简单计算中的化归思想

【摘要】本文阐述化归思想的概念，总结小学数学教材中的化归思想的呈现方式，以人教版数学一年级上册《九加几》的教学为例，论述教师在小学数学教学中渗透化归思想的途径。

【关键词】小学数学 化归思想 《九加几》

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）07A-0090-03

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称课标）对义务教育阶段数学教学的功能和意义进行了系统的阐述，其中，课程目标把原来的“双基”变成“四基”，数学基本思想在小学阶段教材没有进行明确的定义，但是在教材中处处渗透着数学思想和方法。在实际的教学中，教师需要深入地研究数学本质知识，发掘数学知识蕴含的数学思想并适时点出，帮助学生提升自我认知，从而提升学生的思维品质，发展数学思考力。

笔者以一年级上册《九加几》教学为例，分析教材是如何渗透化归数学思想的，同时提出教学的设想。

一、化归思想的概念

史宁中教授把数学的基本思想概括为：抽象、推理和模型思想，其中推理思想是丰富数学知识的基础。化归思想从字面上理解就是“转化”和“归纳”，把未知的问题转化成已知的问题，运用已有的知识解决未知的问题，归纳出解决未知问题的方法。

《九加几》是学生学习完10以内数的加减法、11～20的认识、十加几的加法和相应的减法之后学习的，解决九加几的方法有：“接着数”和“凑十法”，其中“凑十法”是教学的重点内容，也是学习竖式计算的基础。不管是拆小数补大数还是拆大数补小数，其中蕴含的思想方法就是把九加几的计算转化为十加几的计算，从而更加轻松地解决问题，在这个过程中让学生初步感知化归这一数学思想。

二、教材中的化归思想

笔者翻阅人教版、苏教版和北师大版教材，从教材中寻找编者意图。

（一）主题图呈现

人教版教材主题图选用的素材为一箱10盒饮料，苏教版教材主题图选用的素材为一盘10个苹果，北师大版教材主题图选用的素材为一箱10瓶牛奶。三个版本的教材都不约而同采用10个为一个整体的表现形式，这样的编排无形中给学生渗透“9个加上1个就转化成10个”的思想，同时也带给教师对教学“凑十法”的思考：教具是采用点子图还是小棒呢？通过翻阅本课之前的内容，笔者发现在学习《1—10的认识》时，教材都是采用点子图的方式，通过不断在点子图中加上一个新的数的过程让学生认识数，因此以点子图作为教具更加合适，这样有利于学生构建完整的知识体系。

（二）算法和算理呈现

人教版教材在呈现算法和算理方面主要呈现“接着数”和“凑十法”，对于“凑十法”，动作表征为小男孩拿1盒饮料放进箱子;语言表征为先放进1盒凑成10，10+3得13;符号表征为算式下面注出“凑十法”的过程，用三种方式帮助学生感受九加几转化为十加几的过程。苏教版教材呈现算法和算理的方式和人教版教材呈现方式比较相似，区别在于苏教版教材多了对算式标注出“凑十法”的过程的解释：9和1凑成10，要把4分成1和3。北师大版教材的呈现方式则和人教版、苏教版教材的呈现方式有很大的不同，出现了“拆大数”和“拆小数”两种凑十的方法，没有语言描述，通过圈一圈和分步计算的过程，让学生感受凑十法，同时出现了拨计数器的过程：10个一是1个十，更加强调学生在操作过程中抽象出凑十法。

（三）教材分析总结

通过研究教材，笔者给本次课的教学提出两个建议。

1.核心问题：你是如何将9加几转化为10加几的呢？课堂的教学应该始终围绕着这个主题来进行。

2.多元表征“凑十法”。“凑十法”相比于学生熟悉的“数数”和“接着数”，本次课中并不存在什么优势，课堂中应该通过多种不同的方式向学生渗透“凑十法”，让学生运用“凑十法”，从而掌握“凑十法”。

三、教学设想（以人教版教材为例）

（一）教学目标

知识与技能：学生自主探究得出九加几的方法，掌握“凑十法”，并能正确、熟练地计算九加几。

过程与方法：在摆一摆、圈一圈、说一说等多种活动中，让学生感受“凑十法”的计算过程，形成“凑十法”的思考过程。

情感态度与价值观：学生主动参与到数学活动中，获得成功的体验，初步渗透“转化”的数学思想。

教学重点：掌握“凑十法”，能正确、熟练地计算九加几。

教学难点：学生形成“凑十法”的思考过程。

（二）教学过程

1.复习导入

（1）凑十歌：一九一九好朋友，二八二八手拉手，三七三七真亲密，四六四六一起走，五五凑成一双手。

师：让我们一起跟着音乐唱“凑十歌”。

（2）出示算式：10+2= 10+6= 10+8= 10+7=

师：你为什么这么快就计算出结果了呢？

生：十加几就等于十几。

师（小结）：十加几我们能很快知道就是十几。

设计意图：通过对教材的纵向分析，笔者发现本节课的前知识是10的分与合和十加几的加法计算，所以在导入的环节，重点以這两方面知识为主。“凑十歌”的引入，能够激发学生的学习兴趣，提高课堂的参与度，同时为“凑十法”的转化做好铺垫;计算十加几一方面复习了旧知，另一方面让学生充分感受十加几计算的简便性。导入部分对前知识的梳理，为学生完整地建构知识体系铺垫。

2.探索算法

（1）出示主题图

师：育英小学正在开展运动会，我们一起去看一下现场的照片，从中你发现了哪些信息？

（学生同桌互相说一说，有跳绳、跑步、分饮料等）

（2）聚焦“饮料”

师：我们看一下图片。从这幅图中，你发现了哪些数学信息呢？

（学生交流回答）

师（总结）：箱子里有9盒饮料，箱子外面有4盒饮料，一共有多少盒饮料？怎么解决这个问题呢？

生：计算9+4。

师（列出“9+4=”）：你能算出9+4的得数吗？你是怎么想的？

（学生先独立思考，再进行同桌交流、汇报）

预设1：从1到13依次数。

预设2：从9接着往后数到13。

预设3：先算9+1=10，再算10+3=13。

师：这三种方法中，哪种方法是我们以前就用过的呢？

生：数数和接着数。

师：你们知道第三种方法为什么要先算9+1=10吗？

生1：我是先把箱子外面的1盒饮料放进去，就是一箱10盒，加上外面3盒，总共就是13盒。

生2：因为十加几很容易计算，所以我们先把9变成10。

师（小结）：不管是拿1盒放进去还是9+1都是把九加几转化为十加几，这样我们就很快知道得数了。

设计意图：先让学生根据已有的经验说计算的方法，了解学生的已有知识水平，几种不同方法的呈现给学生提供一个对比的依据，体验不同方法之间的区别和联系;本环节的关键是当学生能够说出先算9+1=10，再算10+3=13时，追问学生为什么要先计算9+1，学生说出因为十加几容易计算，教师及时抓住学生的生成，从而帮助学生理解“凑十”的方法和道理，让学生感受到知识不是教师教的，而是自己发现的，从而体验成功。

（3）回忆计算过程，强化算法

师：结合老师给你们准备的学具，动手摆一摆“凑十法”的过程。

（学具为格子图和圆片，学生动手操作，教师巡堂指导，学生汇报）

师：结合摆的过程，想想你們是怎样把九加几转化为十加几的。

生：从4个圆片中，拿出1个放到格子图中，格子图中就变成10个圆片，格子图外面是3个圆片，合起来就是13个圆片。

师（小结）：通过移动一个圆片，我们就把难解决的九加几转化为容易解决的十加几，非常了不起。

师：现在请大家闭上眼睛回忆刚才操作“凑十法”的过程。

（生闭眼思考）

师：现在看着算式“9+4=”，说一说算式中是如何体现“凑十法”的？

生1：先算9+1=10，再算10+3=13。

师：你能说一说，1和3是从哪里来的吗？

生1：是把4分成1和3。

师：先把4分成1和3，然后计算9+1=10，这样就把九加几转化为十加几，最后再算10+3=13。

生2：9+4=9+1+3=10+3=13。

师：通过把一步计算转化成两步计算，这样就把九加几转化为十加几。试一试在算式中，把我们刚才说的转化的过程写出来。

生1：9+4=9+1+3=13。

生2：

生3：

师：结合算式标注，说一说你是怎样把9加几转化为10加几的，比比看谁的方法更好。

设计意图：皮亚杰的多元表征理论强调数学概念心理表征的多元化，所谓“多元表征理论”，就是强调概念表征不同方面的相互渗透与必要互补。本环节让学生经历实物操作建立动作表征、头脑想象建立表象操作、说一说建立语言表征、写一写建立符号表征等过程，这样的过程始终围绕“如何把九加几转化为十加几”这个核心问题来展开数学活动，让学生对“凑十法”的概念不再停留于计算的结果，而是帮助学生进行数学思考、理解算理、厘清思维过程，最终完成对“凑十法”的知识建构。

3.练习巩固，形成技能

（1）摆一摆，算一算

设计意图：基础练习，通过圈一圈，结合算式标注，进一步巩固“凑十法”。

（2）9+1+2=    9+1+5=    9+1+8=

9+3=     9+6=     9+9=

设计意图：通过对比上下算式，让学生感受“凑十法”的具体过程，从而提高学生口算9加几的水平。

（3）

设计意图：计算方法的最优化是建立在学生大量计算的基础上的，本次练习中一个加数不变，另一个加数不断变化，让学生去发现加数与和的关系，进一步巩固“凑十法”的学习。

4.总结全课（略）

实际教学中如何向学生渗透数学的基本思想，这是课标给教师带来的一个新的问题。通过研究本次课可以发现，数学思想并不是高不可攀的，它其实就是对学生生活经验的抽象提升。教师在课前要读懂教材、把握教材编者意图，课中要及时捕捉学生的生成资源、适时引导，水到渠成地完成对数学思想的渗透。就像在本次课中，当学生说出可以先算9+1=10，再算10+3=13或者把1盒饮料放进箱子后就变成了10盒饮料之后，教师点出：原来你们是把9加几转化成10加几来计算的，从而引出化归思想，让学生感受到“凑十法”不是老师教的，而是自己发现的。适时的点破，能帮助学生提升原有认知水平，提升思维的品质，无形中渗透数学的思想方法，帮助学生用数学思维去思考问题。

作者简介：李安旺（1988— ），男，山西运城人，中学一级教师，教育学学士学位，研究方向：基础教育教学研究。

（责编 刘小瑗）