运用概念建构、思考表征过程激活小学数学教学

饶明生

[摘 要] 传统的数学教育强调的是基础知识和基本技能，主要关注的是演绎能力培养。归纳能力是根据情况预测结果和根据结果探究成因的能力，归纳能力才是创新的基础。重视知识的形成过程就是要让学生经历数学概念的建构过程，经历思考表征的过程。让学生经历知识的形成过程有利于发展学生的归纳能力，有利于创新能力的培养。

[关键词] 经历;过程;清晰;发展;活

传统的数学教育强调的是基础知识和基本技能，主要关注的是演绎能力的培养。归纳能力是根据情况预测结果和根据结果探究成因的能力，归纳能力是创新的基础。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”重视知识的形成过程就是重视获取知识的思维过程，发展的是学生的归纳能力。

本文所指的知识形成过程，是指探索数学知识之间联系的、内在的规律的过程。教材内容是按一定的次序和构架呈现数学知识，主要是以定论的方式呈现，知识的形成过程没有也没法详细地呈现出来。这就需要教师认真去挖掘、引导、启发学生去经历知识的形成过程，获得学习的乐趣和能力。

一、通过概念建构学活概念

各种定义、公式、规律统称为数学概念，数学知识都是以概念为基础的，要使学生获得系统的、持久的数学知识，首先必须获得清晰明确的数学概念。让学生经历概念的建构过程才能获得清晰、明确的数学概念。

1.经历公式的推导过程

公式是计算方法的一种提炼，公式本身并不重要，公式推导过程中蕴含的思想方法更为重要。

如：长方形的周长和面积，一些教师特别重视学生背公式“长方形的周长=（长+宽）×2”“长方形的面积=长×宽”。学生做题时先想公式，然后根据公式列式解答。至于公式是如何形成的，大多数学生不明白，导致稍有变化的题目学生就不能解答，而且很容易将周长和面积公式混淆。长方形周长计算公式是如何得到的？让学生经历描边、量边、累加列式计算的过程不可少。经历过这样的过程，学生才会明白计算长方形周长的方法有很多种，“（长+宽）×2”只不过是将长方形各条边累加的一种简便计算。图形面积的多少就是图形含有多少个单位面积，“长×宽”就是数出有多少个单位面积的一种方法。让学生经历用单位面积去量，然后数出有多少个单位面积，这一探究过程能让学生很好地理解图形面积的本质。

再如，笔者在教学《圆的面积》时，花了很长时间让学生利用学具动手拼摆，反复观察得出拼成的平行四边形的底（或长方形的长）和圆周长的一半相等，高（或宽）和半径相等，平行四边形（或长方形）的面积=圆周长的一半×半径，进而得出圆的面积=圆周率×半径×半径。经历过这个过程，学生不用去记忆计算公式也能解决问题。课后就有学生解答“已知圆的周长是18.84厘米，求圆的面积”。这样解答：18.84÷2=9.42（厘米），9.42÷3.14=3（厘米），9.42×3=28.26（平方厘米）。学生亲身经历了圆面积公式推导的过程，背诵公式就不重要了，因为圆的面积计算公式只不过是一种计算方法而已。

2.经历法则、规律得出的过程

计算法则是计算方法的概括，计算方法是算理的提炼。现实中，一些教师只注重算法演练，忽视算理的推导，这种“重算法、轻算理”的做法不利于发展学生的数学思维和数学情感。

如：计算“[3/4]×[1/4]”，如果直接灌输给学生：计算分数乘分数，把分子和分子相乘的积做积的分子，分母和分母相乘的积做积的分母。学生按照这个方法也会计算。显然，这样被动的学习不利于学生的创新思维的发展，不利于培养科学的专研精神。要明白这个计算法则，让学生经历下面的作图计算必不可少。

3.通过列举、比较、整合过程理解概念

概念往往比较抽象，要让抽象的概念明晰并且保持持久记忆，列举、比较、整合是比较有效的方法。一些教师在教因数、倍数这一单元时，总是着力让学生背定义，认为学生不理解定义的原因就是没背熟定义，结果发现越教越吃力。有经验的老师并不着急让学生背，而是让学生从算式中找关系，从列举中明意义。如求12的因数，因为“1×12=12”“2×6=12”“3×4=12”，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。抽象的概念需要大量的实例去支撑。

人教社王永春教授说：“学习概念，最后要让学生看到一片森林。如果说，学习除法好比认识了一棵杨树，学习分数好比认识了一棵柳树，学习比就好比认识了一棵梧桐树。都学习了就要让学生看到一片森林。”比较发现：除法中的被除数相当于分数的分子、比的前项，除数相当于分母、比的后项。因为这些共性，商不变的规律、分数的基本性质、比的基本性质可以整合成一个性质。教师将相关知识串起来，让知识在关系和结构中存在，这样成体系的概念才有活力。

二、通过思考表征激活思维

表征是外部事物在心理活动中的内部再现，它一方面反映客观事物，代表客观事物，另一方面是心理活动进一步加工的对象。学生通过具体形象的图形、式子、词语等表达对数学知识和问题的思考，这就是数学表征。因为小学生形象思维占主导，所以小学阶段尤其要重视图形表征能力的培养。

1.画图表征

画图表征就是要借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，将复杂的数量关系理清理顺，帮助学生从形象思维过渡到抽象思维。

例如，“鸡的只数比鸭的只数多[2/3]”单从字面上不好理解数量关系，通过画图表征就一目了然。

五年级题“一个长方体，高增加5厘米后就成了正方体，表面积增加了120平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？”通过画图表征，数量关系就会变得清晰起来。

同样，在解决鸡兔同笼问题、相遇问题、工程问题和比例问题中，使用图形表征，借助图形将较复杂的数量关系变得简单明了，可以迅速找出解决问题的方法。

2.语言表征

传统的教学过分强调学生的听，忽略了学生的表达。让学生经常使用语言去表征数学问题，有利于发展学生的表达能力、理解能力和解题能力。

课堂上，要经常让学生说发现、疑问、思路。低年级的数学课，教师经常会问学生：“同学们，看了这幅图，你知道哪些数学信息呀？”“同学们，你能根据这些数学信息提一个数学问题吗？”这就是在训练学生的语言表征能力。逐渐地，还要培养学生用数学语言去表征数量关系。

“轻过程，重结果”，学生往往只知其然，不知其所以然。不能靈活地运用知识，只能生搬硬套，还容易遗忘。“重过程，轻结果”，注重的是数学思想和方法，注重的是发展学生的能力，注重的是发展学生的核心素养，这样的数学才是“活”的数学。

责任编辑 王 慧