确立数学解题策略的原则

郑建华

[摘  要] 确立完善的解题策略能更为准确地解题并减少失误，运用好这些相互联系的策略原则能从不同角度和侧面指导解题，解题效率大大提升的同时也能更加简捷、自然地获得正确的解题结果.

[关键词] 解题策略;原则;思路;思维

数学解题策略这一具有原则性的思想方法和规则是学习主体面对问题或目标后所进行的思维决策选择，这种发现、解决数学问题时采取的总体思路往往能将数学解题的精神实质很好地体现出来，完善的解题策略的确立能将解题方向更为准确地把握并有效减少失误或错误，解题效率大大提升的同时也能更加简捷地获得解题的结果. 为实现解题而确立的数学解题策略具有一定的内在规律，这正是解题策略遵循策略原则的具体体现.一般来讲，数学解题策略需遵循以下原则.

明确的目的性

明确的目的是解题首先应该遵循的，解题策略思想的核心正是怎样实现解题要求这一核心问题. 解题策略的制定始终不能离此核心. 比如“据果变形”在证明等式、不等式中的应用，比如“设而不求”在解析几何问题中的时常应用等等，都很好地体现了这一原则.

例1：已知椭圆4x2+9y2=36，某直线与之相交于点A和点B，弦AB的中点坐标是M（1，1），则直线AB的方程如何？

分析：点M在直线AB上，因此考虑求直线的斜率即可. “设而不求”在此处若可以运用，很多繁难计算将得到避免，解题显然更为简捷.

解：设A（x1，x2），B（x2，y2），中点为M（1，1），则x1+x2=2，y1+y2=2.

因为点A和点B在椭圆上，

所以4x +9y =36，       ①

4x +9y =36，       ②

①-②可得4（x -x ）+9（y -y ）=0，

所以8（x1-x2）+18（y1-y2）=0，

所以 =- .

所以直线AB的斜率是- ，所以直线AB的方程为y-1=- （x-1），即4x+9y-13=0.

在复杂问题面前首先要做的就是明确目的并找出解题关键，这对于确立正确的解题策略来讲是首要任务.

思维的广阔性

思维的广阔性是极为关键的解题环节，抓住问题的广阔范围并全面考虑问题以弄清事物的特点与联系，能使解题者从多方面进行解题的探索并设计出多种解决办法.

例2：已知：a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1.

从平方和关系入手进行乘积和的不等关系的探求所涉及的领域是比较广阔的，这对于解题者思维的广阔度来说也是一种挑战.

比较法、综合法以及分析法是大部分学生在证明时采用的方法，教师在此基础上可以对学生进行适时点拨，使学生在观察式子的整体结构、发掘隐含条件的过程中获得分散思维的锻炼并因此寻得其他证明方法. 学生在一定的观察、分析与联想之后给出以下三角函数证明方法：

解：由a2+b2=1，c2+d2=1，可设a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ.

所以ac+bd=sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）.

因为sin（α+β）≤1，所以ac+bd≤1.

学生的思路在这样的训练中一定会得到拓展，学生也会因此对钻研数学产生浓厚的兴趣.

分析问题的全面性

解题策略思想正确确立的基础就是对问题展开全面的分析，数学题的构造不管如何变化，多角度、多侧面地进行觀察和分析都是解题中最为基础的一个环节，只有这样，解题者才会对问题内部联系的实质建立深刻的认知并因此获得更多的解题方案.

例3：设实数x，y满足x2+（y-1）2=1，则 的取值范围如何？

分析：运用变二元为一元的一般办法来解决此道二元函数取值范围的问题，会因为开方问题而难以解决，但将此题所求看成过点（-1，-2）和点（x，y）的直线斜率，问题即可转化成：求过定点（-1，-2）和圆x2+（y-1）2=1上一动点（x，y）的直线的斜率的取值范围，问题显然简单了很多.

熟悉化

熟悉化原则这一最为根本的解题原则就是要求解题者能够将问题转化成熟悉的相关问题，运用熟悉的知识、方法对其进行探究和解答.

例4：求函数y= 的值域.

判别式法是解决此题时常用的方法，但教师若能引导学生对其形式进行观察和联想，则会有学生能联想万能公式中的sinθ并获得问题的解决.

令x=tan ，则y= =sinθ.

由正弦定理的有界性sinθ≤1即可顺利解决问题.

简单化

将复杂问题简单化的解题实施途径是多方面的，一般来讲，寻求中间环节、分类考察讨论、简化已知条件、恰当分解结论是落实简单化原则时最为常用的几种方法.

例5：已知cos（α+β）= ，cos（α-β）= ，求tanαtanβ的值.

分析 很多学生初读此题时往往感觉无从下手，但若是能把条件和题目所求相关联并对中间环节进行探寻，很多学生就会想到弦切互化，把tanαtanβ化成 ，在cos（α+β），cos（α-β）的展开式中也正好有sinαsinβ，cosαcosβ.因此，联立cos（α+β）= ，cos（α-β）= ，即可解得sinαsinβ，cosαcosβ，并最终求得tanαtanβ的值为- .

具体化

具体化原则的运用就是将问题中的概念、概念间的关系进行明确，这一具体化的解题行为能将一般原理和规律更好地应用于问题的解决中，使抽象的形式与内容得以用具体的形式表达. 事实上，确实有很多看似抽象且不易解决的问题，在解题者联系相关知识、具体教学情境并建立模型之后得到顺利解决，这是探寻解题思路与解题突破环节中特别重要的一环.

例6：已知x∈R，a是常数，且f（x+a）= ，则f（x）是周期函数吗？如果是周期函数，请求出其周期;如果不是，理由何在？

分析：由f（x+a）= 联想到tanx+ = ，找出一个具体函数，f（x）=tanx及a= . 而函数y=tanx的周期T=π=4a，猜想f（x）为周期函数，周期是4a.如此解题思路清晰，方向明确.

证明：因为f（x+a）= ，

所以f[（x+a）+a]= =-

所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= - =f（x）.

所以f（x）的周期T=4a.

和谐化

和谐化原则在解题策略确立中的运用就是利用问题内部固有的和谐统一的特点进行各种必要联系的建立，数与形、正与反、内与外、分与合、固与变等各种关系的运用能使问题的转化和解决更加顺利. 数与形在解题中的运用是最为突出的，数学这门研究空间形式与数量关系的科学总是围绕数与形进行研究. “数”包含了方程、函数、不等式等代数中的一切内容;“形”包含了图形、图像、曲线等形式. 数量关系决定几何图形的性质、几何图形的性质反映数量关系这两者之间的相互关系正是数形结合的本质. 抓住数与形之间的内在联系并以“形”直观表达数或以“数”精确研究形就是数形结合. 引导学生进行细致入微的观察并展开联想，能使学生更好地利用图形的直观诱发直觉，由形思数，由数想形，并因此将数与形的和谐统一更好地展现出来.

例7：方程x+lgx=3的根是x1，x+10x=3的根是x2，则x1+x2等于（  ）.

A. 6    B. 3    C. 2    D. 1

分析：构造函数y=lgx，y=10x，y=3-x，因为y=lgx和y=10x互为反函数，图像关于直线y=x对称，直线y=3-x和y=x相互垂直，因此y=3-x与y=lgx和y=3-x与y=10x的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是关于直线y=3-x与y=x的交点M（x0，x0）对称的，故x1+x2=2x0=3，故选B. （图略）

逆向思维

逆向思维原则在解题策略确立中的运用其实就是做和习惯性思维相反的探究，在顺推不能解决问题时进行逆推的思考，在直接解决不能实现问题的解决时进行间接解决，在探讨可能性不顺利之时进行不可能性的探讨等等都是逆向思维的运用. 事实上，逆向思维在解题进入僵局时的运用确实往往能令人茅塞顿开并获得解题的突破. 分析法、反证法这些体现逆向思维原则的方法是常见的数学证明方法.

例8：已知方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围如何？

分析：对“三个方程中至少有一个方程有实数根”这一已知条件进行分析，可得七种情形，对各种情形分别求解是相当烦琐的过程. 但若是能够在解题中运用逆向思维并从对立面进行解题思考，则只要考虑三个方程均无实数根这一种情形.

解：若三个方程均无实数根，

由题意可得16a2-4（3-4a）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2+8a<0，解得-

令A=a-

故实数a的取值范围为aa≤- 或a≥-1 .

根据题目特点分别采取的策略原则往往能從不同角度与侧面指导解题，运用好这些相互联系的策略原则能够更加简捷、顺畅地实现正确解题.