巧构造长方体模型，彰显数学核心素养

黄坚明

【摘要】培养空间的想象能力一个有效方法是用直观图像进行推理教学。长方体是立体几何中的基本几何体，其结构对称，是研究直线与平面关系、特殊几何体的一个重要载体，是培养空间想象力的重要依托。试题中有关立体几何的图形不规则，线面关系不直观、不明显，但是通过补成“长方体”往往起到“柳暗花明”的效果。

“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”空间几何中，依据题意巧构造长方体，通过切割、旋转、变换等，不仅能够培养学生的空间的想象能力、数据处理能力以及逻辑的推理能力，也有利于学生的转换和化归的思想方法的培养，让学生追溯知识源头，提升数学核心素养。

【关键词】中学数学；立体几何；长方体模型；核心素养

对立体几何初步，《高中数学课程标准》提出了基本要求：在立体几何学的初步部分，学生将从空间几何的整体视图开始，并了解空间图形；然后使用长方体作为载体，直观地观察和理解空间点，线和面的位置关系……

高考题源自课本，即要追溯源头。立体几何是高考重点之一，通常以一大一小模式命题，以低、中档难度为主，主要为三视图，表面积与体积、距离的计算，点、直线、平面位置关系的判定与证明等内容；推理和空间的想象能力是高考中重点考查的能力，转化与化归的思想贯穿始终。经过探索，该类型问题可通过构造长方体模型来进行有效地解决。以下是笔者的见解、分析和总结。

一、构造长方体进行点、直线、平面的位置关系的判断

例1.（2015年湖北卷文文科数学第5题 ） 表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（ ）。

A. p是q 的充分条件不必要条件

B. p是q 的必要不充分条件

C. p是q 的充要条件

D. p是q 既不充分条件，也不必要条件

【解析】若p：l1，l2为两条异面直线，如图1，结合定义，易得l1，l2不相交；若q：l1，l2不相交，如圖1和图2，则l1，l2可能是异面关系，也可能是平行关系，借助长方体模型，化抽象为直观，易理解，同时也发展了学生的空间的想象能力。

空间点、线、平面之间的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面之间的位置关系的判断。对于直线与平面、平面与平面的平行或垂直的位置关系的判定，处理这类问题需要根据空间直线与平面的位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可构造长方体或立方体模型化抽象为直观去推理或者反驳。

二、构造长方体进行异面直线所成角求解

例2.（2014年大纲全国卷第4题）四面体ABCD是正四面体，E是AB的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）

对正四面体通过“补”的方法，构造一个立方体，则正四面体的棱长是立方体的侧面对角线，对于求解正四面体的相关问题，借助立方体模型，容易直观的观察直线与平面的位置关系，把抽象变得直观，从而降低解题的难度。对于本题，把四面体ABCD补成立方体，如图3：

【解析】由E是AB的中点，作AD的中点F，连接EF，由三角形中位线性质，得BD//EF，所以异面直线CE与BD所成的角为∠CEF。将正四面体补成立方体，不妨将立方体的长度设置为2，则BD=，EF=BD=，CE=CF=，在△CEF中，由余弦定理的推论得，。

例3.（2012大纲全国卷第16题）在底面的边长和侧棱长都相等的三棱柱A1B1C1?ABC中，∠A1AB=∠A1AC=60°，则异面直线B1A与BC1所成角的余弦值为____.

【解析】由题意知，∠A1AB=∠A1AC=60°可得四边形BCC1B1为正方形.如图，把底面ABC补成菱形ABCD，把底面A1B1C1补成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱补成平行六面体ABCD?A1B1C1D1，则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成角。不妨设棱长为2，则AD1=BC1=，AB1=B1D1=，在△AB1D1中，由余弦定理可得cos.

在解决异面直线所成角的问题，通过“补”的方法，在找平行线时，学生能够直观、增强空间的想象能力。

三、构造长方体进行三视图转化为直观图

例4.（2017年北京卷文科数学第6题）已知如图所示是三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）.

A.60 B.30

C.20 D.10

【解析】将该锥体，通过“补”的方法，构造长方体，如图所示，.故选D.

这是一道典型的高考题，将几何体的体积、表面积计算与三视图结合命题是高考的常见题型，旨在发展学生的识图、用图能力及空间的想象能力与演算能力。若所要求的几何体的体积是不能够直接用公式求解出来的，则一般要用“等体积法”求解（转换的原则是使底面面积和高易求）或使用切割法、补全法等方法求解。

四、构造长方体进行外接球求解

例5.（2010年辽宁文科数学11题）若S，A，B，C四点是球O的表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积为（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

【解析】根据题意，画出直观图，如图6，由SA⊥平面ABC和AB⊥BC，把棱锥S-ABC补成长方体，如图7，此时三棱锥S-ABC与补成的长方体有相同的外接球，所以外接球的直径2R=SC=2，外接球的表面积为4πR2=4π.

五、构造长方体在解答题的应用

例6.（2016年全国1卷文科数学第18题）如图所示，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E.联结PE并延长交AB于点 G.

（1）求证：G是AB的中点；

（2）作出点E在平面PAC内的正投影F（写出作法及理由），且求出三棱锥 P-DEF的体积。

【解析】由正三棱锥的性质和该三棱锥的侧面是直角三角形，可构建立方体模型，如图8，利于学生观察图象中直线、平面的关系，直观，思路易打开且清晰。

对于第一问，顶点P在平面ABC内的投影为点D→PD⊥平面ABC→PD⊥AB；顶点D在平面PAB内的投影为点E→DE⊥平面PAB→DE⊥AB；

对于第二问，由于构建了立方体的模型，易知，BP⊥面PAC，只需要找BP的平行线，在平面ABP内，过点E，作EF//PB，即可。

对于长方体，立体感强，学生熟悉，以长方体模型为媒介，能够直接观察并容易理解空间中点、直线、平面之间的位置关系；解决空间立体几何问题时，要关注整体图形的理解，发展学生空间的思维，数据的处理、逻辑推理、抽象思维、空间想象、数值计算等能力；领会、感悟化归的思想、归纳类比的思想、数形结合和数学建模在数学解题中的运用，培养探究精神。

构造法实质上是结合题目条件构造符合原题的直观空间几何模型，然后利用模型直观地解决问题，这样减少由于抽象而考虑不全面而导致解题错误。正如法国数学家拉普拉斯所说：“在数学世界里，发现真理的主要方法是归纳总结和模拟实验。”在解题中要培养学生的核心数学素养，能够找出题型的特点和关键点，能从变化莫测的题型中追踪溯源，透析出本质，归结到最基本的知识，是数学核心素养形成的表现。

参考文献：

[1]邹生书.构建长方体简解立几题[J].数理化解题研究（高中版），2010（11）.

[2]高营.高中数学教学中核心素养探究[J].好家长，2017（48）.

[3]教育部.普通高中数学课程标准[S].人民教育出版社.