导数及应用

张跃骜

[摘  要] 导函数问题多出现于高考压轴题位置，用导数证明指数型、对数型不等式问题是常见考查形式. 本节课设计意图，一是通过构造函数，把不等式证明问题转化为利用导数研究函数的单调性求最值;二是从看似平常的导数问题中发现、提炼不等式，或对不等式进行等价变形，用以解决难度更大的不等式问题;三是数学问题情境化、形象化、模型化，得出方天画戟这一数学兵器，方便学生将此类问题永记于心.

[关键词] 指数型不等式;对数型不等式;数学兵器方天画戟

引言

数学教学在课堂中一个首要任务就是教会学生怎样思考问题，怎样将陌生的问题转化为熟悉的问题来解答. 学生在考试中面临的问题就是需要独立思考和独立求解，著名的数学家、莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾说：“解题就是把题目转化为已经解过的题.”如何培养学生这样的能力呢？作为教学组织者，我们要善于营造数学问题情境，让学生将一类问题永记于心，看到类似问题，眼前立马浮现当时情景，进而将陌生化为熟悉.

教学目标、重难点

1. 教学目标

（1）理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值;

（2）应用导数解决不等式恒成立问题，体会函数思想、化归与转化思想以及数形结合思想在解题中的应用;

（3）培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生将陌生问题转化为熟悉问题的良好思维习惯.

2. 教学重点与难点

教学重点：应用导数解决不等式恒成立问题，体会函数思想、化归与转化思想以及数形结合思想在解题中的应用.

教学难点：由数提炼不等关系到形上的方天画戟;如何将陌生问题

利用化归与转化思想将其转化到熟悉问题上.

教学过程

1. 情境引入，点亮课题

观看三国演义中的一段小视频.

问题：该视频中主要出现的一个骁勇善战的人物是谁？

学生1：吕布

教师：吕布有三大法宝，大家猜猜都是什么？

学生2：赤兔马、方天画戟、貂蝉（学生哈哈大笑）.

教师：言归正传，我们今天这节数学课要探究的也是数学界的一种兵器方天画戟.

設计意图：在陌生环境里上课，最怕学生不配合. 通过观看视频，吸引学生注意力，激发学生参与课堂的兴趣，达到师生顺畅交流的目的.

2. 导学回顾，提炼方法

教师：前面导数及应用中我们学了利用导数研究函数的单调性、极值、最值.以导学回顾第二题为例，我们来看一下该同学的做法. （PPT投影展示学生的解题过程）

教师：这位同学解题过程非常规范，我们要向他学习. 通过该同学的解题过程，我们总结一下利用导数研究函数单调性、极值、最值的步骤是什么？

学生3：①定义域优先;②求导函数;③令f′（x）=0，求根;④列表;⑤下结论.

设计意图：本节课证明不等式方法之一就是通过构造函数，把不等式证明问题转化为利用导数研究函数的单调性求最值，所以以小题热身为例，总结这种方法的步骤，进而规范学生解题过程，为下面证明不等式问题提供了一个方法.

3. 合作探究，实例验证

师生共同研究下列问题.

例1：已知函数f（x）=ex-1-x，讨论函数的单调性，并求其最值.

教师：请同学们和老师一起规范地将解题过程板书出来. （学生齐声回答，教师板书）

因为f（x）=ex-1-x，x∈R，所以f′（x）=ex-1，令f′（x）=0，得x=0.

列表，得

所以当x=0时，y=f（x）有极小值也为最小值，所以f（x）最小值为f（0）=0，无最大值.

教师：如果将例1变成证明ex≥x+1对于任意x∈R恒成立，如何证明？

学生4：将不等式右边移到左边，构造函数f（x）=ex-1-x，求f（x）的最小值.

教师：很好！将该不等式转化为我们刚刚求过的函数的最值问题，即可得证ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时，取等号. 那么从代数角度上我们证得了ex≥x+1，能否从图像角度来刻画一下该不等式反映的位置关系呢？

学生5：在教师准备好的坐标纸上，画出函数y=ex和函数y=x+1的图像，通过观察得到y=ex的图像在y=x+1图像的上方，并且它们在x=0处有且只有一个交点.

教师：你能说出该不等式的几何意义吗？

学生6：不等式的几何意义为：y=x+1为y=ex在x=0处的切线.

教师：太棒了，那我们再看一下导学案上导学回顾第一小题，大家通过代数计算求得的y=ex在x=0处的切线也正是y=x+1.

设计意图：由数到形，明确了ex与x+1大小关系，和在直角坐标系中的位置关系，并得到了该不等式所代表的几何意义，为我们解决下面的问题做了指导性的铺垫.

教师：我们继续来看这几个问题.

①思考：y=ex关于y=x对称的函数是谁？请你画在直角坐标系中.

②类比猜想：y=ex在（0，1）处的切线方程是y=x+1，你能得到相对应的y=lnx的切线吗？

③验证：lnx≤x-1恒成立吗？请你证明.

学生活动：

1. 独立解决问题①②并将所需图像画在直角坐标系中.

2. 对于问题③小组讨论，合作交流，得到证明不等式lnx≤x-1恒成立的方法，并将证明过程规范地书写在练习纸上. （给六分钟时间完成）

教师：同学们，你们讨论出来证明lnx≤x-1恒成立的方法了吗？

学生7：构造函数求最值

教师：很好，能够学以致用，请把你的解题过程通过投影给大家展示一下.（学生边投影边讲解）

教师：点评该同学解法，构造函数求最值法，并指出问题（或提出表扬），那同学们还有其他证明方法吗？

教师提示：如果让你来解这个对数不等式，你会将式子两边怎么处理呢？比如解log2x≤3，求x的取值范围，你怎么解？

学生8：将lnx≤x-1右边转化为lnx≤lnex-1，即可得到x≤ex-1，将x-1替换为x. 即x+1≤ex，恒成立.

教师：这里的替换可否从形的角度看成一种平移呢？

学生9：x≤ex-1可以看成x+1≤ex向右平移一个单位而得到的.

教师：非常棒，能够由数联想到形，做到数形结合.

学生10：将不等式lnx≤x-1两边转化为elnx≤ex-1，即x≤ex-1，将x-1替换为x，即x+1≤ex恒成立.

学生11：将不等式lnx≤x-1中的x替换成ex，得lnex≤ex-1，即x+1≤ex恒成立.

教师：同学们真的是太棒了，不愧是徐州一中的学霸. 后面三位同学的解法都是将要证明的不等式进行等价变形，变到了我们刚刚证明过的一个结论，进而得证原不等式恒成立. 这种等价变形回归结论法也是我们在证明不等式问题中经常用到的一种方法，用的就是化归与转化的数学思想，将陌生问题转化为熟悉问题，进而解决陌生问题.

教师：我们刚刚经历了类比、猜想、证明，得到了一个非常完美的轴对称图形，几何画板展示一下，这个图形神似吕布的方天画戟，所以它也是我们数学界的一大法宝.

教师：那么通过以上的探究过程，我们来回顾一下几个问题：

1. 你知道了哪些不等式恒成立了？

2. 证明它们成立的方法有哪些？渗透了哪些数学思想？

3. 你心中的方天画戟长什么样？它的几何意义是什么？

教师活动：对于问题1，教师利用几何画板工具将图像在直角坐标系中上下左右平移，让学生通过图像直观感受，还能得到其他一连串的不等式都是恒成立的，达到举一反三的效果.

对于问题2、3，由学生配合，教师板书解题方法、数学思想，达到实时反思、总结的目的.

设计意图：通过这一大环节的探究，让学生经历由数到形，由类比猜想到证明，由陌生到熟悉的化归与转化等过程，进而达到渗透数学思想，提炼数学解题方法，培养学生思维能力等目的.

教师：我们坐标纸上每人都有了方天画戟这一兵器，黑板上也有使用它的相应兵法套路，那么手持方天画戟可以斩杀哪些数学题型呢？听老师給你们细细道来. （播放教师吉他弹唱视频）歌词改编如下：让我再看你一遍，从头到尾，像是指与对数型的不等式，眼前立马浮现出方天画戟，拿去用吧，它在等你呢！

教师：初次见面，方天画戟是我送给你们的一个小礼物，还等什么呢？我们快来拿它斩杀一下高考题吧！

4. 学以致用，揭示本质

例2：2016全国卷3文科21题（改编）

设函数f（x）=lnx-x+1，

（1）讨论y=f（x）的单调性;

（2）证明：当x∈（1，+∞） 时，1<

教师：第1小问我们刚刚已经解决过了，我们一起来说出它的单调性.

学生12：f（x）单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）

教师：思考第2问，你将如何证明这个不等式？

学生活动：先独立思考，再小组合作、交流探究.

教师：同学们交流得怎么样？得到了证明不等式成立的方法了吗？哪位同学来说一下？

学生13：构造函数f（x）=lnx-x+1，x>1，求其最值. 由（1）问可知x∈（1，+∞），f（x）单调递减，所以f（x）

再构造函数g（x）=xlnx-x+1，x>1，求其最值.

因为g（x）=xlnx-x+1，x>1，所以g′（x）=lnx>0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）>g（1）=0，即xlnx-x+1>0，x-1

教师：该同学的方法为构造函数求最值，目标明确，思路清晰，值得表扬，同学们还有不同的方法吗？

学生14：证明当x∈（1，+∞） 时，1< 1， 1可化为x-1>lnx恒成立; 1不等式两边同除x得 lnx恒成立.

教师：该同学的做法为等价变形，回归结论，将陌生的不等式转化为熟悉的方天画戟上来，凸显了较高的思维能力，值得学习，非常棒. 通过例2我们反思一下，高考的考向往往都是上一问为下一问做铺垫，考查的是同学们对问题化归与转化的能力，平时解题中要强加练习.

设计意图：夯实利用导数解决不等式证明的方法，一是构造函数求最值法，二是等价变形结论法，意在培养学生化归与转化思想，充分利用方天画戟的结论来解题，多种思路，多种方向.

5. 课堂小结，完善提升

（1）本节课你学到了哪些数学知识？

（2）感悟了哪些重要的数学思想？

（3）积累了哪些基本结论？

6. 自我认知，当堂检测

（1）若直线y=x+a与曲线y=ln（x-1）相切，则a的值为_________.

（2） 证明不等式 ≥e在（0，+∞）恒成立.

设计意图：通过课堂小结及当堂检测的几个问题，让学生来自我认知，具体学到了什么，还欠缺什么.

7. 分层作业，加深升华

必做题：教材34页2、3、4.

选做题：

教材34页2题改编

确定函数y=xlnx的单调区间，求其最值并画出它的图像.

结束语

在培养学生思维能力的过程中，教师要认识到“数学问题是核心”，教师要科学设计问题，层层递进，让学生有所思有所答，并引导学生发现问题、提出问题.在培养学生解题能力的过程中，教师要善于引导学生总结题型及方法，培养学生分析问题的能力，将陌生问题熟悉化，进而解决问题. 长此以往，提高学生的思维能力、解题能力、终身学习能力就不是一句空话了.