基于灵敏度矩阵的虚拟质量快速优化布置方法

侯吉林， 王海燕a， 张青霞， 周润芳b， ukasz Jankowski

(1. 大连理工大学 a. 土木工程学院； b. 海岸和近海工程国家重点实验室， 辽宁 大连 116024；2. 大连民族大学 土木工程学院， 辽宁 大连 116600；3. 波兰科学院 基础技术研究所 智能技术部， 波兰 华沙 02-106)

结构模态是结构最基本的特征信息，且不随激励形式改变；因此基于模态信息的损伤识别是结构损伤识别的主要方法之一。毛羚[1]等基于动力响应灵敏度模型修正算法，进行隧道-土体的结构损伤识别。实际工程中，结构模态存在局部损伤不敏感和测量数据量不足的问题。为此，通过在结构上附加质量、刚度等元件的方法增加测量数据量和提高损伤识别精度。Nalitolela等[2]第一次提出在结构上添加质量或刚度更新结构参数方法，对结构进行模型修正；Lu等[3]综合分析了附加质量法中不同的附加质量方案对梁结构损伤识别的影响。由于实际结构的复杂化、大型化，附加真实质量具有较大难度，进而提出的附加虚拟质量方法很好地解决了这一问题。Hou等[4]基于虚拟变形法推导了利用结构激励和响应构造虚拟质量的方程，并利用框架结构数值模拟验证了损伤识别方法的有效性。Li等[5]为了提高管道局部损伤识别的灵敏度，采用附加虚拟质量方法对管道进行损伤识别。实际上，附加的虚拟质量大小、位置和数目对于结构损伤识别结果具有较大影响，因此进行虚拟质量的优化布置是提高结构损伤识别精度的关键。

目前关于质量优化布置方法研究较少，而虚拟质量优化布置与传感器优化布置相似，因此借鉴传感器优化布置方法研究虚拟质量优化布置。由于传感器存在造价高且布设位置受限的问题，需要对其进行优化，提高监测效率。传感器优化布置准则主要有传递误差最小准则[6]、基于模态能量准则[7]、模型缩减准则[8]等。Kammer[6]将Fisher信息阵准则应用于结构模态参数识别的传感器布置问题，提出著名的有效独立法(Effective Independence algorithm，EI法)，通过最大化信息阵的行列式来逐步消除对目标模态向量线性无关贡献最小的自由度。Yi等[9]结合有效独立法和模态保证准则提出了一种新的多维传感器优化布置准则，并引入狼群算法提高了计算效率。优化准则是优化的理论基础，优化算法则是实现优化的核心步骤。传感器优化算法大致分为贪心算法、经典优化算法和随机类优化算法。周广东等[10]基于自适应动态惩罚遗传算法提出了桥梁检测无线传感测点布置方法；何旭等[11]提出加权质心鱼群算法，进行风机叶片的无线传感网络节点优化。基于传感器优化理论，虚拟质量的优化也需要结合优化准则形成优化算法，实现优化方案。

本文以实现损伤参数最优识别为目标，研究了简支梁结构附加虚拟质量的优化布置方法。首先，提出了基于灵敏度矩阵体积最大化的优化准则和逐步快速搜索法的优化算法；然后将该方法得到的优化方案应用于结构，结合灵敏度损伤识别方法进行损伤判定；最后，通过简支梁结构数值算例验证了所提方法的可行性和有效性。

1 附加虚拟质量方法的基本理论

附加虚拟质量方法是根据在原结构上施加的激励和测量的加速度响应，构造出附加虚拟质量m后结构的频率响应。构造的公式为：

(1)

2 虚拟质量优化布置

2.1 灵敏度信息矩阵

假设结构模型共有n个子结构，第l个子结构的损伤因子为μl，μl为第l个子结构损伤后与损伤前结构的刚度比。结构的总损伤因子为μ=(μ1,μ2,...,μn)，刚度阵为K(μ)。结构中可能布置虚拟质量的位置数共为nm个，在第i个位置(i=1,2,…,nm)布置质量m后可识别获得k阶结构频率ω1i(μ,m)，ω2i(μ,m)，…，ωki(μ,m)；结构第j阶频率和质量归一化振型分别为ωji(μ,m)和φji(μ,m)，则ωji(μ,m)关于第l个子结构损伤因子的相对灵敏度Rji,l可用式(2)表示。

(2)

R=(A1,A2,...,Anm)

(3)

2.2 灵敏度矩阵体积最大化准则

虚拟质量的优化布置以损伤识别为目的，为保证损伤识别的精度，优化准则应满足两个条件：(1)每个测点信息关于各子结构损伤灵敏度应较高；(2)各个测点的灵敏度信息尽量不相关。

如图1，向量Ai，Aj，Ak分别表示灵敏度矩阵R中第i，j，k个测点的灵敏度信息向量。图1中第i个测点灵敏度信息向量Ai的模最大，作为最先选定的测点向量；然后从j和k测点中选择与第i测点相关性最小的一组。从图1中可以发现向量Aj在Ai垂直方向的分量λji大于Ak在Ai垂直方向的分量λki，同时向量Ai和Aj围成的面积要大于Ai和Ak围成的面积，向量Ai与Aj之间的不相关性明显大于Ai与Ak之间的不相关性。结果表明可以用向量围成的面积大小刻画向量之间的不相关性。将此结论推广到三维甚至更高维数的空间，可以得到向量的不相关性越大，向量之间构成的有向空间体积越大。因此可以将矩阵的体积作为评价矩阵中各向量不相关性的标准，进而可以将灵敏度矩阵体积最大化作为虚拟质量位置优化布置的准则。

图1 优化准则示意

为满足上述两个条件，基于灵敏度矩阵体积最大的优化准则，对应的目标函数可以表示为：

Δ(π,m)=V(R(π,m))

(4)

一般可以识别的模态数目k>1，因此测点数目nm小于kn，所以det(RTR)>0。

2.3 逐步快速搜索法

本文基于灵敏度矩阵体积最大化准则，提出逐步快速搜索法进行虚拟质量的位置优化。该方法的思想是比较同一数量不同位置质量测点的灵敏度矩阵体积大小，选取体积最大值测点作为该数量级下的最优位置；进而增加测点数量，寻找新一数量级下质量测点的最优位置。逐步快速搜索方法的具体操作步骤如下：

AI1=argmaxV([Ai]),i=1,2,…,nm

(5)

(6)

i=1,2,…,nm,i≠I1,I2

(7)

i=1,2,…,nm,i≠I1,I2,…，In-1

(8)

3 数值模拟

3.1 结构模型

通过简支梁模型的数值模拟验证上述方法的有效性。简支梁结构跨度为1 m，截面宽度为0.05 m，截面厚度为0.005 m，结构所选用钢材的弹性模量为2.10 GPa，材料的密度为7.85×103kg/m3。该结构划分为10个子结构，30个单元；节点编号如图2所示，对可能布置虚拟质量的节点1—29的竖向自由度进行研究。结构损伤情况为子结构3和子结构6同时受损，刚度分别降低40%和30%；考虑5%测量噪声。

图2 简支梁有限元模型

3.2 虚拟质量优化布置与损伤识别

3.2.1 虚拟质量大小估计

采用灵敏度分析方法优化虚拟质量大小，即选取使得结构频率相对灵敏度较高的虚拟质量。将0到10 kg的虚拟质量均分为101份，依次布置在所有子结构的中间位置，计算结构在附加质量后的前3阶频率(ω1，ω2，ω3)，并求每个频率关于所有子结构的相对灵敏度。在子结构3上附加质量的频率相对灵敏度随质量变化的曲线见图3a，在子结构5上附加质量的频率相对灵敏度随质量变化的曲线见图3b。由图3a可知，当附加虚拟质量小于0.5 kg时，除第3阶频率关于子结构3的相对灵敏度会有所减小外，其余各阶频率关于子结构3相对灵敏度均有较大增加；当质量大于3 kg后，前3阶频率关于子结构3的相对灵敏度趋于稳定。由图3b可知，当质量小于0.5 kg，前3阶频率关于子结构5的相对灵敏度随质量增大而大幅增加；当质量大于0.5 kg时，各阶频率关于子结构的相对灵敏度趋于稳定。因此，综合上述因素，在保证频率相对灵敏度较高的同时，避免因附加虚拟质量过大而对频率构造精度产生影响，初步选取附加虚拟质量的大小为0.5 kg。

图3 前3阶频率的相对灵敏度-质量曲线

3.2.2 虚拟质量位置优化

梁共有10个子结构，即有10个待识别参数，理论上为了保证识别精度，至少需要10个测量频率。考虑到噪声的影响以及频率之间的相关性，则需要提高测量频率的数量，这里取测量频率的数量需为待识别参数量的2倍左右，即需要20个频率信息。假设每附加一个质量可获得3阶频率，因此初步选取附加虚拟质量的数量为7个。

在结构上布置0.5 kg虚拟质量，候选位置为图2中的29个节点的竖向自由度，利用式(2)计算得到结构前三阶频率对于10个子结构的灵敏度值，并且按照式(3)进行排列矩阵。利用逐步快速搜索法确定虚拟质量的优化顺序，如表1所示；测点优化顺序中前7个测点位置分布如图4所示，其中小矩形上的数字表示虚拟质量布置的测点顺序，横坐标表示节点编号。结果表明，优化的测点位置分散均匀，以跨中为中心呈现接近左右对称的分布规律，验证了逐步快速搜索法的合理性。

表1 逐步快速搜索法优化结果

图4 优化测点位置分布

按照表1中逐步快速搜索法优化结果，计算选取不同数量测点后的灵敏度矩阵体积，得到灵敏度体积与测点数量的关系曲线，见图5。由图5可以看出，随着测点数量的增加，灵敏度矩阵的体积呈数量级倍数的降低。

3.2.3 损伤识别

由附加质量后的理论有限元模型计算结构频率，然后利用其与附加虚拟质量结构的测试频率之间的误差范数建立目标函数，通过优化子结构参数使目标函数最小，实现对结构的损伤识别。

上述计算确定的优化方案为分别附加7个0.5 kg的虚拟质量，布置在表1中的前7个测点位置。为验证该方案的有效性，采用随机方案进行对比，该方案采用大小、数量相同的虚拟质量，随机布置位置为节点11，23，1，2，5，16，17。

两种布置方案的损伤识别结果对比如图6。图中理论值是预先设定的损伤因子，优化方案为利用虚拟质量优化方案识别的损伤因子，随机方案为采用随机布置方案的识别结果。图6中，优化方案识别到子结构3，6的损伤因子分别接近0.6，0.7，其他子结构均为1，与理论值相符；这表明在5%测量噪声下，利用逐步快速搜索法得到的虚拟质量优化布置方案，可以较为准确地识别损伤的位置和损伤程度。随机方案在子结构6的损伤因子接近理论值；子结构3的损伤因子与理论值偏差较大；同时对于子结构2，7存在损伤误判。对比两种方案的识别结果，验证了优化方案损伤识别的可靠性。

图6 识别结果对比

3.3 虚拟质量大小与数量对损伤识别的影响

当测点数为7个时，附加0，0.2，0.5，1，2，3 kg虚拟质量，分别计算得到测点优化布置。图7展示了附加3 kg虚拟质量的前7个测点分布情况。将其与图4对比，说明附加不同虚拟质量得到的测点优化结果不同。

图7 附加虚拟质量3 kg测点分布

根据测点优化结果，将上述虚拟质量布设在相应位置，识别子结构的损伤因子；计算识别结果与理论值的误差范数，得到损伤识别误差随虚拟质量的变化曲线，如图8。结果表明，随着附加虚拟质量的增大，识别误差整体呈递减趋势。当虚拟质量小于0.5 kg时，随质量增大，识别误差大幅减小；虚拟质量大于0.5 kg时，识别误差小幅减小，趋于稳定。该结果验证了灵敏度方法的可靠性及选取0.5 kg虚拟质量大小的合理性。

图8 不同虚拟质量的识别误差

测点数量对于损伤识别精度具有一定的影响，当附加虚拟质量0.5 kg时，采用不同数量的测点，计算得到损伤识别误差曲线如图9所示。结果表明，随着测点数量的增多，损伤识别误差逐渐减小。当布设7个测点数量时，识别误差约为1%，可以满足在少量测点情况下工程精度要求。

图9 不同测点的识别误差

3.4 子结构划分对损伤识别的影响

为了分析子结构划分对损伤识别的影响，在上述损伤工况不变的前提下，将梁划分为5个大子结构，每个大子结构6个单元，即第2大子结构的左半段和第3大子结构的右半段有损伤。附加0.5 kg的虚拟质量，布设在优化测点的前7个位置，损伤识别结果如图10所示。由图10可以准确地识别出大子结构2，3发生了损伤，初步定位损伤大概位置。由于损伤是发生在大子结构的局部，所以损伤程度的识别存在一定误差，为了进一步精确地识别损伤，将大子结构2，3共划分为4个小子结构，每个小子结构3个单元，识别结果如图11所示。图中表明第1，4个小子结构损伤因子分别接近0.6和0.7，与理论值相符。两个结果同时说明子结构数量越少，参数越少，识别速率越快，但是对于损伤位置的定位可能不够精确。针对初步定位位置进行细致划分后，可以较为精确地识别损伤。这种分步划分子结构的方法可以提高计算效率，同时保证结果的可靠性。

图10 子结构识别结果

图11 识别结果对比

4 结 论

本文研究了虚拟质量的优化布置方法，提出了基于灵敏度矩阵体积最大化的优化准则和基于该准则的逐步快速搜索法的优化算法。通过对简支梁进行数值模拟，得到虚拟质量的最佳布置，并利用优化结果进行损伤识别，得到了以下结论：

(1)基于灵敏度矩阵体积最大化的优化准则，能够保证灵敏度矩阵包含尽可能多的灵敏度信息，进而能够保证损伤识别的精度；

(2)逐步快速搜索法在确定虚拟质量优化测点时，具有操作简单，计算效率高的优点；

(3)利用基于上述准则和方法得到的虚拟质量优化布置方案，可以较为准确地识别损伤位置和损伤程度。