电容器二级结论的妙用

张东坡

[摘   要]当电容器极板上電量不变时，巧妙应用二级结论 ，无论是判断电容器上物理量的动态变化，还是分析带电粒子在电场中的直线、曲线运动，均可快速得到正确结论。

[关键词]电容器;二级结论;直线运动;曲线运动

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0051-02

在电容器充电后与电源断开类电容器动态分析问题中，电容器两极板上的电量Q[U=QC]保持不变。当两极板的距离发生变化时，比如两极板的距离d 减小，若根据[C=εrS4πkd]可知，电容C变大，因，故电容器极板的电压U 减小。根据[E=Ud]， 则E为不确定型。而通过公式变换，可将不确定型变为确定型，即[E=Ud=QCd=4πkQεrS]，由此可知，E不变。[E=4πkQεrS]是判断电场强度变化的一个二级结论，在解答选择题时可以收到立竿见影的效果。

一、判断相关物理量的变化

[例1]如图[1]所示，与静电计连接的平行板电容器，带有等量异种电荷，电容器的下极板与静电计的金属外壳都接地，在[E]平行板间[P]点固定着一点电荷，两板之间电场强度用表示，点电荷在P点的电势能用[Ep]表示，静电计指针的偏角用[θ]表示。假设下极板保持不动，向下移动上极板一小段距离到图1中的虚线位置，则（       ）。

A. [θ]增大，E增大         B. [θ]增大，[Ep]不变

C. [θ]减小，[Ep]增大        D. [θ]减小，E不变

分析：电容器充电后与电源断开，在Q不变的情况下，若保持下极板不动，[d↓]，根据[C=εrS4πkd]可知，C[↑]，因[U=QC]，故[U↓]，[θ↓]，选项A、B错误;根据[E=4πkQεrS]可知，E不变，选项D正确;P点相对下极板距离保持不变，根据[U1=Ed1]可得，P点与下极板的电势差保持不变，P点的电势保持不变，点电荷在P点的电势能保持不变，[Ep]不变，故选项C错误。

点评：两极板距离变化引起电势差的变化，是否引起电场强度E的变化，需要转化思路或者通过推导把不确定型的公式转化为确定型的公式。在电容器极板上电量不变的情况下，利用[E=4πkQεrS]判断两极板间电场强度的变化，可收到事半功倍的效果。

二、在直线运动中的应用

判断粒子在电场中的直线运动情况，关键是判断电场强度的变化，进一步判断电场力的变化情况，然后利用力与运动的关系解决问题。

[例2]如图2所示，平行板电容器保持水平放置，稳压直流电源与闭合开关连接，下板保持固定，当上板置于[AB]位置时，一带电小油滴恰好静止于电容器中点处，现断开其开关，使上板在[AB]与[A′B′]位置之间上下往复移动。下列关于对带电小油滴运动的描述正确的是（         ）。

A.小油滴一直处于静止状态

B.上板在向上运动时，小油滴在做加速运动;上板向下运动时，小油滴在做减速运动

C.若开关没有断开，则小油滴时而向下运动，时而向上运动

D.若开关没有断开，则小油滴一直向下运动，直到打到下极板

分析：根据[E=4πkQεrS]，断开开关，电容器所带电量Q不变，极板正对面积[S]不变，[εr]不变，可得板间电场强度E不变，则小油滴所受的电场力不变，故小油滴一直处于静止状态，选项B错误、A正确。若开关闭合，则根据[E0=Ud0]，在AB位置不动时有[E0q=mg]。上板在AB位置与A′B′位置之间上下往复移动时，两极板间电势差不变，电场强度一定有[E

点评：合理选择公式是解决问题的关键。若两极板电势差不变，则用[E=Ud]判断电场强度的变化比较简单;若电容器极板上电量不变，可利用[E=4πkQεrS]判断电场强度的变化比较简单。

三、在曲线运动中的应用

判断粒子在电场中的曲线运动变化情况，判断电场强度的变化、电场力的变化是前提，运用运动的合成与分解是解决问题的主要手段。

[例3]如图3所示，一带电粒子以一定的初速度从下极板小孔A处射入平行板[P]和[Q]之间的真空区域，经过偏转后，打在如图3所示Q板上的位置。在保持其他条件不变的情况下，下列操作中，可使带电粒子能从Q板上的小孔B射出的是（粒子的重力忽略不计）（        ）。

A.开关S保持闭合，适当将P极板上移

B.开关S保持闭合，适当将P极板左移

C.先将开关S断开，再将P极板适当上移

D.先将开关S断开，再适当将P极板左移

分析：保持开关S闭合，适当上移P极板，两极板的电压不变，根据[E=Ud]，电场强度减小，带电粒子受到的电场力[F=Eq]减小，带电粒子在竖直方向的加速度[a=Eqm]减小，带电粒子在电场中的运动时间增大，水平位移[x=vxt]增大，粒子可能从Q板上的小孔B射出，选项A正确;保持开关S闭合，适当左移P极板，两极板的电压不变，电场强度不变，粒子的运动轨迹不变，选项B错误;先断开开关S，再适当上移P极板，极板上电量Q不变，根据[E=4πkQεrS]，两极板电场强度不变，粒子的运动轨迹不变，选项C错误;先断开开关S，再适当左移P极板，根据[E=4πkQεrS]，正对面积S减小，E增大，带电粒子在电场中的运动时间减小，水平位移减小，粒子不可能从Q板上的小孔B射出，选项D错误。

点评：本题把电容器的两类动态分析综合在一起考查，电场强度的两个公式都要用到。题设中带电粒子在电场中做斜抛运动，根据[E=Ud]或者[E=4πkQεrS]判断极板间电场强度的变化是解决问题的关键。

公式[E=4πkQεrS]是平行板电容器中电场强度的二级结论，该式是平行板电容器电场强度的决定式，当电容器极板上电量不变时，应用该结论无论是判断电容器上物理量的动态变化，还是带电粒子在电场中的直线、曲线运动，都可大大简化分析过程，快速得到正确结论。

（责任编辑 易志毅）