一道兰州市一诊数学选择题中体现的立体几何思想方法

2019年3月的兰州市一诊数学试卷中选择题第10题是这样的：在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为()。

方法一：平移思想之中位线定理的应用

图1

分析：异面直线PA与BD所成的角,需平移其中的一条直线和另外一条相交,或者平移其中的两条到相交。我们通过中位线定理可以做到平移,取AD,AB,PD的中点E,F,G,连接EF,EG,FG,如图1,由中位线定理可得EF∥BD,EG∥AP,EF=BD,EG=AP,则AP与BD所成的角即为∠FEG,由题给条件可得由于异面直线所成的角是锐角或直角,故所求的角其实是∠FEG的补角,故答案是选D。

方法二：补形的思想,将要求的几何体补成我们熟悉或者简单的几何体

分析：由于本题有条件PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,所以我们将四棱锥P-ABCD补成长方体PA′B′C′-DABC(如图2所示),则容易看出AP∥BC′,AP与BD所成的角即为∠C′BD,由题意可得在△C′BD中由余弦定理可得cos∠C′BD

图2

方法三：延展平面

图3

分析：将底面ABCD延展为矩形D′C′CD(如图3所示),使得D′D=2,D′C′=1,连接AC′,则可以看出AC′∥DB,AC′=BD,这时异面直线AP与BD所成的角即为∠PAC′的补角,在△C′PA中通过计算可得

方法四：向量法