基于最优化方法电流优化的SRM转矩控制研究*

党选举，王涵正,姜 辉

(桂林电子科技大学 电子工程与自动化学院，广西 桂林 541004)

0 引言

开关磁阻电机(SRM)具有结构简单、成本低、起动转矩大、可靠性高等优点，在机械加工、新能源汽车等领域具有良好的发展前景。但由于SRM特有的双凸级结构，电机运行时存在着高度的磁路饱和，转矩与电流、转子位置之间有着复杂的非线性和高度的耦合关系[1]，使SRM产生强烈的转矩脉动和噪声问题，限制了SRM在新能源汽车等领域的广泛应用。

目前对于SRM的转矩脉动控制方法主要有：电流斩波控制(CCC)[2]、直接转矩控制(DTC)[3]、直接瞬时转矩控制(DITC)[4]等。转矩分配函数法(TSF)将期望转矩通过分配函数分配为各相绕组的单相转矩，使各相绕组产生的转矩之和等于期望转矩，以此减少系统产生的转矩脉动[5-7]。

在工业领域中，在变量有约束条件的条件下寻找目标函数在解空间内最值，常用的方法有拉格朗日乘子法[8-9]、罚函数法[10]等。拉格朗日乘子法是寻找多元函数在约束条件下全局极值的方法，被广泛应用于最优化问题求解。出于对控制目标与分析问题角度的不同，目标函数的选取往往没有统一标准，而是根据实际被控对象的特点进行确定。如文献[9]利用拉格朗日乘子法简化了机械臂模型，减少了力矩误差。

文献[11]以电机设计的转矩脉动以及总体效率为优化目标，在开关磁阻电机有限元分析模型的基础上使用人群搜索算法对电机的结构和参数进行寻优，并得到了比使用遗传算法进行参数寻优更低的转矩脉动。文献[12]使用差分进化算法、大爆炸算法及粒子群算法三种典型的优化算法对所提出的电流分配方法中的PI控制器参数进行优化、整定，并比较最后的转矩输出结果。然而由于SRM内部的强非线性以及需要寻优的参数数量较多，寻优过程中参数的解空间难以确定，参数之间的耦合性也可能导致求解陷入局部最优。文献[13]提出使用了优化方法对换相区间中的两相电流进行优化分配的思想，直接以电流作为变量，针对转矩脉动以及效率设计目标函数借助拉格朗日乘子法求解电流的最优值；在目标函数中，同时约束项无法兼顾复杂性与最终转矩脉动抑制效果。

传统的转矩分配函数是将参考转矩利用固定的函数进行对称的分配，忽略了电机复杂的电磁特性；同时，已有的研究没有将SRM转矩分配方法置于优化思想的框架下进行深入探索，因此无法同时保证分配结果的准确性和计算简便性。本文充分考虑了电机运行时电感饱和引起的电流-转矩之间的非线性关系，将电感的准线性(近似非线性)模型引入优化中，作为拉格朗日乘子法的约束项对转矩进行分配，以此得到更准确的离线优化电流分配函数。同时，系统转矩误差进行预处理后，通过迭代学习控制得到补偿电流,与优化电流共同作为电流滞环的参考输入，实现减小转矩脉动的目标。

1 开关磁阻电机数学模型

1.1 开关磁阻电机模型

开关磁阻电机[3]的励磁过程遵循磁阻最小原理。在忽略磁路饱和及涡流损耗的理想线性模型下，SRM的电压方程为：

(1)

式中，Uk为第k相产生的电压，ik为第k相绕组的相电流，θ为转子位置，Ω为转子角速度。电磁转矩表达式为：

(2)

(3)

其中，Lk(ik,θ)为第k相电感，Ttol为各相转矩之和，n为相数。

1.2 SRM电感准线性模型

(4)

(5)

Lk(ik,θ)=L0(θ)+L1cos(Nrθ+π)

(6)

根据式(6)，得到电感对角度θ的偏导为：

NrL1(ik)sin(Nrθ)

(7)

简化后得到：

(8)

基于傅里叶函数建立SRM电感的准线性模型，相较于线性电感模型，包含更多电机运行时的非线性特征；同时准线性模型所需要的参数数据可以通过测量法或通过实验数据计算得到，消耗的计算资源比基于有限元分析的仿真模型更少。

因此本文所提出的算法用傅里叶函数建立电感准线性模型，简化了运算的同时保证了模型具有较高的准确性，即：在对电流进行最优化迭代求解时，求解空间范围更加精确，同时避免引入过多限制条件而降低优化效率。

2 基于拉格朗日乘子法的离线转矩-电流函数优化

2.1 SRM电流二次型目标函数设计

在多元函数最优化问题中，拉格朗日乘子法在变量有约束的条件下建立拉格朗日函数，以此求解多元函数的最优问题[8]。根据式(2)中转矩和电流的函数关系，转矩的波动与电流平方直接相关，因此在两相电流的平方和最小时，转矩波动实现最小；同时，考虑两相电流的变化率，抑制电流的波形波动，使电流变化优化结果更平滑，进一步减小转矩波动。根据文献[13]，设计目标函数并确定系数形式：

(9)

s.t.

(10)

其中，Ia表示前一相电枢绕组的电流，Ib表示后一相电枢绕组的电流，θn表示当前时刻的转子位置，θn-1表示上一时刻的转子位置。

此目标函数只需要确定换相区开始的起始角角度，并利用准线性电感模型限制转矩与电流间函数关系，通过求解目标函数的最小值得到优化电流的函数，通过优化自动解得两相电流重叠的导通角以及关闭角。

2.2 基于傅里叶准线性模型的分段电流优化

2.2.1 分段电流

根据开关磁阻电机的傅里叶准线性模型及公式(7)，SRM工作时不同转子位置的电感变化将导致SRM的电流-转矩特性变化；在换相区，由相邻两相电枢绕组对应着各自的电流-转矩特性产生转矩。因此，本文采用分段的方法，将换相区的复杂非线性特性简化。图1为目标转矩为5Nm时，根据电感的变化情况，以8.5°作为分段的边界，将转子前一相与后一相分别记为A相、B相。

图1 期望转矩为5Nm时分段优化区间图

为了能使电流平稳分配，因此分段优化第一阶段(5≤θn-1<θn≤8.5)的拉格朗日优化方程表示为：

L(Ia,Ib,λ,φ1,φ2)=

(11)

其中，q1=0.005，r1=2，5≤θn-1<θn≤8.5。

第二阶段中，减少A相转矩的输出，同时使B相转矩增加，使系统转矩输出逐渐由A相过渡到B相，因此分段优化第二阶段(8.5≤θn-1<θn≤20)的拉格朗日优化方程：

L(Ia,Ib,λ,φ1,φ2)=

(12)

其中，q2=0.007，r2=5，8.5≤θn-1<θn≤20。

从而最终将非线性电流曲线优化问题转化为分段线性化的优化问题，并确定分段的优化表达式。

2.2.2 分段优化

(1)第一段优化区间及迭代优化过程

L(Ia,Ib,λ,φ1,φ2)=

(13)

其中，θn、θn-1分别为当前时刻与上一时刻的转子位置，拉格朗日乘子λ,φ1,φ2≥0。

由于拉格朗日乘子法要求其不等式约束必须满足：

(14)

在换相区间内，Ia和Ib不可能同时等于Imax，并且为了防止优化时电流为0无法迭代运算，因此在优化开始阶段赋予Ia和Ib初值。所以，式(11)只有在φ1=φ2=0 时成立。

分别令式(13)对变量Ia,Ib,λ的偏导为0，得到：

(15)

(16)

(17)

联立式(15)～式(17)，由式(18)、式(19)，离线计算得到λ值。

(18)

B2E2Gλ4+2(B2EF+BCE2)Gλ3+

(B2F2G+C2E2G-A2E2-B2D2)λ2+

2(BCF2G+C2EFG-A2FE-BCD2)λ+

C2F2G-A2F2-C2D2=0

(19)

其中，

(2)第二段区间迭代过程

(20)

故，第二阶段拉格朗日函数为：

(21)

得到偏导：

(22)

(23)

(24)

同第一阶段，先对λ通过离线计算得到，再将λ代入式(22)、式(23)得到Ia(θn)、Ib(θn)

3 基于误差预处理的开环P型迭代学习控制

迭代学习控制(Itrative Learning Control，ILC)是一种基于数据驱动的控制算法。SRM电机开环P型迭代学习控制系统控制, 将转矩反馈误差进行预处理后再作为控制器反馈信号，开环P型迭代学习控制表达式:

(25)

其中，

(26)

fa(θ)=sin(Nrθ)

(27)

(28)

本文的控制系统整体框图如图2所示。控制系统分为3部分：①基于拉格朗日乘子法的离线电流优化分配作为系统的开环输入；②改进的迭代学习控制闭环控制策略以恒转矩为目标，输出补偿电流；③优化电流与补偿电流相叠加作为电流滞环控制的参考输入电流以最终实现转矩脉动抑制。由于系统的输入为离线优化得到的电流，无法构成电流在线调节的恒转矩闭环控制系统，因此引入迭代学习控制和电流滞环控制对系统的电流进行补偿。

图2 基于拉格朗日乘子法离线优化分配电流的SRM转矩闭环控制系统框图

4 仿真与分析

为了验证所提出的控制策略对转矩脉动抑制的有效性，在Matlab/Simulink仿真软件中对所提出算法的效果进行仿真和效果验证。本文以12/8型SRM模型[15]为例建立电机运行仿真模型，其中，电机的主要模型参数为：定子电阻Rs=0.005Ω，电感最大值Lmax=23.62mH电感最小值Lmin=0.67mH，磁链最大值Ψmax=0.48Wb ；以及直流电源电压VDC=100V，电机负载TL=2Nm，给定转矩Td=5Nm。启动时负载转矩为2Nm导通角为5°。通过对转矩脉动的定量分析衡量最终控制系统的稳定性，转矩脉动越小，则系统稳定性越好。定义转矩脉动系数[16]Tripple如下：

(29)

式中，Tmax、Tmin和Tav分别为电机到达稳态后的最大瞬时转矩、最小瞬时转矩及平均转矩。

由于在优化开始时，若Ib=0 则优化过程将无法进行，因此需要赋予Ia,Ib一定初值。本文根据TSF转矩分配控制策略得到的电流值作为优化开始时Ia,Ib的初值。图3表示了期望转矩分别为5Nm和3Nm时分段迭代优化的电流函数结果。图3的优化结果说明，优化得到的电流交叠的角度明显大于传统TSF。

其中期望转矩为5Nm时系数的选取为：

(30)

期望转矩为3Nm时系数的选取为：

(31)

图3 期望转矩为5Nm和3Nm的优化电流结果

图4的3条曲线分别为系统开环情况下，离线分段优化电流函数及TSF策略下输入电机后的转矩波形，离线分段优化电流在期望转矩为5Nm及3Nm时的转矩脉动分别为23.6%、11.3%，传统转矩分配函数的转矩脉动为 39.5%。从图4对比可以看出，在开环控制下，使用拉格朗日乘子法分段优化可以明显抑制系统的转矩脉动，且分段优化以后电流的曲线可以实现更小的转矩脉动。

图4 转矩离线优化分配方法与转矩分配函数(TSF)的转矩波形对比

系统输入离线分段优化电流后，SRM产生转矩输出并得到转矩误差，对误差进行预处理以后作为开环P型迭代学习控制的输入使控制系统闭环。最终的转矩脉动为：5.76%和7.26%，转矩输出波形如图5、图6所示。

图5 期望转矩为3Nm时系统的转矩脉动

图6 期望转矩为5Nm时系统的转矩脉动

结合上文分析，给出对比表格如表1所示。

表1 转矩脉动系数对比

对比图4、图5和图6可知，所提出的控制策略较使用传统TSF方法叠加普通开环P型的迭代收敛速度更快，且转矩脉动进一步得到抑制。

5 结论

本文对传统对称转矩分配进行改进，基于开关磁阻电机电感准线性模型，提出了拉格朗日乘子法优化的电流分段分配策略；并对反馈电流引入迭代学习，输出补偿电流，与离线优化电流叠加作为电流滞环控制的输入，以有效抑制转矩脉动。仿真结果表明，对于给定转矩控制，该优化分配电流的转矩脉动明显低于传统转矩分配控制策略；同时，改进的迭代学习使控制系统收敛更快，验证了所提出算法对开关磁阻电机的转矩脉动抑制的有效性。