均匀带电半球面轴线上的电势和电场强度

林建福

(金秀瑶族自治县民族高中 广西 来宾 545799)

先用积分法求出均匀带电半球面轴线上的电势表达式，然后利用电场强度与电势的关系求出轴线上电场强度的表达式，并用所得表达式求出球心处的电势和电场强度.

1 均匀带电半球面轴线上的电势

设有一半经为R的均匀带电半球面，电荷面密度为σ，现求出其轴线上的电势表达式.如图1所示，在轴线上任取一点p，则p点的电势可以表示为如下积分

(1)

积分遍及整个半球面.

图1 均匀带电半球面

采用球坐标形式，式(1)化为

即

所以

(2)

由于z=0是式(2)的一个奇异点，对于球心处(z=0)的电势将于下文给出.

当z≥-R且z≠0时

(3)

当z<-R时

(4)

上述式(3)、(4)即为均匀带电半球面轴线上除去球心处(z=0)任意一点的电势表达式.

2 均匀带电半球面轴线上的电场强度

由于电场强度E等于电势梯度的负值[1]

E=-V

设均匀带电半球面轴线上电场强度为E，则

当z>-R时，由式(3)有

所以

(5)

当z<-R时，由式(4)有

所以

(6)

上述式(5)、(6)即为均匀带电半球面轴线上除去球心处(z=0)的电场强度的表达式.

由于电场强度的法向分量在带电面两侧存在突变[2]，对于z=-R处即半球面所在处的电场强度并不能直接由上述式(5)、(6)给出，下面我们单独求出z=-R处的电场强度.设从z=-R所在处上下两边趋于该点时，电场强度的极限分别为E+和E-，则z=-R处的电场强度为[3]

由式(5)、(6)可分别求出

因此z=-R处的电场强度为

(7)

3 均匀带电半球面球心处的电势与电场

由于z=0是式(2)、(3)、(5)的奇异点，故不能直接应用这些式子求出z=0处的电势和电场强度，现直接应用积分法求出z=0处的电势和电场强度.

球心处的电势

球心处的电场强度

作为对比，我们再根据式(3)、(5)，采用取极限的方法求解z=0处的电势和电场强度.

球心处的电势

球心处的电场强度

可见，两种方法求出的球心处的电势和电场强度是一致的.球心处的电势和电场强度分别为

和