初中生对mv2/2的猜想

尚元

摘 要：科学猜想与假说是通向真理的桥梁。科学猜想是在观察与实验的基础上，根据科学原理和客观事实，进行理性分析归纳以后，对未知的自然现象及其规律所做出的一种推断设想。猜想与假设可以是正确的，也可能是错误的。本论文探讨初中生在已有的物理和数学基础上对动能的表达式进行的一些科学假设与猜想。

关键词：牛顿第一定律 力 质量 运动状态的改变 动能

一、牛顿第一定律的解读及一个思想实验

恩格斯评价牛顿：“借助于对力的本性的认识而创造了科学的力学.” 我们没有捷径，唯一的出发点就是宝贵的“牛顿第一定律”。牛顿在《自然哲学的数学原理》中的原始表述是这样的：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。也就是说，力是使物体运动状态发生改变的原因。我们现在要做的是猜想牛顿所说的这个“力”该怎样定量的去表述出来呢？从因果律来讲，我们得从描述“运动状态的改变”开始;另外，牛顿第一定律也叫惯性定律，质量大的物体，惯性大，质量小的物体惯性较小。对惯性大小，我们的解读是：“改变物体运动状态的难易程度”，也就是说质量越大的物体，由于它惯性大，要使它运动状态发生明显的改变，就需要我们施加更大的力，据此猜想：力在改变物体运动状态过程中应该还和质量有关。到此，我们似乎找到了描述力需要的两个特征：质量、运动状态的改变。我们不妨进行这样一个思想实验：

在一个绝对光滑的平面上，静止放置一个铅球和一个乒乓球，用相同力度分别向两个球轻轻吹一口气。凭经验，我们觉得该是看到怎样的现象呢？明显乒乓球立马就运动起来了，而一旁的铅球几乎没有运动起来，忽略空气阻力，从此它们永远匀速直线运动下去…

二、对力和质量关系的猜想

而我们要思考的是，为什么相同的力会有不同的运动效果，容易想到这正是之前说的，质量不同，惯性不同，运动状态的改变也不同。也即质量越大的物体要达到相同的运动效果所需要的力也就越大，进一步猜测：F∝m（力正比于质量），这一点数学的直觉或许我们可以联想到重力公式：G=mg来佐证。

三、对“运动状态的改变”的量化猜想

到此，还剩下“运动状态的改变”需要我们去量化。在《机械运动》章节中，我们就已经学习过了“速度”是用来描述物体运动状态的。在这个思想实验中，最终乒乓球和铅球的速度确实一大一小，也就是速度的改变量是不一样的，咋一看，这不就是我们要找的“运动状态的改变”吗？我们暂且记作速度的改变量分别为Δv1和Δv2。相同的力F，m1Δv2，难道我们要找的力就是F=mΔv？即F=m1Δv1;F=m2Δv2。我们似乎忽略了一点，“相同力度吹一口气”我们只关注了力的大小，没有注意到这个力作用在两个小球上的时间。力的作用时间不同会不会同样让物体的运动状态改变不一样呢？答案是肯定的。也即我们可以用相等的力让Δv1=Δv2，这就和F=mΔv相矛盾了。只不过这个时候“力的作用时间”是不同的。看来对“力”的描述应该还离不开“力的作用时间”。

回到最初的思想实验，我们在都“轻轻吹一口气”的情况下，是默认了力的作用时间是一样的，而最终两球速度的改变量是不同的。实际上，还可以推测在这个吹气过程中经历任意小的一段时间速度的改变量也是不一样的。于是我们不妨猜测Δv/Δt是不一样的，即相同时间内物体速度的改变量不一样。不应该简单描述成是Δv不一样。因此我们猜测“物体运动状态的改变”指的是Δv/Δt。

四、 对“力”的定量猜想

于是我们有F=mΔv/Δt，而不是F=mΔv。到这里，可以说我们的思想实验得到了一个重要的结论。当然，在此声明，这个伟大的等式并不是这么简单就得出来的，对于当年的牛顿来说，他有巨大的对数学敏捷的思维直觉才能，以及在实验上有高度的严格性和技巧，最后再用清晰的逻辑头脑进行归纳。”

五、功与能的转化以及对匀加速直线运动路程的讨论

我们有了功的定义：W=Fs，并且了解了功能关系：做功是能量变化的量度。要找物体的动能，应该要从力做功入手。在Δt时间段内，Δs=vΔt，于是W=FΔs= mΔv/Δt·（vΔt），这里的v是一个是随时间变化的函数。现在问题是这个函数关系是什么样子？经验告诉我们：重物的下落，我们在《测量平均速度》章节中做过的斜面小车的下滑等，物体在受一个力作用下速度是越来越快的。那具体速度是均匀在增加还是不均匀的增加？这里我们利用F=mΔv/Δt，恒定的力，在相等的Δt时间内，Δv=F·Δt/m应该是相等的，即速度均匀增加。

现在的问题是，速度v在Δt时间段内是均匀增加的，它们的乘积Δs=vΔt该怎么计算呢？这里我们需要一点点微分的思想，我们又把Δt分成很多很小很小的时间段，由于这个时间段非常小，以至于这个时间段内的速度我们可以近似看成恒定值，而这个很小时间段内的路程就近似等于某一时刻对应的速度值乘以小段时间，反映在图象上：

图中每个小矩形的面积大小即表示在这很小时间段内的路程。可以看出，所有小矩形面积之和将无线趋近Δt内图象与t轴所围面积（大三角形），小矩形越多，两者差值越小。这就是积分的思想。即Δs=vΔt=Δt·v1·1/2。

于是，W=FΔs= mΔv/Δt·（vΔt）= m v1/Δt·Δt·v1·1/2= mv12/2.即一个物体受到一个恒力的作用从静止开始运动，一段时间后速度增加到v，此时力所做的功转化为物体的动能mv2/2。

结语

初中生接觸的物理多是对现象的简单描述，是定性的，但对物理的初学者来说大胆的质疑，科学的假设与猜想，严密的逻辑推理应该是要慢慢去具备的一些思想品质，当然，结论或许只是哲学上的纯思辨的产物，但也要经得起经验的推敲，而后多去寻找事实真相，多去设计并创造实验进行归纳总结，还要有较好的数学工具方能检验猜想的正确性。任何物理学的理论成果都必须有大量的事实与其相符合才能奉为真理。

参考文献

[1]百度百科.思想实验.https：//baike.baidu.com/item/思想实验/388803fr=aladdin.

[2]陈毓芳，邹延肃.物理学史简明教程[J].牛顿的伟大综合，2016，8（4）：61-62.

[3]艾萨克·牛顿著.王克迪，译.自然哲学的数学原理[M].西安：陕西人民出版社，2001.

[4]牛顿，赛耶.牛顿自然哲学著作选[M].上海：上海人民出版社，1974：8-9.