声-固耦合系统高频局部能量响应的FEM-SmEdA分析

王攀 陈强 李彦斌

摘要： 针对高频激励下声-固耦合系统的局部能量响应预示问题，采用有限元（FEM）和统计模态能量分布分析（SmEdA）相结合的方法预示复杂声-固耦合系统局部能量响应。首先，以平板/声腔耦合系统为研究对象，验证FEM-SmEdA方法的准确性;随后，为了验证该方法的适用性，分别将该方法应用于湍流边界层（TBL）激励下平板/声腔耦合系统局部响应预示及加筋舱段/声腔耦合系统局部响应预示。利用双模态方程法（DMF）对基于FEM-SmEdA法的TBL激励作用下结构局部响应预示结果进行验证，基于FEM-SmEdA方法揭示TBL激励作用下舱段结构和声腔的能量分布随频率的变化规律，并研究加筋对声-固耦合系统能量分布的影响。结果表明：FEM-SmEdA方法能够准确地预示高频环境下声-固耦合系统的局部能量响应;该方法适用于TBL激励下结构局部响应预示;随着分析频率的升高，舱段和声腔的能量分布更加均匀;加筋后结构的能量分布更加均匀，加筋对声腔能量响应的抑制更加明显。

关键词： 声-固耦合系统; 统计模态能量分布分析; 模态能量; 能量分布; 有限元法

中图分类号： O421+.6; V414.4 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2019）04-0590-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.005

引 言

声-固耦合问题广泛存在于航空航天结构中，尤其是对于高频激励下的薄壁结构，结构和声场之间极易产生声-固耦合效应，引起结构的振动并改变声场的分布，进而影响结构的可靠性和仪器设备的功能。因此，结构的振动水平及声场的噪声水平是结构设计阶段必须考虑的重要指标，研究薄壁结构在高频激励下的声-固耦合问题具有重要的理论意义和应用价值。

目前，获取声-固耦合响应的方法主要有试验方法、理论方法和数值方法。试验方法的结果真实可信，其不足之处在于耗费巨大、试验周期较长且仅能实现有限实验条件和工况。理论分析方法较难适用于复杂工程结构。近年来，随着计算机性能的提高，数值方法成为一种有效的分析手段[1]。对于低频声-固耦合问题，通常采用有限元法（Finite Element Method， FEM）[2]和边界元法等离散化方法预示结构响应。在结构单元尺寸满足同一波长内包含6个单元的条件后[3]，离散化方法能较为精确地预示声-固耦合系统在低频段的局部响应。但当分析频率升高时，若要保证FEM有足够的精度，须对单元进行细化，这将导致计算规模呈指数级增长。对于高频声-固耦合问题，通常采用统计能量分析（Statistical Energy Analysis， SEA）[4-5]预示结构的高频能量响应。SEA将结构划分为若干子系统，通过引入模态能量均一化和雨流（Rain On the Roof， ROR）载荷等基本假设，构建子系统间的功率流平衡方程，进而预示子系统在空间和分析频带内的平均能量响应[6]。但SEA的各项假设在工程应用中较难完全满足，而且仅能得到空间平均能量响应，难以得到结构局部能量响应[7]。

为了克服SEA中的模态能量分析均分假设，Maxit等基于双模态方程（Dual Modal Formulation， DMF）[8-9]，推导了子系统模态能量平衡方程，提出统计模态能量分布分析（Statistical Modal Energy Distribution Analysis， SmEdA）[10-11]。SmEdA理论以分析频带内子系统每阶模态的能量为基本未知量，考虑了同一子系统中不同模态能量差异较大的情形。基于SmEdA理论预示子系统的模态能量，仅需非耦合子系统在耦合边界的模态信息即可获取子系统的模态能量。对于声-固耦合子系统而言，提高了计算效率，尤其是声腔子系统在高频段模态数密集的情况下。此外，SmEdA理论以每阶模态为基本输入参数，可考虑同一子系统内模态受到不均匀激励的情况，从而可考虑局部激励，克服SEA理论中雨流载荷的假设。Aragonès等[12]基于SmEdA理论对典型声腔/平板/声腔耦合系统进行了声功率传输路径分析，识别出与主要传递路径相关的平板模态，并在此基础上对平板加筋的降噪效果进行研究。Totaro等[13]基于SmEdA理论预示局部激励作用下平板/声腔耦合系统的动能和势能密度的空间分布。Qiao等[14]利用耦合系统中耦合损耗因子与辐射效率的关系，基于SmEdA理论研究了圆柱壳和圆锥壳的辐射效率。各子系统的模态信息为SmEdA理论的重要输入条件之一，用于计算各模态间的耦合损耗因子、各模态的阻尼耗散功率及各模态上的载荷输入功率。对于简单声-固耦合系统的模态信息可由解析法给出，而对于复杂声-固耦合系统，可借助FEM获取各子系统的模态信息[15]，进而结合SmEdA理论，预示各子系统的高频局部能量响应。目前，统计模态能量分布分析法的应用尚限于ROR载荷和单点力载荷，ROR载荷即空间上处处不相关的面压载荷。工程上常把噪声载荷处理成完全不相关的面压载荷[16]，而航天器面临的实际噪声环境存在空间相关性。因此，有必要开展考虑载荷空间相关性的统计模态能量分布分析法研究。

本文采用FEM和SmEdA结合的方法，对于复杂声-固耦合系统局部能量响应进行预示。首先，以平板/声腔耦合系统为研究对象验证FEM-SmEdA方法的准确性;随后，分别将该方法应用于湍流边界层（Turbulent Boundary Layer，TBL）激励下平板/声腔耦合系统局部能量响应预示及舱段/声腔耦合系统的高频局部响应预示，利用DMF法对基于FEM-SmEdA法TBL激勵下结构局部响应预示结果进行验证，并基于FEM-SmEdA法揭示结构和声腔能量随着频率的变化规律，研究加筋对声-固耦合系统能量分布的影响。

由式（24）和（25）可知，基于SmEdA法预示结构的能量响应，不需要整体结构的刚度矩阵，仅需节点质量及节点刚度。因此，基于SmEdA可以预示结构的局部能量响应，克服了传统的SEA方法仅能预示结构平均能量响应的不足。此外，由于结构的特定模态信息在分析频带内是不变的，根据方程（24）和（25）可知，能量分布的准确性取决于频带内基于SmEdA获得的模态能量。

2 方法验证

以平板/声腔耦合系统为对象，基于FEM-SmEdA开展结构的局部能量预示研究，通过与有限元方法的对比验证本文方法的准确性。平板和声腔耦合示意图如图 2所示，平板和声腔的几何尺寸及材料属性分别如表1和2所示。参考文献[12，15，18]，平板和声腔的结构阻尼均取0.01。平板四周简支，声腔除与平板耦合面，其余各面为固定边界。

2.1 模态能量分析

为保证有限元计算结果的准确性，以中心频率为630 Hz的1/3倍频程频带[561， 707] Hz作为分析频段Δω开展研究。基于商用有限元软件获得平板及声腔的模态信息，频带Δω内平板和声腔分别有11阶和20阶模态振型。将平板和声腔的模态计算结果代入式（2），可以求得如图 3所示的平板与声腔之间模态耦合损耗因子。

在平板坐标为（0.7， 0.2）的一点施加垂直于板面方向的单位力激励F，由式（6）得到平板模态上载荷的输入功率，由式（7）得到平板和声腔在分析频带Δω内的模态能量，如图 4所示。图中dB表示两个量的比值大小，对于输入功率dB_P=10lg（P/ref_P），P表示输入功率，ref_P表示参考值，且ref_P=1 W。对于振动能量dB_E=10lg（E/ref_E），E表示振动能量，ref_E表示参考值，且ref_E=1 J。由图 4可知，在集中力载荷作用下，即子系统受到局部激励的情况下，各阶模态上的载荷输入功率不同;平板和声腔的各阶模态能量均具有明显的差异，平板的各阶模态能量差值最大为20 dB，声腔差值最大为25 dB，不满足传统SEA中的模态能量均一化假设;平板的各阶模态能量变化趋势与模态上的载荷输入功率一致。

图5为分别基于FEM-SmEdA和FEM预示得到分析频带Δω内平板的动能分布，图 6为分别基于FEM-SmEdA和FEM预示得到分析频带Δω内平板的势能分布。

从图5及6对比可知，两者存在一定差异的。分析主要存在以下两点原因：（1）SmEdA理论基于仅考虑了共振传输，由于本文研究对象结构阻尼为0.01，对于小阻尼系统，子系统间的非共振传输可忽略，因此本文研究中只考虑分析频带内的共振模态。（2）该方法强调“系统高频局部能量响应预示”，适用于子系统有较多模态数的分析频段，对于足够大的频带，满足模态数足够多，可以忽略同一子系统中不同模态间的能量，即忽略Tinp（Q，ω）和Vinp（Q，ω）的影响。随着分析频段中心频率的升高，分析频段的模态数增多，忽略同一子系统中不同模态间的能量所造成的误差减小，基于FEM-SmEdA预示的局部响应结果更准确。

3 湍流边界层激励下结构局部能量响应预示  正如已经在文献[19]指出的，SmEdA理论以每阶模态为基本输入参数，可考虑同一子系统内模态受到不均匀激励的情况，克服SEA理论中雨流载荷的假设。为了证明FEM-SmEdA也适用于预测复杂环境激励下结构的局部响应预示，在平板/声腔耦合系统中考虑TBL激励。如1.2节已经指出的，平板和声腔的特定模态信息是不变的，因此能量分布的精度由基于FEM-SmEdA法在频带中获得的模态能量决定。由于TBL激励下系统的局部响应难以用有限元方法预测，因此在第3.2节中用DMF方法验证了TBL激励下子系统模态能量预示的准确性。

3.1 湍流边界层激励

3.2 模态能量分析

在第2节所示的平板/声腔耦合系统中施加TBL激励，给出了U=200 m/s的来流速度，分别基于FEM-SmEdA和DMF预示中心频率为630 Hz的1/3倍频程频带内板和声腔的模态能量，如图 7和8所示。平板和声腔的模态能量具有明显的离散性，平板模态能量随模态变化的能量差值可达20 dB，声腔模态能量随模态变化的能量差值可达30 dB，表明在考虑TBL激励的情况下，能量均分的假设是不合理的。结果表明，基于FEM-SmEdA和DMF方法预示的子系统各阶模态的能量值基本一致。如图 8所示，声腔的模态能量略有差异，且两个结果之间的差值小于1 dB。因此，基于FEM-SmEdA得到的TBL激励下子系统的模态能量是准确合理的。

3.3 结构局部能量响应预示

基于FEM-SmEdA预示TBL激励下平板的动能和势能分布，如图9和10所示。通过与图5和6对比可知，在中心频率均为630 Hz的1/3倍频程频带内，TBL激励下平板的局部响应与单点力作用不同。

4 舱段/声腔耦合系统局部能量响应预示

4.1 艙段/声腔耦合系统能量分布预示  以广泛用于航空航天器的舱段/声腔耦合系统为研究对象，开展湍流边界层激励下耦合结构的局部能量响应预示。舱段和声腔的有限元模型如图11所示，其几何尺寸及材料属性分别如表3和4所示。

基于FEM获得舱段及声腔的模态结果，由式（2）可得分析频段Δω1（561.2-2828.4 Hz）内舱段与声腔之间的模态耦合损耗因子，如图12所示。由图12可知，较大的模态耦合损耗因子多存在于共振模态间，非共振模态间的耦合损耗因子相对较小。由文献[18]可知：对于小阻尼系统，子系统间的非共振传输可忽略，因此式（7）中可只考虑分析频带内的共振模态。本文研究对象属于小阻尼系统，为提高计算效率，分析中仅考虑共振模态间的功率传输。

基于FEM-SmEdA计算舱段和声腔在中心频率分别为630，1000，2500，4000 Hz的1/3倍频程频带内的能量空间分布，计算结果如表 5所示。由表 5可知：（1）在不同频段内，结构及声腔的动能和势能分布基本一致，舱段动能的最大值高于势能的最大值，而声腔势能的最大值高于动能的最大值。（2）结构的能量响应远大于声腔。（3）随着分析频率的升高，舱段和声腔的能量分布更加均匀。当分析频带中心频率分别为630，1000，2500 Hz时，舱段和声腔的能量分布不均匀程度较大;当分析频带中心频率为4000 Hz时，舱段和声腔的能量分布较为均匀。随着分析频率的升高，舱段和声腔的能量分布更接近SEA中子系统能量平均假设，此时使用SEA方法计算舱段的平均能量即可较为准确地表征子系统的能量大小。

4.2 加筋舱段/声腔耦合系统能量分布预示

为了验证FEM-SmEdA的适用性，以复杂加筋舱段/声腔耦合系统为研究对象，基于FEM-SmEdA预示声-固耦合系统的能量分布。加筋舱段的几何模型如图13所示。其几何尺寸及材料属性如表3所示。筋条包括8根纵向筋，3根环向筋。筋条材料属性与舱段一致，筋条高度为0.02 m、厚度为4 mm。

基于FEM获得加筋舱段及声腔的模态结果，在中心频率为1000 Hz的1/3倍频程频段Δω2（890.9-1122.5 Hz）内，加筋舱段和声腔分别有14阶和12阶模态振型。将加筋舱段和声腔的模态结果代入式（2），可得如图 14所示的Δω2频段内加筋舱段与声腔之间模态耦合损耗因子。由图 14可知，Δω2频段内的共振模态间的模态耦合损耗因子只有少数模态耦合损耗因子较大，绝大多数模态耦合损耗因子较小，不满足均一化假设。

在加筋舱段表面施加湍流边界层激励，基于FEM-SmEdA分别计算加筋舱段和声腔在Δω2内的能量分布，如表 6所示。

通过对比表 5和6可知，加筋后舱段结构和声腔的能量分布更加均匀;加筋后舱段和声腔能量分布最大值变小。由4.1节图 12可得分析频段Δω2（890.9-1122.5 Hz）内舱段与声腔之间的模态耦合损耗因子，如图 15所示。对比图 14和15可知，加筋后舱段与声腔的耦合强度减弱。这主要是由于筋条改变了舱段的固有频率，并同时抑制了部分模态振型，使得舱段结构向声腔内传递的能量减少。

为更加深入地说明加筋对舱段与声腔间的耦合强度影响，对加筋前后的舱段在分析频带内施加相同的输入功率，对比加筋前后舱段和声腔的总能量，如表 7所示。由表 7可知，加筋后舱段的能量减少了21.4%，声腔能量减少了82.0%，加筋对声腔响应抑制更加明显。

5 结 论

本文结合FEM和SmEdA理论，形成了适用于声-固耦合系统的高频局部能量响应预示方法。首先，以平板/声腔耦合系统为研究对象，通过与FEM的对比验证了FEM-SmEdA方法的准确性;随后，分别将该方法应用于TBL激励下结构局部响应预示及舱段/声腔耦合系统的高频局部能量响应预示，利用DMF法对基于FEM-SmEdA法的TBL激励下结构局部响应预示结果进行验证，并将该方法应用于舱段/声腔耦合系统，揭示舱段结构和声腔的能量分布随频率的变化规律，并研究加筋对声-固耦合系统能量分布的影响。结果表明：

1）FEM-SmEdA预示得到的能量响应大小和空间分布与FEM预示结果基本一致，这说明FEM-SmEdA方法能够准确地预示声-固耦合系统的局部能量响应;

2）基于FEM-SmEdA和DMF方法预示的子系统各阶模态能量结果的基本一致。因此，基于FEM-SmEdA得到的TBL激励下子系统的模态能量是准确合理的，该方法适于TBL激励下结构的局部响应预示。

3）对于TBL激励下的舱段/声腔耦合系统，舱段及声腔的动能和势能的分布基本一致，舱段的能量响应远大于声腔;随着分析频率的升高，舱段和声腔的能量分布更加均匀;

4）对于TBL激励下的舱段/声腔耦合系统，加筋后舱段结构和声腔的能量分布更加均匀;加筋后舱段和声腔能量分布最大值变小;与加筋后舱段的总能量减少值相比，声腔总能量减少较大，故加筋对声腔响应抑制更加明显。

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Abstract： By combining the finite element method （FEM） and the statistical modal energy distribution analysis （SmEdA）， a FEM-SmEdA approach is presented to predict the local energy response of structural-acoustic coupling system under high frequency excitation. First， the accuracy of the FEM-SmEdA is verified by a plate/cavity coupling system. Then the approach is applied to a plate/cavity coupling system and a cabin/cavity coupling system under Turbulent Boundary Layer （TBL） excitation to verify its applicability respectively. The energy responses predicted by FEM-SmEdA are verified by Dual Modal Formulation （DMF） method. The influence of analysis frequency band and stiffener on the energy distribution of cabin/cavity coupling system under TBL excitation are investigated by the FEM-SmEdA. Results show that the FEM-SmEdA is capable of predicting the local energy response of structural-acoustic coupling system under the high frequency excitation with sufficient accuracy. This approach is well adapted for predicting the local response of systems under TBL excitation. With the increase of analysis frequency band， the energy distributions of cabin and cavity become more uniform. The energy distribution of stiffened cabin/cavity coupling system is more uniform than that of cabin/cavity coupling system. The suppression of stiffener to response of cavity is more obvious than structure.

Key words： structural-acoustic coupling system; SmEdA; modal energy; energy distribution; FEM

作者簡介： 王 攀（1993-），男，硕士研究生。电话： （025）83790168; E-mail： 220160935@seu.edu.cn

通讯作者： 费庆国（1977-），男，博士，教授，博士生导师。电话： （025）83790168; E-mail： qgfei@seu.edu.cn