已知的函数相减，即可视作新构造的函数【2】。

例如有以下题目：函数 f（x）=x/（1+x2），g（x）=2x，求当f（x）≥g（x）时，x的取值范围。

在解题过程中，可以发现已知条件中的内容较少，无法之间代入数值，所以考虑的方法为构造函数，新的函数为h（x）=f（x）-g（x）=x/（1+x2）-2x，将新的函数同分后，编程 h（x）=-（x+2x3）/（1+x2），由于在该函数中，发现分母始终大于0，所以计算中，无需经过求导构成，直接从函数符号和分子，即可确定h（x）与0的关系，当h（x）≥0时，则题目得解。

若将分母替换为（1-x2）时，则不可之间观察出h（x）和0的关系，这种情况需要应用求导的方法求解。

3 极值法求解

当不等式求解中，应用导数公式能够很好地求出具体数值，其中应用最为广泛的为极值法。在这种方法的应用中，需要对被求函数求导，分析该函数的极值，但是需要注意的是，一些不等式函数的单调性不同，而极值为一个相对性的概念，不同取值范围内容的函数机制都有一定不同，所以需要严格在取值范围内，求出函数的极值，以确定最终的结果。

例如在以下题目中：f（x）=x2-lnx，判断在[2,3]中，函数是否能够大于7，在解题中，可发现该函数非奇非偶，同时无法确定单调性，所以应用求出极值的方法，确定在该范围中的极值。

将f（x）求导后，则函数变为f’（x）=2x-1/x，将函数处理后，分子为2x2-1，让分子与0相等，则可以求出函数在（0，+∞）上的极值（需要注意lnx的定义域），但是这种求出的结果与题干中的取值范围不符，所以在后续的计算中，需要分析在题干取值范围上的极值，在此基础上找到函数的极值，与7比较，得到最终的计算结果。

4 其余解法

在不等式函数的求解中，还含有其余重要方法，高中阶段常用的方法主要为函数值代入和反证法。前者应用的概念为“寒暑加工厂”概念，即将f（x）视作一个符号，例如函数f（x2）=（1+x2）/x4中，确定函数的是否能够小于2，可以将x2看做一个整体性参数，将其替换为s，在此基础上求解。

对于反证法来说，应用方法为先建设题目中给出的条件能够推导出最终结论，从结论出发，分析函数中的某一参数与题干中信息之间的矛盾，进而得到最终的结论。但是通常情况下，高中阶段对这一方法的考察较少。

另外在解题中，还可以对函数进行重构和建设，这对一些基础知识要求较高，例如题目为，当x2/x3≥sinx/cosx时，应用直接相减的方法过于麻烦，可以应用交叉相乘法，获取函数f（x）=x2cosx-x3sinx，在此基础上应用求导等方法完成具体计算。

结论：综上所述，高中阶段的具体函数条件县的函数不等式就发，可以取得良好应用效果的包括应用函数性质分析结果、构造函数方法、应用极值求解的方法和其余解题方法，其余方法包括代入法、反证法以及函数重构和建设法。