妙用微元法，一叶之秋

徐瑾

【摘 要】由2013年高考全国新课标I理综第25题从题目背景及考纲考点、能力立意，题目审析，解题步骤，思想方法，引申拓展这几个方面进行分析，点出微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，进一步拓展说明妙用微元法，一叶之秋。

【关键词】2013年高考全国新课标I理综第25题;微元法;一叶之秋

【中图分类号】G633.7       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）22-0257-01

2013年高考全国新课标I理综第25题如下：

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B.方向垂直于导轨平面。在导轨上放置质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系：（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。

接下来我将从题目背景及考纲考点、能力立意，题目审析，解题步骤，思想方法，引申拓展这几个方面进行分析。

一、题目背景、考纲考点、能力立意

1.题目出处：2013年高考全国新课标I理综物理必考部分第25题。

本题是根据竖直光滑导轨上的含电容器的单导体棒这一经典模型改编而成。竖直光滑改倾斜粗糙，物理情景复杂了许多。因此此题重视对经典模型的拓展对高中物理教学起到良好的导向作用。

2.考查的物理知识点及对应考纲要求如下：

电容器的电压电荷量和电容的关系I滑动摩擦力I安培力、安培力的方向I

匀强磁场中的安培力II法拉第电磁感应定律II楞次定律II

牛顿运动定律II匀变速直线运动及其公式II功能关系Ⅱ

3.知识点联系：上述考纲中的10个主干知识，各知识点被力和运动，功和能两大主线联系在一起。

4.能力立意：“显性的是知识，隐性的是能力”此题考查理解能力、推理能力 、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力。其中数学方法：微元法在此题中应用为解题的关键。此题为难题但设计有梯度又有较高的区分度，为高校选拔人才起到了很好的作用。同时，本题还体现出物理学式崇尚理性重视逻辑推理的一门科学，此题虽抽象但不是一味的应试教育，其实也是素质教育，让学生们从中体会理性的美，事实求是的精神。

5.选此题的：（1）可有多种解法发散思维是考查分析综合能力和推理论证能力的好题;（2）新课标试题物理难度降低，数学要求高，微元法在此题求解中妙用，一叶知秋。

二、题目审析

本题粗看感觉眼熟，让学生有信心去完成答题，但细看后发现对能力要求较高体现了命题低起点高要求的特点。

第一个问（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系。

分析：棒下滑切割磁感线产生感应电动势对电容器充电C、B、L以知，其中隐含条件：不记电路中所有电阻则U=E 则利用基本公式学生很容易作对，能得分。

第二个问（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系

学生能认识到解物理问题围绕两条主线一是力和运动二是能的角度

分析：法一动力学的观点

此问需根据牛顿第二定律求出金属棒下滑的加速度表达式，隐含条件：棒下滑过程，给电容器充电棒上有充电电流，有安培力。应丛电流和加速度的定义出发，研究金属棒下滑过程中某时刻相关参量表达式

难点及关键：安培力的确定需分析电容器在时间间隔（t，t+△t）内增加的电荷量，微元思想的运用是求解此题的关键。推出结论：金属棒做匀加速运动，然后后在由运动学公式得出所求。

学生对25题押轴题心存畏惧，类型又一改往年定势，在有平时对这种含容电路有电流题加深练习的少，求解本题时不少考生不能用微元法写出电容器充电电流的表达式，正确求出安培力，而错误的认为安培力为零得到错误结果。即审题不细误解题意。一部分学生列完牛顿第二定律后对安培力无从下手。即悟之不透，思维不清。

解法二可从能量的转化与守恒角度列出关系式，再用得出结果与匀变速规律类比从相识性得出遵守的共同规律。难点学生不易用微元法导出电容器储存电能的表达式，此思路也就進行不下去了。

应对策略：进行审题解题训练

1）结合题问，获取信息——学会审题

2）知识迁移，解题建模——学会解题

三、解题步骤

第一问：1）解析：（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E=BL v       ①

平行板电容器两极板之间的电势差为U=E ②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C=QU ③

联立①②③式得 Q=CBLv      ④

第二问：解法一：动力学观点

金属棒下滑过程中，由于电容器的充电，电路中有电流流过。设在

金属棒下滑的△t（极短）时间里金属棒加速度大小为a， 电容器积累的电荷量（通过金属棒某截面的电荷量）为△Q，△Q=C△U    △U =△E   △E =BL△v （△v为△t时间里棒的速度变化量） 由电流强度定义通过金属棒的电流 为i=△Q△t  所以i=CBL△v△t=CBLa⑤，

金属棒受到安培力方向沿导轨向上，大小为FA=BLi ⑥

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2=μN  ⑦ 式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N=mgcosθ ⑧

金属棒在时刻t根据牛顿第二定律有   mgsinθ- FA- f2=ma ⑨

联立⑤至⑨式得a=m（sinθ-μcosθ）m+B2L2Cg  ⑩

由⑩式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。t时刻金属棒的速度大小为v=m（sinθ-μcosθ）m+B2L2Cgt

微元法是高中对微积分的初步应用，当前微积分以引入高中数学教学，用微积分这种数学工具来分析处理变量问题是一种常见的方法。

解法二： 能量观点

电容器在贮存电量的同时也贮存了电能，电容器带电Q与其电压U的关系如图所示，电容器放电过程中电场力做功为W=12CU2

故电容器带电时其电能为Ec=12CU2

本题中设棒运动时间t沿斜面下滑一段距离x，此时棒速度为v，由能量守恒定律有mgsinθx=μmgθx+12mv2+12C（BLv）2

则v2=2mg（sinθ-μmg cosθ）m+CB2L2x

与v2=2ax类比可知，棒做初速度为零加速度大小为a= mg（sinθ-μmg cosθ）m+CB2L2的匀加速运动，则t事刻棒的速度大小为v=at=mg（sinθ-μmg cosθ）m+CB2L2t

此法给人高屋建瓴之感式具有一定內涵的解法。

比较二种解法一微元法是学生最易接受的解法，高考备考复习还要落实基础知识掌握最基本的解法。

四、物理思想方法

无论是解法一求安培力还是解法二求电容器带电时的电能都要用到微元法。

微元法是高中物理中一个重要的思想方法。2006-2009在江苏高考题中频繁出现，尤其又在2013年高考全国新课标I理综第25题闪亮登场让它在我们的高考备考中的地位更为重要。

解题过程一般遵循：（1）先微元;（2）列微元方程;（3）累计求和或推出规律。

必修一必修二教材中体现举例：第一章第3节正文讲授瞬时速度的定义，对元过程求极限。第五章第1节正文讲授曲线运动的切线的理解，对元过程无限逼近将割线变切线。

第五章第5节做一做探究向心加速度大小的表达式，对研究过程微元，利用几何三角形与速度矢量三角形相似。第五章第6节正文讲授一般曲线运动的处理方法，对过程微元，化曲线运动为圆周运动。第七章第4节正文讲授重力做功与路径无关，对过程微元后累加（化曲为直）。第七章第5节正文讲授探究弹性势能的表达式，对过程微元后累加（化变力为恒力。

除江苏考题外微元法平时应用举例：

例1. 微元法“化曲为直”  W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+…=F·2πR=2πFR

例2：整体对称用微元

一个均匀的带电圆环，带电荷量为+Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上.圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷+q，则+q在A点所受的电场力为2kQq4R2，方向向上

解析：先把带电圆环分成若干个小部分，每一部分可视为点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上相互抵消，竖直向上方向上电场力大小为=kqQcos45°（2R）2=2kQq4R2

综上，以上例子若从整体着手，便会有“山重水复疑无路”的痛苦，若运用微元思想就会有“柳暗花明又一村”的惊喜。妙用微元法，可一叶之秋。